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Abstract: Researchers have always concerned the problem of epidemic spreading. Recently, with development of small-world network model, the spread of the disease has a more profound understanding. The small-world networks theory was introduced, research findings relations to the small-world networks on the spread of disease research was described. The spread of disease trend was analyzed through the severe acute respiratory syndrome (SARS) outbreak in Hong Kong. Based on the outcome, it is reliable to use small-world networks for infection dynamics analysis.

Key words: small-world network; spread of epidemic disease; severe acute respiratory syndrome (SARS)

流行性疾病严重危害着人类健康。历史上流行性疾病的屡次流行给人类生存和国计民生带来了巨大的灾难。2003年的SARS及2009甲型H1N1等新型流行性疾病在极短的时间内席卷全球，给世界各国带来了难以估计的损失，甚至改变了人类的生活方式。随着人口的不断增长，城市化进程的不断加快，环境的不断恶化，新型流行性疾病将更加频繁地出现并影响人类的生存和发展。对流行病发病规律、传播机理和防止策略研究的重要性日益突出，已成为当今世界迫切需要解决的一个重大问题。

在流行病动力学中，长期以来主要使用的数学模型是“仓室”模型，即根据流行病的传播特点，将种群分为若干个小的子种群，每个子种群在疾病传播过程中所处的地位是相当的，每个子种群被称为1个仓室。比较常用的仓室有：易感染类(S)，即由未染病但有可能被感染的个体组成的仓室；潜伏类(E)，即由已感染但不具有传染力的个体组成的仓室；已感染类(I)，即由已染病并且具有传染力的个体组成的仓室；移出类(R)，即由已经恢复的或者死亡的个体组成的仓室。1927年，Kermack和Mckendric为研究1665-1666年在伦敦流行的黑死病的流行规律以及1906年孟买瘟疫的流行规律，构造了著名的SIR仓室模型，之后他们又在1932年提出了SIS仓室模型。实际上，现在仓室模型的思想正是在此基础上发展起来的。根据流行病传播过程的不同，常见的流行病模型有：SI，SIS，SIR，SIRS，SEIR，SEIRS，SEI和SEIS等类型。

经典的流行病动力学研究方法只能笼统的描述流行病爆发过程，不能直观反映社会结构与人的社会行为对流行性疾病爆发的影响，阻碍了对流行性疾病爆发规律的进一步认识。20世纪末以小世界网络、无标度网络为代表的复杂网络理论研究兴起，科学家发现现实中的许多复杂网络都具有小世界、无标度的特性，从而促使他们开展基于复杂网络的疾病传播问题的研究。将流行性疾病发展与社会结构相结合，使流行病传播模拟深入到个人层面。使人类对流行性疾病的研究进入了新阶段^[1-3]。

1 小世界网络

1998年，Watts和Strogatz提出著名的WS小世界网络模型^[4]。研究表明：大多数的真实网络都具有小世界特性(较小的平均最短路径)及聚类特性(较大的聚类系数)。而在此之前提出的规则网络具有高聚类的特性，但并不具有小世界特性；而ER随机网络^[5]具有小世界特性但却没有高聚类特性。传统的网络都不能很好的描述真实网络所具备的特性。WS小世界同时具备高聚类特性及小世界特性很好的反映了实际网络的特性。

WS小世界网络是一种介于完全规则网络与完全随机网络的过渡网络。WS小世界网络从完全规则网络开始：考虑最邻近的耦合网络，网络有N个节点，节点围成1个环，每个节点都与它左右相邻的各K/2个节点相连接，其中K是偶数，K即网络中节点的度。然后进行随机断键重连：以概率p随机的重新网络中的每条边,即将边的一个端点保持不变,而另一个端点取为网络中随机选择的1个节点。并且规定任意2个不同节点之间至多只能有1条边，每个节点都不能有边与自身相连。

当p取不同的值时，对应不同的网络；当p=0对应于完全规则网络；p=l则对应于完全随机网络；当p满足条件0＜p＜l时，对应于WS小世界网络。图1分别用MATLAB仿真工具生成了完全规则网络、WS小世界网络和完全随机网络对应的网络拓扑结构。图2显示了网络的平均最短路径和聚类系数随断键重连概率p的变化关系。图中L(p)和C(p)表示以不同的概率p得到的小世界网络的平均最短路径和聚类系数，L(0)和C(0)表示规则网络的聚类系数和平均最短路径。从图2中可以看出,WS小世界网络随着p的增加,平均最短路径急剧下降,而聚类系数下降十分缓慢。因此WS小世界网络同时具有小世界特性和高聚类特性。

图1 小世界网络的构造

Fig.1 Construction of small-world network

图2 小世界网络模型的聚类系数和

平均最短路径随断键重连概率p变化

Fig.2 Change of path lengths and cliqueishness with change of rewiring probability in small-world networks

WS小世界模型构造过程中的随机化过程有可能破坏网络的连通性，产生孤立点的情况。另一个研究较多的小世界模型是由Newman和Watts提出的^[6]，称为NW小世界模型。该模型是通过“随机化加边”方法取代WS小世界模型构造中的“随机化重连”方法来形成小世界网络的，即在规则网络的基础上以概率φ随机选取两个顶点加入边。与WS小世界同样，不同节点之间至多只能有1条边，每1个节点都不能有边与自身相连。

此外，其他研究者还提出了Monasson小世界网络模型^[7]以及一些其它的变形模型包括BW小世界网络模型等^[8]。

2 小世界网络模型的疾病研究

我们把社会中的人看成是网络的结点,把人与人之间的亲密接触关系表示为结点间的连接边。由于小世界网络能够较准确度反映社会网络的真实特性，研究者开展了基于小世界网络的流行性疾病传播问题的研究。Watts和Strogatz在提出小世界网络的同时，对疾病在小世界网络中传播问题进行了研究^[4]，发现疾病在小世界网络中传播速度比在规则网络中更快，传播范围更广^[9]。Moore和Newman^[10]对NW小世界网络上的传播行为进行系统、深入研究。Kuperman和Abramson^[11]研究了WS网络上的SIRS模型，发现当断键重连概率p很小(p=0.01)的时候，疾病可以在网络中长期存在，但患病比率很小且波动不大，可以近似地看作收敛到1个不动点；而当断键重连概率p很大(p=0.9)时，患病人数会出现周期性的波动。Agiza等^[12]考察小世界网络上不同的传播模型，并讨论相关的相变行为。此外还有其他科学家对相关问题做了深入研究。但由于小世界网络本身的复杂特性，很多问题仍需不断研究讨论。

3 小世界网络SARS研究

2003年严重急性呼吸系统综合症(SARS)的爆发极大影响人们的生产与生活。利用数学模型对SARS进行深入分析，研究疾病的发展过程，揭示其流行规律，预测其发展趋势，分析疾病流行的原因和关键因素，寻求对其进行控制和防治的最优策略，为人们防治决策提供理论基础和数量依据，具有重要的意义，并为对以后出现新型流行性疾病的防控提供了参考依据。

图3 模型假设示意图

Fig.3 SEIR model and small-world network

由于香港的数据相对比较完整准确，数据来源于世界卫生组织官方网站^[13]，本文作者以我国香港地区为例，应用基于小世界网络的流行性疾病研究模型对SARS爆发进行简单的分析与拟合，并对不同参数对疫情影响进行了讨论。

根据SARS病毒的传播规律，本文作者将人群划分为4类，分别为：易感染类(S)，潜伏类(E)，已感染类(I)，移出类(R)，如图5(a)所示。将接触类型分为家庭成员相互接触与非家庭成员相互接触，如图5(b)所示，图中近距离直接连接的4个点代表家庭成员，远距离连接的点代表非家庭成员。

基于小世界模型对参数与病患接触成功感染概率τ(此时认为不同人接触感染成功概率完全相同，没有差异)，传染期1/γ进行了简单的讨论，结果如图6。从图6(a)中可以看出当γ为定值时随着τ的增加，患病人数的峰值缓慢增大。也就是说感染概率的增加将加剧疾病的传播。同时发现τ有1个阈值τ_c(图中τ_c=0.025)，只有当τ＞τ_c时疾病才会在该区域内开始流行。同样，对于τ为定值时，随着传染期的增加疾病传播速度与范围有明显的增加。对于断键重连概率，我们发现当有少数远距离连接出现时疾病传播速度急速增加，说明远距离传播对于疾病传播有着至关重要的影响。

在仿真中取网络大小为N≈7.3×10⁶，与香港总人口相近。近距离接触n₁=4人，代表家庭成员，远距离接触n₂=16人，代表非家庭成员。根据SARS的流行病学研究，在SARS爆发整个期间病患平均潜伏期为6.4 d，传染期为3~5 d^[14]。根据Lau等^[15]对SARS在家庭中传播的调查研究，1个病患平均感染0.35个家庭成员^[15]，则潜伏者转为感染者的概率为σ=1/6.4,传染者的康复率γ=1/4，每天与每个家庭成员接触传染成功的概率为τ₁=0.02。疾病爆发初期每天与每个非家庭成员接触传染成功的概率为τ₂=0.044。由于在疾病爆发中期香港政府采取了发布警告、学校停课、颁布隔离令等有效措施，经过多次调试，采取措施之后的非家庭成员接触传染成功的概率为τ₂=0.01。拟合的累积病例数如图7所示。从图7可见：拟合数据和香港疫情发展的实际数据基本吻合，说明利用小世界网络模型来模拟真实社会的人类接触行为，并研究、预测疾病传播规律是成功的。此外，通过模拟发现如果不采取有效控制措施，传染率保持不变的话患病人数将持续迅速上升，患病人数可达到采取措施人数的5倍多。可见：采取有效措施降低传染概率对疾病爆发有明显的影响，决定了疫情的发展趋势。

图4 不同参数对疫情影响

Fig.4 Influence of different parameters on infection rate

图5 基于小世界模型拟合及预测结果

Fig.5 Result of fitting and forecasting based on small-world network model

4 结论

(1) 本文对新兴的小世界网络以及基于小世界网络的流行性疾病传播的研究情况做了简要总结。

(2) 以2003年香港爆发的SARS为例，应用小世界网络模型对其进行拟合，得到较好的结果，证明使用小世界网络模型对疾病研究、预测是可行的。

(3) 分析疾病本身特性如感染概率、传染期长度及小世界网络本身特性如断键重连概率等参数对疫情发展的影响，从而初步得出遏制疫情发展的方法。针对2003年香港SARS的案例研究中发现，如果不采取合理的防治措施疫情发展将难以控制，新增患病人数成指数率增长。所以，通过对真实情况的模拟研究，提前针对不同情况制定相应的应对措施是十分必要的。

参考文献：

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(编辑邓履翔)

收稿日期：2012-01-15；修回日期：2012-02-15

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51178466)；全国高等学校优秀博士学位论文作者专项资金项目(200545)；中央高校基本科研业务费专项资金项目

通信作者：邓启红(1973-)，男，河南潢川人，博士，教授，从事城市环境与健康效应方面的研究；电话：0731-88877175；E-mail: qhdeng@csu.edu.cn

摘要：疾病传播问题的研究一直是科学家关注的焦点。随着小世界网络模型研究的兴起，研究者对疾病传播问题有更深刻的认识。本文介绍小世界网络理论，着重阐述小世界网络上疾病传播的研究成果。以香港严重急性呼吸系统综合症(SARS)疫情为例，拟合分析疾病传播趋势，与实际数据基本吻合，证明利用小世界网络分析流行性疾病的可靠性。