目录结构

The phase field method is applied to simulate the dendritic growth morphology of aluminum alloy. The mathematic model includes phase field governing equation, solute conservation equation and energy conservation equation. The computed results are compared with the experiment and the published results.

Keyword：

phase field method; solidification; numerical simulation; microstructure;

Received： 2001-12-24

微观组织决定铸件的性能和使用寿命, 控制铸件成形过程中微观组织的形成具有重要的意义, 但是由于成形过程需要控制大量的参数, 全部用实验确定不太现实, 因而模拟预测方法显得越来越重要。随着铸件凝固过程宏观数值模拟的逐步成熟和完善以及计算机软硬件技术的快速发展, 对微观组织进行模拟成为可能。

常用的微观组织数值模拟方法主要有3类型: 确定性方法、概率方法和相场方法。目前, 国外采用相场方法对枝晶形貌进行模拟计算已经取得较大的进展, 特别是Kobayashi ^[1] , Wheeler ^[2,3] , Beckermann ^[4] , Karma和Rappel ^[5,6,7,8] 等人的工作起了重要的推动作用。而国内在这方面的研究才刚刚开始。作者尝试采用相场方法对枝晶生长的形貌进行数值模拟计算。

1 数学模型

1.1 相场控制方程

$\begin{array}{l} τ ω^{2} \frac{? ?}{? t} = [? - Δ λ θ (1 - ?^{2})] (1 - ?^{2}) + \\ ? ? ? (ω^{2} ? ?) - \frac{?}{? x} (ω \frac{? ω}{? β} \frac{? ?}{? y}) + \\ ? ? \frac{?}{? y} (ω \frac{? ω}{? β} \frac{? ?}{? x}) \end{array}$

$\begin{array}{l} Δ = (Τ_{m} - Τ_{\infty}) / (L / c) \\ θ = (Τ - Τ_{m}) / (Τ_{m} - Τ_{\infty}) \\ ω = 1 + γ \cos (4 β) \\ β = \arctan (\frac{? ?}{? y} / \frac{? ?}{? x}) \end{array}$

式中 τ为驰豫时间, ω为各向异性, ?为相场变量, T_m为液相线温度, t为时间坐标, θ为无量纲温度, T_∞为初始温度, λ为常数, c_l为液相浓度, γ为各向异性强度, L为结晶潜热, c为比热容, β为生长方向与晶轴夹角。

这里相场变量?的取值范围为[-1, 1]。液相为-1, 固相为1, 界面为0。

1.2 溶质守恒方程

$\begin{array}{l} \frac{?}{? t} [(1 + ? + (1 - ?) k) c_{l}] = \\ ? ? [(1 - ?) D_{s} k ? c_{l} + (1 + ?) D_{l} ? c_{l}] \end{array}$

式中 k为分配系数, D_s为固相扩散系数, D_l为液相扩散系数。

这里假定固相无扩散, 并且在界面处c_s=kc_l。

1.3 能量守恒方程

$\frac{? θ}{? t} = D ?^{2} θ + \frac{1}{2 Δ} \frac{? ?}{? t} - ? ? \vec{q}$

其中 $\vec{q}$ 为热噪声, D为热扩散系数。

作者认为枝晶分枝是主要由热扰动导致的, 因此在方程中引入了热扰动 $? ? \vec{q}$ 。

2 数值方法和模拟结果

作者采用了有限差分方法对以上方程进行离散, 离散格式是中心差分格式; 并采用矩形网格对计算域进行划分。系统环境: PⅢ 450, 内存256 M, 硬盘40 G, 联想主板, Win2000操作系统。

2.1 等轴枝晶模拟

实验试样为d 10 mm的圆棒, 长度为80 mm。砂型铸造, 浇注温度为710 ℃。

由于计算量的限制, 无法对整个试样进行计算, 作者采用了2种剖分步长和2种时间步长分别计算宏观温度场和枝晶生长过程。枝晶生长过程模拟计算的计算域为试样中心区域, 尺度为0.5 mm×0.5 mm。并且枝晶生长模拟计算的初始温度场由其相邻的宏观单元插值得到。

模拟计算采用了自行开发的铝合金微观组织模拟模块, 该模块已经集成到课题组开发的模拟软件FT-star中。

网格尺度为1 μm, 网格数目为500×500。合金为Al-12.5%Si (质量分数) 。假定晶核位于计算区域中心, 初始温度为710 ℃, 计算时间为0.5 h。

2.1.1 枝晶温度场

枝晶温度场如图1所示。液相温度为574 ℃。枝晶前沿存在曲率过冷, 因此温度较低; 由于枝晶生长过程中释放潜热, 因而固相中的温度较之液相要高。同时, 由于存在着热扰动, 因而枝晶温度场的分布并不完全对称。

2.1.2 枝晶浓度场和形貌

图2和图3 (a) 所示为采用相场方法模拟的Al-12.5%Si合金的枝晶形貌; 图3 (b) 所示为实验中观察到的枝晶形貌; 而图3 (c) 所示为韩国Hong课

图1 枝晶温度场

Fig.1 Dendritic temperature field (a) —0.25 s; (b) —0.5 s; (c) —1.0 s

图2 相场方法模拟等轴枝晶生长

Fig.2 Simulation of equiaxed dendriticgrowth using phase field method (a) —0.25 s; (b) —0.5 s; (c) —1.0 s

图3 等轴枝晶形貌

Fig.3 Morphologies of equiaxed dendrites (a) —Phase field method; (b) —Experiment; (c) —CA method

题组用CA方法模拟的枝晶形貌 ^[9] 。从图3 (a) 可以看出, 在固相区域内在枝晶主干和侧枝旁存在着低浓度区, 这是曲率和界面动力学的综合影响导致的。从图3 (a) 中还发现, 三次枝晶臂只在二次枝晶臂的一侧生长, 而不是在两侧同时生长, 这种特殊的现象在Glicksman ^[10] 等人的实验中已经被发现, 模拟结果揭示了这一点, 造成这种现象的主要原因是: 在等轴晶凝固过程中, 热流是从枝晶流向液相; 同时在枝晶内部溶质浓度较高且不容易扩散, 因而不利于凝固, 而近外侧由于存在较大浓度梯度, 利于向液相扩散, 因而枝晶倾向于向外侧生长。比较图3 (a) , (b) 和 (c) , 可以看出枝晶轮廓三者基本吻合, 同时可以看出相场模拟结果比CA模拟结果更接近实验结果, 这是由于CA方法是通过捕获机制来模拟生长情况, 从其机理来说不善于描述枝晶的细微结构, 而相场方法则是根据最小能量原理计算相场的变化从而得到枝晶生长情况, 并综合考虑了界面能和曲率的影响, 所以相场方法更符合枝晶生长的物理机制。由于实际凝固过程影响枝晶形貌的因素较多, 模拟结果与实际结果不可能完全一致, 尽管如此, 从模拟结果中可以清晰地发现与实际观察相一致的生长现象: 一次枝晶臂的生长与粗化, 二次、三次枝晶臂的分化以及溶质偏析等。作者还比较了平均二次枝晶臂间距模拟结果和实验结果的大小, 分别为6和7.5 μm, 两者基本吻合。