DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2018.07.021

围岩变形准则下考虑目标失稳概率的岩石隧道可靠度逆向计算

李翔，李夕兵，周子龙

(中南大学 资源与安全工程学院，湖南 长沙，410083)

摘 要：

环境下的隧道围岩变形机制，建立基于围岩变形失稳控制的极限状态方程。为了研究其相应的可靠度逆向问题即在已知目标失稳概率条件下，反求工程参数以确保满足预先规定的可靠度水平，引入逆向可靠度方法并归纳其具体的计算实施流程。采用该方法验证其在岩石隧道可靠度逆向分析过程中待求工程参数的计算精度和效率，分析待求工程参数在不同初值条件下对计算结果的影响。在此基础上，考虑不同水平的目标失稳概率，通过该方法开展基于围岩变形准则的岩石隧道稳定性设计。研究结果表明：逆向可靠度方法对于待求工程参数能以较高效率获得满意的计算结果，且其初值选取不会影响该方法求解的准确性，仅对其收敛速度有一定影响；利用逆向可靠度方法可方便调控待求工程参数值，为岩石隧道工程设计提供参考依据。

关键词：

岩石隧道；围岩变形；目标失稳概率；逆向可靠度；稳定性设计；

中图分类号：TU457        文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2018)07-1734-08

Inverse calculations for rock tunnel reliability considering target probability of failure based on deformation criterion of surrounding rock

LI Xiang, LI Xibing, ZHOU Zilong

(School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract: Based on the deformation mechanism in the environment of the weak rock surrounding the tunnel, the limit-state functions were developed based on the control of the deformation instability for the surrounding rock. In order to analyze the corresponding inverse reliability problem, i.e. back-calculate the engineering parameters to ensure the pre-defined level of reliability when the target probability of failure is known, an inverse reliability method was introduced and its calculation steps were also summarized. By using the method for the rock tunnel, the computational accuracy and efficiency were both verified in obtaining the engineering parameters during the inverse reliability analysis, and then the influence of their various initial values on the calculation results was investigated. Considering the different levels of the target probability of failure, the rock tunnel stability design was performed based on the deformation criterion of surrounding rock. The results show that the proposed inverse reliability method used to seek the engineering parameters can obtain satisfactory results in an economical way. Moreover, the choice of their initial values has no effect on the accuracy of the proposed method, and only has certain effect on the convergence rate during iteration. With the aid of the proposed method, the engineering parameters can conveniently be adjusted, thus providing guidelines for engineering design of the rock tunnel.

Key words: rock tunnel; deformation of surrounding rock; target probability of failure; inverse reliability; stability design

众所周知，现代岩石隧道支护的核心观点之一是将围岩自身视为支护结构的重要组成部分，强调最大限度地发挥围岩自承作用，通过现场监控量测，适时设置支护。这一动态设计思想(即信息化设计)的实施过程主要取决于有无围岩变形(如洞周收敛、拱顶下沉等)的量测^[1]。围岩变形是隧道力学行为最明显最集中的反映，掌握了围岩变形过程也就把握了隧道稳定状态^[2]。采用围岩变形来判别隧道稳定性，较易借助工程类比总结经验，针对允许变形值建立相关判别准则，进而对这种宏观量测信息反映的隧道稳定状态及时作出判别和反馈^[3-4]，其相关应用已纳入公路^[5]、铁路^[6]等岩石隧道工程规范。鉴于决定上述岩石隧道稳定性的岩质材料及赋存条件等众多因素存在无法忽视的不确定性，与传统的定值(或确定性)方法相比，可靠度方法通过求解失稳概率等表征指标，更明确地考虑这些不确定性对其稳定状态的影响^[7-12]。这些研究关注的重点旨在探讨失稳概率(或可靠度指标)计算方法及评判其失稳概率，从分析过程上看，它们均是在已知工程设计参数(如锚喷支护体系中的锚杆支护阻力等)情形下求解失稳概率，以该概率表征指标值体现围岩失稳风险。这一过程通常视为可靠度的正向分析过程，相应的方法称为正向可靠度方法(forward reliability method)^[13-14]。在实际工程应用中，一般需根据岩石隧道的工程重要性、破坏性质以及失稳后果等因素选定用于其稳定可靠度分析的目标失稳概率(即可接受的失稳概率值或可靠度指标，反映设计允许的风险水平)^[15-16]。这要求在此过程中解决1个关键问题，即当预先已知目标失稳概率时，如何调控与围岩加固处治措施有关的上述工程设计参数，以便直观地为其稳定可靠度分析提供指导依据，进而通过控制围岩变形达到降低失稳风险水平的设计目标。显然，与前述可靠度的正向分析过程相比，这一过程可视为可靠度的逆向分析过程。事实上，当前有关工程结构的设计规范已逐步发展为通过预先定义目标可靠度水平(对应目标失稳概率或目标可靠度指标)来确保结构安全，即结构允许的风险水平在设计前已根据其破坏类型及安全等级预先给予规定，如国内的GB/T 50283—1999“公路工程结构可靠度设计统一标准”^[17]、GB 50153—2008“工程结构可靠性设计统一标准”^[18]、GB 50199—2013“水利水电工程结构可靠性设计统一标准”^[19]以及ISO2394—2015^[20]等。相应地，在此工程背景下，为满足依据目标失稳概率开展稳定可靠度分析的发展趋势，需通过反求有关工程设计参数来确保满足预先规定的可靠度水平。由此可知，这必然涉及可靠度的逆向分析问题。需指出的是：对于此类问题的解决，从理论上讲，仍可沿袭传统意义上的可靠度分析方法，即在可靠度正向求解框架内，通过试算纠错(trial and error)方式^{[8, 21]}求得满足目标失稳概率的工程设计参数。但是，这种方式需人为针对设计参数值进行不断修改、反复调试直至失稳概率计算值达到目标值水平^[22-23]，由此造成分析流程繁琐、求解效率低，工程实际应用显然极为不便^[13-14]；此外，上述不断修改、反复调整的过程往往带有很大主观随意性或盲目性，可能导致后续可靠度计算出现较大困难，甚至难以实现^[14]。这些局限性使得传统意义上的可靠度分析方法应用于逆向分析问题时，不具备工程普遍适用性而难以推广，实际应用受到很大限制，因此，有必要针对该问题寻求合理有效的解决途径。为此，本文引入旨在专门解决上述问题的逆向可靠度方法(inverse reliability method)^{[13-14, 24]}，围绕其在岩石隧道稳定可靠度逆向问题分析领域的初步应用进行研究。首先，以软弱质岩石环境下的围岩变形机制为例，导出其在围岩变形失稳控制下的极限状态方程；然后，基于此极限状态方程，探讨逆向可靠度方法解决岩石隧道可靠度逆向分析问题时的适用性；最后，考虑到不同的目标失稳概率，利用逆向可靠度方法，开展基于围岩变形准则的岩石隧道稳定性设计，以期为确定控制围岩变形失稳需进一步采取的工程处治措施提供相关依据。

1  基于围岩变形控制的极限状态方程

1.1  围岩变形的基本力学分析模型

HOEK^[25-26]针对软弱质岩石(weak rock)隧道施工开挖时围岩与支护间相互作用关系进行分析，其中，为便于理解并清晰阐述围岩如何变形、支护系统如何控制这些变形等有关问题，依据DUNCAN FAMA^[27]开展的弹塑性力学分析工作建立了围岩与支护间相互作用的基本模型，见图1。在该经典模型中，围岩视为静水应力场中均质、各向同性连续介质，并设该岩石隧道开挖半径为r₀，受到的水平与竖向地应力均为p₀，洞室周边施加均匀的支护应力为p_s，围岩弹性模量、泊松比、内摩擦角和黏聚力分别为E，v，φ和c。

按照DUNCAN FAMA^[27]分析推导过程，若支护阻力p_s小于地应力p₀，则对于弹性区应力，在极坐标系(r，θ)下，有环向正应力大于径向正应力，此时，最大主应力对应，最小主应力为，由Mohr-Coulomb准则可得

                (1)

图1  围岩与支护相互作用基本模型示意图

Fig. 1  Schematic diagram of basic model for rock-support interaction

且弹性区内应力需满足平衡方程：

               (2)

若将r_p(对应洞室周边塑性区)和p_cr(为洞室周边围岩刚开始破坏时的最小支护阻力，又称临界应力)分别视为弹塑性边界处的半径和正应力，弹性区(r＞r_p)应力则可表示为

          (3)

式中：；k =(1+sinφ)/(1–sinφ)；；为围岩单轴抗压强度。

相应地，塑性区(r＜r_p)应力表达形式为

          (4)

式中：。当支护阻力p_s大于临界应力p_cr时，围岩不会发生破坏，围岩性质是弹性的，其向内的径向弹性位移u_ie由下式给出：

            (5)

当支护阻力p_s小于临界应力p_cr时，围岩将出现破坏，洞室周边塑性区半径r_p可表示为

        (6)

在此基础上，为求解得到围岩径向塑性位移，在其塑性变形破坏过程中出现沿相互交切的结构面滑动时，假定塑性体积变化为0。对于围岩线弹性环j(r_j≤r≤r_j+1)^[27]，设相应的弹性模量和泊松比分别为E_j和v，则围岩在r处对应的径向位移u表示为

       (7)

式中：p_j^*=p_j–λ_j p₀；p_j为r=r_j时的径向应力。λ_j由下式获得：

        (8)

式中：φ^*表示扩容角(constant dilatancy angle)，这里因假定围岩塑性体积变化为0，故取φ^*=0°。另外，对于此式中塑性区应力和，可表示为

(9)

在式(8)和式(9)中，若取j = 2，r₃→∞，则有p₃ = p₀；若取j=1，可得r₁=r₀，p₁=p_s，r₂=r_p，p₂=p_cr，则式(8)可转化为

        (10)

再结合式(7)和式(10)，经整理后可得围岩径向塑性位移u_ip的表达式：

  (11)

1.2 围岩变形的极限状态方程

极限状态方程的建立是开展可靠度分析的基本前提。根据以上岩石隧道对应的基本力学分析模型，基于式(6)和式(11)可分别构建如下形式的极限状态方程g₁(X)和g₂(X)：

       (12)

 (13)

式中：X为由与岩石隧道有关的基本变量组成的随机向量；L为与(r_p/r₀)有关的限值比(limiting ratio)或容许阈值比(permissible threshold ratio)^{[8, 10, 16, 21]}；u_max为洞室周边围岩变形对应的最大允许位移，其值一般依据工程规范或经验总结选取^{[7, 16]}。g₁(X)表明对于围岩塑性区的发展，当塑性区半径r_p与开挖半径r₀之比(r_p/r₀)不超过L时，可认为围岩是稳定的；g₂(X)表明若围岩塑性位移(或预计最终位移)u_ip不超过位移限值u_max，则意味着围岩是稳定的。

2  逆向可靠度方法

逆向可靠度方法的突出特点是当预先规定目标失稳概率后，获得的工程设计待求参数既考虑了不确定性因素影响，又满足了给定的可靠度水平。该方法符合当前国内外工程规范发展趋势中依照目标可靠度水平进行设计的理念，其已成为处理工程结构可靠度问题的重要组成部分^[16]。逆向可靠度方法最早可追溯至20世纪70年代关于如何处理工程结构随机变量累计分布函数的逆向估测(inverse measure)问题^[28]。从20世纪90年代起，有关可靠度逆向分析问题的研究才真正意义上开展起来，进而形成了基本的理论框架^[13-14]，并在此基础上提出一系列改进措施^[29-30]。对于逆向可靠度的定义，通常可表述为：在预先给定目标失稳概率(P_f)_Target或目标可靠度指标β_Target的情形下，对于表达式

             (14)

期望得到待求参数ω，使其获得的可靠度水平等于目标失稳概率(P_f)_Target。其中，随机向量X = (X₁, X₂, …, X_n)，表示原始空间对应的n个基本变量X_i (i = 1, 2, …, n)；g(X)和G(U)分别为原始空间和标准正态空间中的极限状态方程，通过对X的标准正态化转换可得到标准正态空间中随机向量U；F_Xi为X_i的累积分布函数；F(·)为标准正态的累积分布函数。

按照对目标可靠度指标β_Target几何意义的描述，它表示标准正态空间坐标原点至极限状态曲面的最短距离，即对应以下最优化问题：

               (15)

式中：U = (u₁, u₂, …, u_i, …, u_n)，表示标准正态空间中随机向量U包含n个基本变量u_i。

结合式(14)和式(15)，在验算点处标准正态随机向量U和目标可靠度指标β_Target分别满足：

  (16)

     (17)

式中：，表示极限状态方程在标准正态随机向量U处的偏导向量。联立式(16)和式(17)，可得标准正态随机向量U和目标可靠度指标β_Target两者之间的关系：

       (18)

注意到标准正态随机向量U位于极限状态曲面上，故式(14)中G(U, ω) = g(X, ω) = 0。若设待求参数ω的初始值为ω₀，利用Taylor级数将标准正态空间中的功能函数G(U)在ω₀处展开，截取其前2项后可得

  (19)

根据式(19)可进一步求得待求参数ω：

       (20)

为计算待求参数ω，需联立式(18)，(19)和(20)进行迭代，即首先令标准正态随机向量U初始值为U₀，将它与式(19)中待求参数ω初始值ω₀相结合，分别计算和，将它们分别代入式(18)和(20)获得新的U₁和ω₁；然后，以U₁和ω₁作为下一轮迭代初始值，并按上述方式继续进行迭代。设U_k和ω_k分别为迭代过程中第k次随机向量值和待求参数值，e₁和e₂为相应的收敛精度(取10^-4~10^-3)，迭代过程满足的收敛条件如下式所示：

            (21)

再由P_f = F(–β)计算得到目标失稳概率(P_f)_Target。

以上给出了逆向可靠度方法基本的计算实施流程。

3  工程算例分析

3.1  可靠度逆向问题的待求设计参数计算

以式(12)所示极限状态方程g₁(X)为例。该极限状态方程被广泛应用于正向可靠度范畴内各种不同计算方法的对比分析^{[8, 10, 16, 21]}，其中涉及的随机变量为：岩石内摩擦角φ和黏聚力c，它们均服从正态分布(φ的均值为22.85^°，标准差为1.31^°；c的均值为0.23 MPa，标准差为0.068 MPa)；开挖半径r₀、初始地应力p₀以及支护阻力p_s视为确定性参数，且r₀ = 2.5 m(对应L = 3.0)，p₀ = 2.5 MPa。p_s则根据计算需要可分别选取一系列确定值。

可靠度逆向分析问题可描述为：当预先规定目标失稳概率(P_f)_Target(或目标可靠度指标β_Target)时，如何由式(12)反求维持围岩稳定所需的支护阻力p_s，即待求工程设计参数(设为p_d)。为便于说明在解决该可靠度逆向问题时采用本文方法的可行性和准确性，首先考虑在可靠度正向分析范畴内，支护阻力p_s作为已知工程参数，可分别取0，0.05，0.10，0.15，0.20，0.25，0.30，0.35，0.40和0.45 MPa，进而通过式(12)求得10个相应的可靠度指标β_Foraward和验算点；然后，将以上由可靠度正向计算获得的这10个可靠度指标β_Foraward视为可靠度逆向分析中的目标可靠度指标β_Target，即β_Target=β_Forward；同时，将支护阻力p_s视为工程设计未知的待求参数p_d。根据这些给定的目标可靠度指标，采用本文逆向可靠度方法反求每个目标可靠度指标β_Target对应的p_d，计算结果见表1。

从表1可见：在计算精度上，对于每个给定的目标可靠度指标β_Target，通过本文逆向可靠度方法计算得到的待求设计参数p_d(支护阻力)与可靠度正向分析中支护阻力p_s作为已知工程参数时的值一致，且求得的验算点值与通过可靠度正向分析获得的验算点值也非常接近；在计算效率上，可靠度逆向分析过程计算工作量较少，只需5~9次迭代就可得到相应结果。

需指出的是：对于以上逆向可靠度方法的实施过程，待求设计参数计算需预设其初始值(见式(19)和式(20))。因此，为进一步探究其初始值选取对可靠度逆向计算结果的影响，以表1中可靠度正向分析涉及的支护阻力p_s=0.3 MPa，对应可靠度指标β_Forward=2.580 9为例，当采用本文逆向可靠度方法时，设目标可靠度指标β_Target=β_Forward=2.580 9，并试取待求设计参数p_d的初始值分别为0.001，0.005，0.010，0.050，0.100，0.500，1.000，1.500，2.000，2.500，3.000和3.500 MPa，进而依次求得p_d相应的计算结果，如表2所示。

表1  可靠度逆向分析的待求参数p_d(支护阻力)计算结果

Table 1  Calculation results of parameters p_d (support pressure) obtained in inverse reliability analysis

表2  待求参数p_d(支护阻力)不同初始值时的计算分析过程

Table 2  Calculation analysis process for various initial values of parameters p_d (support pressure) obtained       MPa

分析表2可知：虽然可靠度逆向计算过程中待求支护阻力p_d选取的初始值不同，但均可求得相应的计算结果，并收敛于p_d≈0.3 MPa，这与可靠度正向分析中作为已知参数的支护阻力p_s是一致的，表明待求参数p_d初始值的选取不会影响其最终计算结果；待求支护阻力p_d初始值仅对其迭代收敛次数产生一定影响，如当p_d初始值取0.001~1.500 MPa时，迭代次数为7次；当p_d初始值取2.000~3.500 MPa时，迭代次数为8次，但它们之间差别不大。

3.2  基于可靠度逆向分析的稳定性设计

如前所述，目前在各类岩石隧道信息化设计中，围岩变形信息是此类隧道整体稳定性最直接、最能反映本质和总体的宏观表现。在该过程中，通常以洞室周边位移的变化发展来掌握岩石隧道经受各种因素作用的力学动态，进而将有关允许变形值作为围岩稳定性设计的依据。由式(13)可见：将围岩位移限值u_max视为洞室周边的最大允许位移，当利用该位移限值进行稳定性设计时，若量测的位移未达到或不超过u_max(或预计最终位移将不超过这一位移限值)，则意味着围岩是稳定的，反之则趋于不稳定，需采取加强处治措施等支护手段。

为此，设目标失稳概率(P_f)_Target分别为15.87%，6.68%，2.28%和0.62%(对应目标可靠度指标β_Target 分别为 1.0，1.5，2.0和2.5)，式(13)中随机变量为围岩内摩擦角φ(均值为22.85^°，标准差为1.31^°)、黏聚力c(均值为0.23 MPa，标准差为0.068 MPa)、变形模量E(均值为373 MPa，标准差为48 MPa)，它们均服从正态分布，且φ与c之间的相关系数ρ_φc=-0.5。其他确定性参数取值为：隧道半径r₀=2.5 m，初始地应力p₀ = 2.5 MPa，围岩泊松比=0.3。现考虑该式中随着围岩位移限值u_max与开挖半径r₀比值(u_max/r₀)的变化和发展，通过本文逆向可靠度方法获得岩石隧道稳定性设计所需的待求参数p_d(对应支护阻力)，如图2所示。

据图2，当已知目标失稳概率(P_f)_Target时，按照岩石隧道稳定性设计过程中针对围岩位移限值u_max的要求，即可获得对应的待求支护阻力p_d，以确保岩石隧道稳定可靠度满足预先给定的可靠度水平。以图2(a)为例，当目标失稳概率(P_f)_Target=15.87%(对应可靠指标β_Target=1.0)时，若(u_max/r₀)=0.004，则稳定性设计所需p_d需达到1.527 4 MPa；若(u_max/r₀)=0.010，则所需p_d将减少至0.694 6 MPa；若(u_max/r₀)=0.03，则所需p_d将进一步减小至0.137 2 MPa。对于图2中其余各分图，可采取类似方式获得待求支护阻力p_d。因此，对于预先给定的目标可靠度水平，通过图2可方便地调控待求支护阻力，使其能直观地为岩石隧道稳定性设计提供指导。

另外，由图2还可看出：在一定的目标失稳概率下，随着u_max/r₀减小，待求支护阻力p_d逐渐增大，曲线呈单调递减，这表明当容许的围岩位移限值越小，即岩石隧道稳定性要求越高时，相应的稳定性设计所需支护阻力将越大，这显然与工程实际相符；进一步对比各分图可知，在不同目标失稳概率下，当(u_max/r₀)取相同值时，目标失稳概率越大(或目标可靠度指标越小)，相应的待求支护阻力越小，如取(u_max/r₀)=0.004时，图2(a)中，(P_f)_Target=15.87%对应p_d=1.527 4 MPa，图2(b)中(P_f)_Target= 6.68%对应p_d=1.633 6 MPa，图2(c)中(P_f)_Target=2.28%对应p_d=1.763 3 MPa，图2(d)中(P_f)_Target=0.62%对应p_d=1.939 9 MPa；当(u_max/r₀)取其他值时，也可进行类似分析。这说明在一定围岩位移限值条件下，随着目标失稳概率减小即岩石隧道稳定性设计时要求的可靠度越高，则所需支护阻力越大，这显然也与工程实际相符。

图2  不同目标失稳概率下围岩变形限值与待求支护阻力的关系

Fig. 2  Relationship between deformation limiting values and support pressure to be calculated for different target probability of failure

4  结论

1) 对于预先给定的目标可靠度水平，采用逆向可靠度方法计算岩石隧道工程待求参数时，能够得到满意的求解结果，且计算效率高，数值稳定性好。

2) 待求参数初始值的选取不会影响逆向可靠度方法的最终计算结果，不同初始值仅对其求解过程中迭代次数产生一定影响，但差别不大。

3) 通过基于可靠度逆向分析的稳定性设计，可方便地调控待求支护阻力，使其直观地为岩石隧道工程设计提供与实际情形相符的指导依据：对于一定的目标失稳概率，容许的围岩位移限值越小，支护阻力需求越大；对于一定的围岩位移限值，目标失稳概率值减小，支护阻力需求越大。

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(编辑  陈灿华)

收稿日期：2017-07-10；修回日期：2017-09-15

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(41772313, 11472311)；中国博士后科学基金资助项目(2014M552159) (Projects(41772313, 11472311) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(2014M552159) supported by the China Postdoctoral Science Foundation)

通信作者：李翔，博士(后)，讲师，从事深部岩石力学与地下工程稳定可靠度及鲁棒性设计研究；E-mail: xli_xiangli@csu.edu.cn; xl_xiangli@126.com

摘要：针对软弱质岩石环境下的隧道围岩变形机制，建立基于围岩变形失稳控制的极限状态方程。为了研究其相应的可靠度逆向问题即在已知目标失稳概率条件下，反求工程参数以确保满足预先规定的可靠度水平，引入逆向可靠度方法并归纳其具体的计算实施流程。采用该方法验证其在岩石隧道可靠度逆向分析过程中待求工程参数的计算精度和效率，分析待求工程参数在不同初值条件下对计算结果的影响。在此基础上，考虑不同水平的目标失稳概率，通过该方法开展基于围岩变形准则的岩石隧道稳定性设计。研究结果表明：逆向可靠度方法对于待求工程参数能以较高效率获得满意的计算结果，且其初值选取不会影响该方法求解的准确性，仅对其收敛速度有一定影响；利用逆向可靠度方法可方便调控待求工程参数值，为岩石隧道工程设计提供参考依据。