一种无碴轨道动力学建模的新方法

赫  丹，向  俊，曾庆元

(中南大学 土木建筑学院，湖南 长沙，410075)

摘  要：针对无碴轨道(以博格板式轨道为例)结构特点，提出横向有限条与板段单元动力分析新模型。将高速列车(以中华之星为例)的动车及拖车均离散为具有二系悬挂的多刚体系统，基于弹性系统动力学总势能不变值原理及形成系统矩阵的“对号入座”法则，建立高速列车-无碴轨道时变系统竖向振动矩阵方程，采用Wilson-θ法求解。分别采用传统的静力模型和横向有限条与板段单元动力分析模型，计算并比较钢轨与博格板的静、动态竖向位移最大值，得出车速为200 km/h时此系统竖向振动响应时程曲线。计算结果表明，钢轨与博格板的静、动态竖向位移最大值接近，计算值均在通常值范围内，说明所提出的新模型正确、可行。

关键词：高速铁路；无碴轨道；博格板式轨道；横向有限条；板段单元；高速列车；竖向振动

中图分类号：U211.3         文献标识码：A         文章编号：1672-7207(2007)06-1206-06

A new method for dynamics modeling of ballastless track

HE Dan, XIANG Jun, ZENG Qing-yuan

(School of Civil and Architectural Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

Abstract: According to the structural characteristics of the ballastless track such as the B?gl slab track, a new dynamic analysis model of the lateral finite strip and slab segment element was put forward. Both the motor car and trailers of the high-speed train such as the China-star were modeled as the multi-body system with two suspensions. Based on the principle of total potential energy with stationary value in elastic system dynamics and the rule of “set-in-right-position” for formulating system matrixes, the vertical vibration equation set of the high-speed train and ballastless track time-dependent system was established. The equation set was solved by Wilson-θ method. The vertical displacements of the rail and the slab were obtained by the traditional static model and the dynamic analysis model of the lateral finite strip and slab segment element respectively. And the comparison between the vertical static and dynamic maximum displacements of the rail and the slab was made. The time history curves of the vertical vibration of the system were obtained when the train runs at the speed of 200 km/h. The calculated results demonstrate that the vertical static and dynamic maximum displacements of the rail and the slab are close and the values are in general range. All the calculated results demonstrate the correctness and feasibility of the new model.

Key words: high-speed railway; ballastless track; B?gl slab track; lateral finite strip; slab segment element; high-speed train; vertical vibration

无碴轨道由于其结构高度低、轨道横向阻力大、稳定性好、适用性及耐久性强、使用寿命长、维修保养工作量少、列车高速行驶时不存在道碴飞溅现象等突出优点，在日本、德国等国家得到了广泛应用。日本主要采用板式(Slab)无碴轨道，德国主要采用雷达(Rheda)和博格(B?gl)无碴轨道。

我国正大力发展客运专线，其轨道结构型式将以成区段铺设无碴轨道为主^[1-3]。然而，我国在无碴轨道建设方面尚缺乏成熟经验，主要参照国外已有技术。因此，对无碴轨道进行动力分析具有重要现实意义。长期以来，国内外有关无碴轨道的研究多限于静力分析，对动力学方面的研究较少。例如，Verbic等^[4]利用边界有限元方法建立了无碴轨道竖向动力模型并分析了其动力特性；Esveld^[5] 建立了板式轨道与列车竖向振动模型，分析了车辆及无碴轨道竖向振动响应；针对高速列车在无碴轨道上运行时所产生的噪声问题，Diehl等^[6]提出了无碴轨道竖向振动模型，van Lier^[7]利用TWINS软件建立了钢轨埋入式板式轨道竖向振动模型，Cui等^[8]建立了浮置板式无碴轨道系统竖向振动模型；翟婉明等^[9]认为板式轨道结构形式对称，取一股轨道，并抽象为弹性基础上的叠合梁，建立了车辆与板式轨道垂向相互作用的动力学分析模型；蔡成标等^[10]将轨道板简化为弹性薄板，建立了车辆-轨道竖向耦合动力学模型；张格明^[11]建立了长枕埋入式、弹性支承块式及板式三种无碴轨道结构的横向及竖向振动分析模型，其中板式轨道竖向振动分析模型与文献[9]中的模型类似。在此，本文作者针对博格板式无碴轨道结构特点，提出横向有限条与板段单元动力分析新模型。在此基础上，以高速列车中的中华之星(China-star)及无碴轨道类型中的博格板式轨道(B?gl slab track)为例，研究高速列车-无碴轨道时变系统竖向振动。

1  无碴轨道动力学模型及参数

路基上博格板式无碴轨道系统的结构构造层次^[5]依次为：防冻层(FSS)、水硬性混凝土支承层(HGT)、水泥沥青砂浆层(CAM)、预制的博格板(在其上安装扣件系统)。针对博格板式无碴轨道结构特点，利用横向有限条与板段单元来模拟博格板式无碴轨道，具体有限元模型如图1所示。

在应用该单元时，遵循如下基本假定：垂直截取轨道相邻两扣件之间的博格板式无碴轨道为一个轨段单元；钢轨与博格板之间的竖向相互作用模拟为线弹簧和粘滞阻尼器；博格板通过水泥沥青砂浆与水硬性混凝土支承层连接，水泥沥青砂浆层模拟为线性均布面弹簧和粘滞阻尼器；水硬性混凝土支承层及其下基础视为刚性；钢轨离散为弹性点支承Euler梁，其节点位移取在钢轨两端位置上；博格板的节点位移取在轨段单元中博格板的4个角点位置上。这样，可取如下变位参数描述轨段单元的节点位移。

图1  博格板式无碴轨道横向有限条与板段单元分析模型

Fig.1  Analysis model of lateral finite strip and slab segment element for B?gl slab track

有关轨段单元中钢轨上任一点处的竖向位移表示式见文献[12]。下面研究博格板上任一点竖向位移的插值方法。

如图1所示，在轨段中沿Y 轴方向任取一横向有限条abcd，当其宽度较小时可视为梁段ij，则梁段ij上任一点的挠度W可用其两端点i和j的变位参数并采用Hermite三次方插值函数插值得到。而i和j两端点处的变位参数又可用轨段单元的节点位移插值得到，其中线位移采用Hermite 三次方插值函数插值，转角采用线性插值。最后，可得

上述有关博格板竖向位移插值的方法，称为“横向有限条与板段单元”分析方法。这种方法与一般的常规板单元相比，具有简单、实用的特点。

据上述各位移表示式，可以导出博格板式无碴轨道各部件的竖向振动势能式，包括：钢轨的弹性变形能及惯性力势能、博格板的弹性变形能及惯性力势能、钢轨垫层的弹性变形能及阻尼力势能、CAM的弹性变形能及阻尼力势能。

这里仅列出博格板的竖向弯曲弹性变形能U_s及竖向惯性力势能。

将上述轨段单元中各部件的竖向振动势能式相加，即得到第i个轨段单元竖向振动总势能П_Ti。设计算长度范围内共划分了N个轨段单元，则  

其中

有关博格板式轨道动力学参数取值见表1。

表1  博格板式轨道动力学基本参数

Table 1  Basic dynamic parameters of B?gl slab track

2  高速列车动力学模型及参数

以中华之星(China-star)高速列车(列车编组取为1动+1拖)为例，进行高速列车-博格板式无碴轨道时变系统竖向振动分析。其中，列车的动车及拖车均离散为具有二系悬挂的多刚体系统，每辆车的车体及转向架均考虑浮沉和点头2个自由度，每个轮对仅考虑浮沉1个自由度。这样，每辆车共计有10个自由度。据此位移模式，可以导出高速列车的竖向振动总势能^[12]。

有关中华之星高速列车动力学参数取值见表2。

表2  中华之星动车及拖车动力学基本参数

Table 2  Basic dynamic parameters of motor car and trailer of China-star high-speed train

3  高速列车-博格板式无碴轨道时变系统竖向振动方程的建立及求解

设在t时刻轨道的计算长度范围内有M辆车，则此时轨道上高速列车的竖向振动总势能为

。              (8)

此系统在t时刻的竖向振动总势能为

。             (9)

考虑轮轨竖向位移衔接条件(车轮竖向位移=钢轨竖向位移+轨道竖向不平顺+轮轨竖向相对位移)，根据弹性系统动力学总势能不变值原理^[13]及形成系统矩阵的“对号入座”法则^[14]，即可得到此

采用Wilson-θ直接数值积分法求解该矩阵方程。取时间步长=1.5 ms，θ=1.4。

4  计算结果与分析

对中华之星高速列车(列车编组取为1动+1拖)以200 km/h速度通过长度为120 m的博格板式无碴轨道时的系统竖向振动响应进行计算。作为此系统竖向振动激振源的轨道高低不平顺取为周期性正弦函数。

4.1  模型验证

为了初步验证本文提出的计算模型与方法的正确性，不考虑轨道不平顺，计算博格板式无碴轨道在中华之星高速列车以50 km/h作用下的钢轨及博格板竖向振动位移最大值，计算结果见表3；同时，将采用文献[15]中板式轨道静力模型(双层叠合梁)计算所得的结果也列于表3。需要说明的是，在动力计算中，不考虑轨道不平顺，车速取得较低，其目的是为了增加与静力计算模型的可比性。由表3可知，本文提出的计算模型与方法证明正确、可行。

表3  采用本文模型与文献[15]中模型计算竖向位移最大值的比较

Table 3  Comparison of maximum vertical displacement calculated by model in this paper with one in Ref.[15]

4.2  时速为200 km/h时此系统竖向振动响应的时程曲线

这里只列出部分具有代表性的系统振动响应时程曲线图，其中包括：车体竖向加速度、轮轨竖向力、钢轨及博格板的竖向位移和加速度，分别如图2~7所示。以轨道高低不平顺为激振源，并取为波长20 m，波幅6 mm的周期性正弦函数。

从图2~7可以看出，计算结果均在通常范围内，各响应波形符合物理概念。例如，对于钢轨某一处来说，当列车车轮经过该处时，钢轨竖向位移均较大，当车轮在该处之前及之后时，钢轨竖向位移均很小，

图2  动车车体竖向加速度时程曲线

Fig.2  Time history curve of vertical acceleration of motor car body

图3  动车第4轮对左轮竖向轮轨力时程曲线

Fig. 3  Time history curve of vertical wheel-rail force of the left wheel of the fourth wheel set of motor car

图4  钢轨中点竖向位移时程曲线

Fig. 4  Time history curve of vertical displacement in the middle of rail

图5  钢轨中点竖向加速度时程曲线

Fig. 5  Time history curve of vertical acceleration in the middle of rail

图6  博格板中点竖向位移时程曲线

Fig. 6  Time history curve of vertical displacement in the middle of B?gl slab

图7  博格板中点竖向加速度时程曲线

Fig. 7  Time history curve of vertical acceleration in the middle of B?gl slab

甚至为零；此外，从图中还可确定列车车辆的数目，以及列车何时通过钢轨观察点，从而说明本文模型与方法正确可靠，并能较好地反映博格板式无碴轨道的动力特性。

5  结  论

a. 针对无碴轨道结构类型之一的博格板式轨道结构特点提出的横向有限条与无碴轨道板段单元新模型，相对于有限元教材中的常规薄板单元，具有自由度少、简单和实用的特点，其核心在于对板单元的处理，可用于大型列车-无碴轨道系统振动分析。该新模型亦适用于其他无碴轨道结构动力学建模。

b. 计算了时速为200 km/h的中华之星高速列车与博格板式无碴轨道时变系统竖向振动响应，得出了系统各响应时程曲线。其计算波形及量值，可以较好地反映博格板式无碴轨道的动力特性，证明该模型正确、可行。

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CHEN Xiu-fang. Railway track engineering[M]. Beijing: China Construction Industry Press, 2005.

收稿日期：2007-03-15；修回日期：2007-05-05

基金项目：国家重点基础研究发展计划项目(2007CB714706)；国家自然科学基金资助项目(50678176,50078006)

作者简介：赫  丹(1981-)，男，河南确山人，博士研究生，从事列车-轨道系统振动研究

通信作者：赫  丹，男，博士研究生；电话：13755062340(手机)；E-mail: hdpx8110@sina.com