DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2017.10.016
大型数控成形磨齿机热误差建模及补偿
周宝仓1，王时龙1，方成刚2，杨勇3
(1. 重庆大学 机械传动国家重点实验室，重庆，400044；
2. 南京工业大学 机械与动力工程学院，江苏 南京，210009；
3. 重庆机床(集团)有限责任公司，重庆 401336)
摘要：基于大型数控成形磨齿机热误差是影响齿面加工精度的重要因素，通过建立磨齿机热误差实验平台，研究砂轮与工件轴的径向热误差随温度变化的关系。结合模糊聚类法基本原理和最小二乘法理论，建立砂轮与工件轴的径向热误差补偿模型，并将补偿模型的计算值与实验检测值进行对比。进行热误差补偿加工实验，验证热误差补偿模型的准确性与可靠性，揭示成形磨齿机热误差与温度之间的关系。研究结果表明：该误差模型的补偿精度高、可靠性好，与实验测量值的相对误差小于2.000%，可有效提升齿面整体加工精度(ISO) 3级以上。
关键词：数控成形磨齿机；热误差；模糊聚类；最小二乘法；误差补偿模型
中图分类号：TH161 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2017)10-2672-06
Modeling and compensation of thermal error for large-scale CNC gear profile grinding machine tools
ZHOU Baocang1, WANG Shilong1, FANG Chenggang2, YANG Yong3
(1. State Key Laboratory of Mechanical Transmission, Chongqing University, Chongqing 400044, China;
2. School of Mechanical and Power Engineering, Nanjing University of Technology, Nanjing 210009, China;
3. Chongqing Machine Tool (Group) Co. Ltd., Chongqing 401336, China)
Abstract: Considering that the thermal error of large-scale computerized numerical control (CNC) gear profile grinding machine tools is an important factor for gear machining accuracy, a thermal error experiment platform was established to investigate the relationship between radial thermal error and temperature of the grinding wheel and the workpiece shaft. Then the thermal error compensation models of them were set up by adopting the methods of fuzzy clustering and least-square. After that, the results of thermal error compensation models and the experimental data were compared. The accuracy and reliability of the thermal error compensation models were verified, and the relationship between the thermal error and the temperature of the gear grinding machine tools was also revealed. The results show that the relative errors between models calculation and experimental data are less than 2.000%, and the machining accuracy of tooth surface can be effectively improved more than three levels according to the ISO standard. The analysis indicates the thermal error models have high compensation precision and good reliability.
Key words: CNC gear profile grinding machine tools; thermal error; fuzzy clustering; least-square method; error compensation model
大型数控成形磨齿机是一种高效、精密的齿轮加工设备，广泛应用于风电、水电、船舶、工程机械等重型装备领域的大规格、高精度齿轮加工。在加工齿轮工件时，磨齿机需长时间连续运行，其导轨、滑块、丝杠等运动部件因相互摩擦等逐渐产生大量的热，再加上电机发热、砂轮与工件的磨削热等多种热源的影响，机床温度会逐渐升高并产生相应的热变形，造成砂轮与工件之间产生相对位置误差，从而严重影响齿轮的加工精度[1]。尤其是随着磨削速度、电机功率、加工效率的不断提升，机床热变形导致的齿面加工误差(简称热误差)可占机床加工总误差的70%[2]。建立高精度、高可靠性的机床热误差补偿模型，是提高机床加工精度的重要保证。为此，国内外研究者进行了广泛的研究和探索，通过神经网络理论、贝叶斯网络理论、模糊控制理论、灰色系统理论等多种人工智能理论以及遗传算法、有限元法、多元线性回归等多种误差补偿方法建立机床的误差模型[3-9]。刘明等[10]运用多体系统理论与神经网络方法建立了机床通用误差计算模型、温度与变形参数模型，并在Makino四轴加工中心进行了实验验证，达到了误差补偿预期效果。KIM等[11]运用有限元方法建立了机床滚珠丝杠系统的温度场模型。张毅等[12]结合灰色模型和神经网络理论的优点，建立了机床热误差预测模型并验证了模型的补偿精度。陶晓杰等[13]从机床主要部件的结构出发，对机床热变形进行了简略推导，得到了机床热误差对刀具与工件间的相对位置的影响规律。陈彧龙[14]分析了滚齿机加工热变形现象及热变形对齿轮加工精度的影响，并提出了一种滚齿机热误差的新型检测方案。虽然这些研究对机床热误差产生机理及误差控制方法进行了探索，但大型数控磨齿机尺寸庞大、结构复杂、热源广泛，其热误差产生原因纷繁复杂，并且机床各部位的温度变量间相互作用和影响，使得单从理论角度对磨齿机进行热误差分析并建立高精度、高可靠性的误差补偿模型显得十分困难。在保证砂轮修形精度的前提下，机床热误差导致的砂轮与齿轮工件轴的径向位置误差对齿面加工精度起到了决定性作用，故研究砂轮、齿轮工件轴的热误差变化规律，是建立磨齿机误差补偿模型的前提。为探明磨齿机热误差变化规律并建立精确的热误差补偿模型，本文作者以某大型数控成形磨齿机为研究对象，通过建立热误差实验平台，获得机床温升与砂轮、工件轴的径向热误差变化情况。在此基础上，运用模糊聚类回归法的基本原理，对多个温度变量进行相关性分析，从中选出9个关键的温度变量。最终，采用多元线性回归-最小二乘法理论建立机床热误差补偿模型；通过热误差补偿加工实验，验证了模型的准确性与可靠性。
1 大型数控成形磨齿机温度测量点的选择与优化
1.1 磨齿机的基本结构
图1所示为某大型数控成形磨齿机基本结构图。该型磨齿机的X和Z轴采用静压导轨；床身、数控转台均为独立结构且采用多个螺栓连为一体；床身及数控转台底座均通过垫铁、地脚螺栓与地基固定，使得整个机床具有良好的抗冲击、振动、位移能力。另外，该型磨齿机外形尺寸庞大、结构复杂、运动部件众多，在摩擦热、磨削热等多种内外热源的共同作用下，机床导轨、丝杠、电主轴、数控转台等多个部位会发生不同程度的温升而出现温度梯度，造成机床出现相应的热变形(见图2)，使得砂轮与齿轮工件轴产生位置误差，最终严重影响齿面加工精度。
1.2 磨齿机温度测量点的选择与优化
为探明磨齿机在长时间生产加工过程中的温度场，以某型大型数控成形磨齿机为研究对象，依据其结构特点及运动部件的温升情况，在机床主要受热部位设置26个温度传感器Ti(i=1，2，…，26)。由于在成形磨齿过程中，砂轮与工件沿机床坐标系Z方向的相对位置误差△z仅会影响齿面在齿轮圆周上的位置，而对齿面本身不会产生任何影响[8]。另外，砂轮、工件轴沿机床坐标系X方向的位置误差对齿轮加工精度的影响尤为明显。因此，分别在检测砂轮、工件轴的径向位置安装相应的激光位移传感器A和B，测得的位移分别为△xw和△xg。
图1 某大型数控成形磨齿机基本结构图
Fig. 1 Structure of large-scale CNC gear profile grinding machine tools
图2 大型数控成形磨齿机热变形示意图
Fig. 2 Thermal deformation diagram of large-scale gear profile grinding machine tools
图3所示为温度、位移测量点位置布置图。采用带热电阻(Pt100)传感器的MIK5010A数据记录仪、LTS-25-02型激光位移传感器分别记录测量点的温升、位移情况。实验期间，车间的环境温度为 (20±0.2) ℃，热电阻传感器的检测精度为0.01 ℃，激光位移传感器的检测精度为0.01 μm，砂轮工作转速为1 800 r/min。每分钟采集1次温度-位移数据，砂轮、工件轴随时间t的径向热误差变化曲线如图4所示。
由图4可以看出：随着磨齿机长时间连续运行，在前3 h内，砂轮、工件轴的径向热误差曲线随着时间t的增加而迅速增大；在3~4 h内，两者的误差曲线增长速度逐渐减缓，机床趋于热平衡状态；在4 h以后，曲线的变化近似于直线，表明机床完全达到热平衡状态。另外，图中砂轮、工件轴径向热误差曲线的连续性较好，无突变、断崖等现象，表明磨齿机本身具有优异的设计及结构特性，有利于实现更好的误差补偿效果。
磨齿机结构复杂、热源众多，各个热源间会产生相互作用，导致机床热误差补偿模型中的各个温度变量间出现变量耦合关系，从而降低补偿模型的准确性和鲁棒性[9]。对此，依据模糊聚类法基本原理[10]，先将机床温度与对应的位移变量进行相关性分析，把多个温度-位移变量间相关系数相近的归为1类；然后从中选取相关系数最大的温度变量为该类代表；最终，将各温度变量代表作为1个温度变量组用于磨齿机热误差建模。
图3 温度、位移测量点位置示意图
Fig. 3 Layout of temperature and measuring points in gear profile grinding machine tools
图4 砂轮与工件轴径向热误差实测曲线图
Fig. 4 The experiments thermal error of wheel and workpiece spindle in X direction
磨齿机第i个温度测量点的温度变量θi与位移变量△xi的相关系数ri为
(1)
式中：θi为磨齿机温度的第i(i=1，2，…，n)个样本值，℃；△xi为位移变量的第i(i=1，2，…，n)个样本值，μm；
为θi平均值，即
，℃；
为
的平均值，即
，μm。
由式(1)可计算得到砂轮的径向热误差与温度变量的相关系数r，如表1所示。
将表1中相关系数相近的温度变量归为1组，则有温度变量组{θ21，θ26}，{θ1，θ7，θ11}，{θ6，θ8，θ20}，{θ10，θ13，θ18}，{θ5，θ19，θ23，θ24}，{θ4，θ9，θ12，θ17}，{θ2，θ3，θ14，θ15，θ22}，{θ16，θ25}。与其他温度变量组相比，{θ21，θ26}和{θ1，θ7，θ11}的相关系数较小，因而对砂轮径向热误差的影响亦较小。为了降低热误差模型的维数，可将温度变量组{θ21，θ25}与{θ1，θ7，θ11}舍去，然后分别从其他各变量组中选取相关系数最大的变量。则用于砂轮径向热误差△xw建模的温度变量为θ2(X轴丝杠螺母座)、θ8(Z轴导轨下端)、θ9(X轴导轨前端)、θ13(Z轴丝杠螺母座)、θ16(电主轴前端)、θ24(冷却站进油口油温)。
表1 砂轮的径向热误差与温度变量的相关系数r
Table 1 r variables of grinding wheel between temperature and thermal error in X direction
同理，用于工件轴径向热误差△xg建模的温度变量为θ9(X轴导轨前端)、θ20(转台台面)、θ22(转台蜗轮蜗杆啮合部位)、θ23(工件夹具)、θ24(冷却站进油口油温)。
2 磨齿机热误差补偿模型的建立
运用聚类分析法对温度变量进行优选后，可采用多元线性回归分析中的最小二乘法，建立整体性好、鲁棒性强、精度高的机床热误差补偿模型。该方法结构简单、性能可靠、逼近精度较高，是机床热误差建模领域最有效的建模方法之一[11]。
由于△xw与经过优选的温度自变量θi导线性关系，依据多元线性回归理论，△xw与θi的数学模型为
(2)
式中：
；
，
；
；△xwk，θ(2)k，θ(8)k，θ(9)k，θ(13)k，θ(16)k和θ(24)k分别为△xw，θ2，θ8，θ9，θ13，θ16和θ24的k(i=0，1，2，…，n)组实验测量数据，A0~A6为△xw的7个待估计总体回归参数；ε1~εk为对应的k组相互独立且服从同一正态分布k(0，σ)的随机变量。
设aj(j=0，1，2，…，6)为A0~A6的最小二乘估计参数，则方程组(2)可转化为
(3)
依据最小二乘法原理，对于估计参数aj，需使△xw的残差平方和达到最小值，即
(4)
在最小值处的偏导数为0，即
(5)
将实验测量值△xwk，θ(2)k，θ(8)k，θ(9)k，θ(13)k，θ(16)k和θ(24)k代入式(5)，解得回归参数aj并代入式(3)，即可得到砂轮径向的误差△xw与θi的误差补偿模型方程：
(6)
同理，工件轴热误差△xg与优选后的温变量度θi的误差补偿模型方程为
(7)
3 热误差模型分析
由式(6)~(7)可分别得到补偿模型的计算值与时间t的关系曲线
和
，以及热误差补偿模型计算值与实验测量值的拟合误差曲线
和
，如图6所示。由图5可知：当磨齿机达到热平衡状态时，实验测得的砂轮、工件轴的径向热误差分别为33.28 μm和24.32 μm。根据补偿模型计算出二者的热误差分别为32.83 μm和23.96 μm，补偿模型计算值与实验测量值的相对误差分别为1.352%和1.480%，均低于2.000%，表明砂轮、工件轴的径向热误差实验测量曲线与补偿模型曲线的拟合程度较好，模型的补偿精度高。
图5 砂轮与工件轴径向热误差补偿及拟合误差曲线
Fig. 5 The thermal error compensation and fitting error curves of wheel and workpiece spindle in X direction
将砂轮与工件轴径向热误差的实验测量曲线与补偿模型曲线进行对比可知：在磨齿机未达到热平衡状态时，实验测量值与模型计算值相比，出现时大时小的情形。这是因为磨齿机零部件间有着一定的装配间隙；各部件的金属种类不同，热膨胀系数也不同，使得各个零部件存在温升以及热膨胀不均匀现象；机床内部液压油因温度较低出现轻微的粘滞现象，使得导轨接触面未得到充分润滑，受摩擦力相对较大等因素的影响，砂轮与工件轴的径向热误差出现非均匀、非线性增长；当磨齿机达到热平衡状态后，机床各部位间的温升、运动导轨副间的阻力、零部件的热膨胀等达到了稳定状态，热误差曲线不再随加工时间的变化而出现较大的变化，近似呈直线状态，与磨齿机的实际工作情形相符。但由于受到砂轮修形精度、砂轮转动的不平衡性、磨削振动、冷却液流量和喷淋位置、机床部件装配误差以及数控转台涡轮蜗杆的摩擦振动等众多因素的影响，热平衡后的实验测量值均大于补偿模型计算值。
4 磨齿机热误差的补偿过程及其加工实验
对磨齿机进行热误差建模及补偿的最终目的是提高成形磨齿加工后的齿轮精度。因此，以砂轮、工件轴热误差补偿模型为基础，运用软件在线补偿的方式，在南京工大数控有限公司的某大型数控成形磨齿机上，进行热误差补偿加工实验。在筛选优化后的机床重要部位布置相应的热电阻(Pt100)温度传感器，通过PLC模块采集温度信号并转换为PLC存储字节，数控系统R参数读取字节，获得反馈的温度；嵌入机床数控系统的热误差补偿模块直接读取由R参数得到的温度并计算出砂轮、工件轴的实际径向热误差；磨齿机数控系统读取该误差后，通过调整X轴驱动电机的脉冲数，对砂轮径向位置误差进行补偿；通过调整数控转台力矩电机的脉冲数，对工件轴的径向位置误差进行补偿，从而实现磨齿机热误差的实时在线补偿。相关补偿参数的调整均可在数控系统中完成，无需增添机械调整装置。磨齿机热误差补偿相关流程如图6所示。
图6 大型数控成形磨齿机热误差补偿流程图
Fig. 6 Thermal error compensation process of large-scale gear profile grinding machine tools
补偿实验所加工的齿轮工件的法向模数为14 mm，齿数为35，压力角为20°，螺旋角为30°。利用江苏省工业装备数字制造及控制技术重点实验室的WENZEL (LH1512)三坐标测量机，检测误差补偿前后的齿轮齿廓形状偏差、齿廓倾斜偏差和齿廓总偏差。实验期间，车间温度为(20.1±0.2) ℃，三坐标检测室室温为(20.2±0.1) ℃，三坐标测头的直径为4.99 mm。
误差补偿前，齿轮左、右齿面的最大齿廓倾斜偏差分别为37.7 μm和30.8 μm；误差补偿后，左、右齿面的最大齿廓倾斜偏差分别减小至4.9 μm和4.3 μm。与补偿前相比，齿廓倾斜偏差分别减少33.8 μm和26.5 μm，精度等级(ISO)由8级提高至2级；齿廓总偏差(ISO)由8级提高至5级，补偿效果明显。机床热误差补偿模型结果与实验结果一致性好，模型精度高，实用性强，能够满足实际生产的需要，可以有效提高齿轮加工精度。
5 结论
1) 采用模糊聚类回归法对机床的多个温度变量进行优选；依据多元线性回归-最小二乘法的基本原理建立砂轮、工件轴的径向热误差补偿模型。
2) 经过分析，砂轮、工件轴的径向热误差模型的补偿精度与实验测量值的相对误差均低于2.000%，表明补偿模型曲线的拟合程度较好、补偿精度高。
3) 该热误差补偿模型可有效减小齿面误差，提升齿面整体加工精度(ISO) 3级以上，从而验证了模型的准确性与可靠性。
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(编辑 伍锦花)
收稿日期：2016-12-29；修回日期：2017-02-06
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金面上项目(51375508)；“十二五”国家科技支撑计划项目(2014BAF08B02)；重庆市杰出青年科学基金项目(cstc2014jcyjjq70001)(Project(51375508) supported by the General Program of National Natural Science Foundation of China; Project(2014BAF08B02) supported by the National Science and Technology Pillar Program during the 12th “Five-year” Plan Period of China; Project (cstc2014jcyjjq70001) supported by the Chongqing Science Funds for Distinguished Young Scholar)
通信作者：王时龙，博士，教授，博士生导师，从事制造信息自动化、数控装备技术等研究；E-mail：slwang@cqu.edu.cn
