DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.04.036

竖向混合结构阻尼矩阵近似解耦计算的误差分析

黄维，钱江，梁飞飞，周知

(同济大学 土木工程防灾国家重点实验室，上海，200092)

摘要：将竖向混合结构等效成两自由度结构模型，对该两自由度模型进行不同子结构参数取值下的近似解耦计算，分析其模态阻尼矩阵对角占优程度和近似解耦计算结构响应误差情况。研究结果表明：在不同子结构特性下，模态阻尼矩阵对角占优指数和位移误差指数的衰退特征具有相似性。因此在竖向混合结构动力分析时，可以采用对角占优指数来判定采用近似解耦计算的可行性。

关键词：竖向混合结构；非比例阻尼矩阵；模态阻尼矩阵；对角占优；解耦误差

中图分类号：TU398             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2015)04-1454-07

Errors of approximate decoupling analysis for vertically mixed structures

HUANG Wei, QIAN Jiang, LIANG Feifei, ZHOU Zhi

(State Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Abstract: Through equivalent two degree-of-freedom (2-DOF) models with different sub-structural dynamic properties, the quantifications of diagonal dominance and decoupling errors were calculated to verify the degree of approximation and feasibility of this method. The results show that with different sub-structural dynamic properties, the distribution of diagonal dominance and displacement errors of the models are similar. Therefore, the diagonally dominant index can be adopted to analyze the feasibility of decoupling approximation method in calculation of dynamic response of vertical mixed structure.

Key words: vertically mixed structure; non-proportional damping matrix; modal damping matrix; diagonal dominance; decoupling errors

近年来，高层建筑设计为满足功能的多样性以及造型新颖性等需求，采用了不少体型复杂、内部空间多变的建筑方案，钢-混凝土竖向混合结构体系的应用日渐增多。钢-混凝土竖向混合结构由下部钢筋混凝土结构和上部钢结构串联组成，其沿竖向变化的抗侧刚度能较好的适应结构变形需求。例如：上海环球金融中心大厦内部的核心筒采用了竖向混合的方案，其79层以下核心筒为钢筋混凝土筒体，为减轻结构自重、增加延性，79层以上核心筒用内置钢框架的钢筋混凝土筒体，而在95层以上则改变为空间钢桁架筒体形式。还有中国民生银行大厦原是一幢地下2层，地上35层，高度135 m的钢管混凝土框架-核心筒高层建筑。2005年结构改造中，采用钢结构加层至45层，总高度达到175.8 m^[1]。在这类结构中，上、下部分采用不同材料，各部分耗能机制不同，使得整体结构的阻尼特性难以确定，进而影响结构抗震设计。对于由2种或2种以上的不同材料串联组成的竖向混合结构，由于不同材料在结构的不同部分提供的能量损失机制差别很大，结构特性会与两部分相对构成有关。采用整体结构一致的单一阻尼比在具体取值上也存在困难。假设单一材料结构体系的阻尼特性是确定的、可解耦的，根据子结构概念，可以组装形成混合结构整体运动方程，此时的整体阻尼矩阵一般不再是可解耦的，即阻尼矩阵不再具有关于实模态矩阵的正交性，经典的模态叠加法也不再适用。但由于模态叠加法用模态坐标代替原系统的物理坐标，能使原系统的运动方程解耦，且能用较少的低阶模态坐标的响应来获得较高的近似解，因此许多学者对非比例阻尼结构体系采用模态叠加法进行了研究。Foss^[2]提出的状态空间法，建立状态方程进行复模态求解，从而在复数领域实现了非比例阻尼结构体系的解耦，但是该方法需要求解扩阶矩阵的特征值和特征向量，其计算量较大，且涉及复数运算，不便于实际工程设计使用。Ma等^[3-4]在非比例阻尼结构体系复模态动力特性的基础上，在状态空间采用坐标变换，得到非比例阻尼结构体系的实空间解耦方法。该方法使得复系数矩阵变换到实数领域，但由于假定条件的引入，使得结构的位移响应和速度响应不是独立的。从便于工程应用的角度，人们更倾向于实数域的近似解法。采用等效阻尼比的方法得到广泛的研究，Roesset等^[5]基于结构损耗能量和总储存能量的比值提出了结构的等效阻尼比，该表述是基于能量的阻尼性能宏观描述，其物理意义明确。Hwang等^[6]提出了模态应变能比，其将能量的形式特指为结构的弹性应变能，即结构损耗的弹性应变能与储存的弹性应变能的比值，该表达式物理意义清楚且形式简单，因此被广泛的应用^[7]。但采用统一的等效阻尼比改变了不同结构部分的耗能情况。Rayleigh ^[8]认为如果模态阻尼矩阵非对角线元素相对于对角线元素来说非常的小，可以忽略非对角线元素对方程进行解耦求解，即近似解耦方法，其实质也是一种等效阻尼比方法。Knowles^[9]对非比例阻尼系统采用近似解耦法进行了误差研究，认为在一定条件下采用近似解耦法能得到较好结果。Prandinaa等^[10-11]认为在模态阻尼矩阵对角占优的情况下，采用该方法求得的结构动力响应误差较小。然而Morzfeld等^[12]认为模态阻尼矩阵对角占优不能完全确定近似解耦方法产生较小的误差, 造成这个现象的原因是由于非对角元素对应的特征向量对结构的响应有较大的贡献。桂国庆等^[13]研究了这种近似解耦方法引起的近似误差，导出了误差无穷范数，并得到了精确解所在的范围，认为近似解耦方法有一定的适用性，但该方法计算繁琐。忽略模态阻尼矩阵非对角线元素的近似解耦方法与所导致的结构响应误差之间的关联关系是一个值得研究的问题。本文作者将竖向混合结构等效成两自由度结构模型，每一自由度的动力特性由对应子结构的主频确定。对该两自由度模型进行不同子结构特性下采用近似解耦计算时模态阻尼矩阵对角占优程度和位移响应误差分析，以此判断系统的可解耦性及近似程度。

1  竖向混合结构非比例阻尼矩阵形成

Clough等^[14-15]从理论上构造了适合混合结构的阻尼矩阵，整体阻尼矩阵可由分块阻尼矩阵合成，各子块阻尼矩阵可按不同模型确定。由于当前应用最广泛的阻尼模型仍是Rayleigh模型，因此，基于Rayleigh模型构建混合结构的子结构阻尼矩阵的做法具有良好的工程应用基础。图1所示为典型的钢-混凝土竖向混合结构，该类结构都可以等效为两自由度结构模型，其上部子结构(用字母s表示)等效质量、等效刚度及等效阻尼矩阵分别为M_s，K_s和C_s，对应的阻尼比为ξ_s；下部子结构(用字母c表示)等效质量、等效刚度及等效阻尼矩阵分别为M_c，K_c和C_c，对应的阻尼比为ξ_c。整体结构的质量矩阵M和刚度矩阵K可以由上、下部结构组装起来，如式(1)和(2)所示；子结构的动力特性可由式(3)求得。

，，              (1)

，，               (2)

，       (3)

根据Rayleigh阻尼模型，等效两自由度结构模型的前2阶频率分别为ω₁和ω₂时，则各部分子结构的Rayleigh阻尼系数可由式(4)计算得到；整体结构的阻尼矩阵可采用式(5)和式(6)计算得到。

图1  等效两自由度结构模型

Fig. 1  Equivalent 2-DOF modal

       (4)

         (5)

             (6)

2  近似解耦计算

一般黏性多自由度系统受迫振动的运动方程为

            (7)

其中：M，C和K分别为结构的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵。对于竖向混合结构，结构的阻尼矩阵可由式(6)得到。

对应的无阻尼系统特征方程为

              (8)

可解得n个特征值ω²_i和对应的特征向量Ψ_i。采用质量归一时，可得：

                (9)

               (10)

其中：Ф=[Ψ₁，Ψ₂，…，Ψ_n]为特征向量矩阵；Ω= diag[ω²₁，ω²₂，…，ω²_n]为谱矩阵。

对方程(7)进行x=Фq的模态坐标变换，并左乘矩阵Ф^T，令f(t)=Ф^TF(t)，可得：

            (11)

                (12)

其中：D为模态阻尼矩阵。

当阻尼矩阵C为Rayleigh阻尼矩阵，或满足CM^-1K=KM^-1C[16]时，模态阻尼矩阵为对角矩阵，此时方程(11)为解耦的n个独立线性方程，其求解过程为标准的模态叠加法。当模态阻尼矩阵为非对角矩阵时，可以将模态阻尼矩阵分解成：

              (13)

其中：D_d为模态阻尼矩阵D中对应的对角元素组成的n维方阵，D_d=diag[d₁₁，d₂₂，…，d_nn]；D_o为模态阻尼矩阵D中对应的非对角元素组成的n维方阵。

近似解耦方法就是忽略模态阻尼矩阵D中的非对角线元素，即在方程(11)中用D_d代替D，设运动方程的近似解为q_d，有：

         (14)

3  矩阵对角占优指数

一般认为当模态阻尼矩阵的非对角元素相对于对角元素较小时，采用近似方法计算的动力响应误差较小^[17]。当模态阻尼矩阵满足如下关系时，认为是对角占优矩阵^[18]：

            (15)

式(15)从数值上定义了矩阵的对角占优情况，但不能反映对角占优矩阵的占优程度，Meyer^[19]基于对角占优矩阵的定义，推导了广义矩阵对角占优指数计算公式：

           (16)

      (17)

其中：|D_o|为D_o各元素绝对值组成的矩阵；λ(|D_d^-1||D_o|)为|D_d^-1||D_o|的谱半径。

当模态阻尼矩阵是对角矩阵时，ρ=0；而当模态阻尼矩阵为对角占优矩阵时，0＜ρ＜1。ρ越小，模态阻尼矩阵对角占优越显著，一般认为近似解耦计算造成的误差越小。

4  基于位移响应的误差指数

结构位移响应在结构设计和结构分析中起着重要的作用。现行规范仍旧以结构的位移响应作为评价指标，因此采用位移响应误差来评价近似解耦计算的优劣是十分合适的。

定义近似解耦计算造成的位移误差为

             (18)

将方程(11)减去方程(14)，有误差响应方程为

       (19)

Ma等^[20-22]对有阻尼结构体系的振动问题进行了复模态分析，认为一般黏性阻尼系统的特征值和特征向量是共轭成对存在，在特定频率谐振荷载下有阻尼结构体系能够进行该频率的模态阻尼振动，可以得到有阻尼结构体系的传递函数。

设模态坐标变换后的方程(11)受到频率为ω的谐振激励，即f(t)=pιe^iωt，ι为力的空间分布，本文取ι=[1，1，…，1]^T；p为幅值。

可以得到运动方程式(11)的稳态位移响应为

             (20)

H(iω)为式(11)的频响函数：

        (21)

采用近似解耦法的运动方程式(14)的稳态位移响应为

            (22)

H_d(iω)为式(13)的频响函数：

       (23)

根据式(20)~(23)，位移误差响应式(19)的稳态响应可表示为

      (24)

位移误差响应式(24)体现了在谐振荷载作用下，结构采用近似解耦计算方法计算的位移响应误差频谱特性。由于忽略了模态阻尼矩阵中的非对角线元素，使得结构中各自由度的位移响应都与原系统响应产生偏差，因此采用2阶范数能反映各自由度位移响应在结构整体响应的偏离程度。定义位移响应误差指数：

   (25)

当模态阻尼矩阵是对角矩阵时，γ(iω)=0；当模态阻尼矩阵是非对角矩阵时，γ越小，结构采用近似解耦计算求得的结果误差越小。

式(25)是根据单频谐振荷载计算得到的位移响应误差指数。而结构工程抗震计算中，地震波频谱特性复杂，因此在评定采用近似解耦方法计算结构动力位移响应误差程度时，可以选取不同频率谐振荷载下计算得到的最大γ值作为该结构的位移误差指数。

下面给出一个算例。为简便起见，考虑2个二自由度结构体系。

模型一：

，，，，，。

模型二：

，，，，，。

考虑到地面运动的复杂性，本文选取9条地震波分别对两模型进行近似解耦动力响应分析，研究其位移响应误差情况。其中8条为天然地震波，1条为人工模拟地震波，各地震波水平分量的反应谱曲线如图2所示。

图2  各地震波加速度反应谱曲线

Fig. 2  Acceleration response spectra

经计算，模型一的位移误差指数γ=0.012 3；模型二的位移误差指数γ=0.029 3。图3和图4所示分别为两模型不同地震作用下采用近似解耦计算得到的各自由度最大位移响应的相对误差分布。模型一两自由度最大位移响应的相对误差平均值分别为0.64%和0.41%；而模型二两自由度最大位移响应的相对误差平均值分别为4.0%和2.5%，其相对误差明显比模型一的大。采用位移响应误差指数能较准确的评定采用近似解耦计算对结构体系的影响。

图3  模型一相对位移误差分布

Fig. 3  Relative displacement error of modal 1

图4  模型二相对位移误差分布

Fig. 4  Distribution of relative displacement error of modal 2

5  竖向混合结构近似解耦计算

将竖向混合结构等效成两自由度结构模型，每一自由度的动力特性由对应子结构的主频确定。对该两自由度模型进行不同特性下近似解耦计算的模态阻尼矩阵对角占优程度和位移响应误差分析。

定义竖向混合结构的频率比R_ω和质量比R_m为

            (26)

式中：ω_s和ω_c分别为上、下部子结构的频率，可由式(3)计算得到；M_s和M_c分别为上、下部子结构的质量。

首先对竖向混合结构在不同子结构参数取值下的模态阻尼矩阵对角占优程度情况进行分析。不失一般性，取M_c=2 000 kg，ω_c=10 rad/s²，ξ_c=0.05，ξ_s=0.02。取R_ω变化范围为0到3，R_m变化范围为0到1。

图5所示为子结构质量比(R_m=0.1，R_m=0.5和R_m=8)一定时，模态阻尼矩阵对角占优指数随频率比的变化情况。由图5可见：在不同质量比下，模态阻尼矩阵对角占优指数随频率比的变化相似。对角占优指数随频率比增大呈现先增大后减小的变化情况，在频率比约为1.0时达到最大值。图6所示为子结构频率比(R_ω=0.3，R_ω=1.5和R_ω=2.4)一定时，模态阻尼矩阵对角占优指数随质量比的变化情况。由图6可见：在较小质量比(小于0.2)时，质量比对角占优指数影响较明显，之后对角占优指数随质量比变化影响较小。

图7所示为不同子结构特性下，模态阻尼矩阵对角占优指数随质量比和频率比变化的等高线分布图。质量比对模态阻尼矩阵对角占优指数影响较小，在图7中出现水平等高线。而模态阻尼矩阵对角占优指数随频率比增大呈现先增大后减小的变化，正如图5所示那样。当频率比小于0.6时，对角占优指数小于0.2。频率比在1.0~2.0范围内，对角占优指数处于较大值，最大值出现在频率比为1.0附近。

图5  不同频率比下的模态阻尼矩阵对角占优指数

Fig. 5  Diagonal dominance index ρ with different frequency ratios

图6  不同质量比下的模态阻尼矩阵对角占优指数

Fig. 6  Diagonal dominance index ρ with different mass ratios

图7  模态阻尼矩阵对角占优指数等高线

Fig. 7  Contour plot of diagonal dominance index ρ

虽然模态阻尼矩阵对角占优指数在一定程度上反映了模态阻尼矩阵非对角线元素在模态阻尼矩阵中的大小程度，从感官上判断忽略非对角线元素造成的误差程度，但无法判定当模态阻尼矩阵对角占优指数为何值时，采用这种近似解耦方法所造成的误差较小。

因此分别对竖向混合结构在不同子结构特性下忽略非对角线元素近似解耦计算的位移响应误差进行分析。由于地震波频率分布广泛，在进行位移响应误差分析时，将谐振频率ω从0.1 rad/s²增加到100 rad/ s²，取其最大γ值为位移响应误差指数。

图8所示为子结构质量比(R_m=0.1，R_m=0.5和R_m=0.8)一定时，近似解耦计算位移误差指数随频率比的变化情况。可见图8与图5的变化规律相似：呈现先增大后减小的变化，在频率比约为1.0时达到最大值。在频率比一定时，位移误差指数随质量比的变化各异，但当质量比大于0.2时，整体上质量比对位移误差指数的影响较小，如图9所示。

图10所示为不同子结构特性下，位移误差指数随质量比和频率比变化的等高线分布。可见图10与图7分布规律相似。质量比对位移误差指数影响比较小，在图10中近似呈现水平等高线。当频率比小于0.6时，位移误差指数小于0.02，可以认为采用近似解耦计算产生的位移误差较小。而频率比在0.7~2.0范围内位移误差指数大于0.02，最大值在频率约为1.0处。而当频率比大于2.0时，位移误差指数又随频率比的增加缓慢减小。

图8  不同频率比下的位移响应误差指数

Fig. 8  Displacement error index γ with different frequency ratios

图9  不同质量比下的位移响应误差指数

Fig. 9  Displacement error index γ with different mass ratios

图10  位移误差指数变化等高线

Fig. 10  Contour plot of index displacement error index γ

由于采用等效的两自由度结构位移误差指数来判定近似解耦计算的可行性，为了保证复杂结构的动力响应误差在较小范围，本文推荐位移误差指数小于0.02时，可以采用近似解耦计算。对比图7和图10，模态阻尼矩阵对角占优指数和位移误差指数在不同子结构特性下的衰退特性具有相似规律。而采用式(16)计算对角占优指数ρ比采用式(25)计算位移误差指数γ容易得多。经计算，第4节中的2个算例模型计算的对角占优指数分别为：模型一为0.133；模型二为0.350。因此在竖向混合结构分析中，可以采用模态阻尼矩阵对角占优指数来判定近似解耦计算的可行性。根据本文推荐的位移误差指数取值，可以认为当模态阻尼矩阵对角占优指数小于0.2时，该结构体系可以采用近似解耦计算方法求解其动力响应。

6  结论

1) 根据有阻尼结构体系的频响函数得到的近似解耦计算的位移响应误差指数能反映各自由度位移响应对结构整体响应的偏离程度。

2) 在不同子结构特性下，模态阻尼矩阵对角占优指数和位移误差指数的分布情况相似。模态阻尼矩阵对角占优指数和位移误差指数随质量比变化影响较小，而随频率比呈现先增大后降低的变化趋势，在频率比约为1.0时达到最大值。

3) 在竖向混合结构分析中，可以采用模态阻尼矩阵对角占优指数来判定近似解耦计算的可行性。当模态阻尼矩阵对角占优指数小于0.2时，采用近似解耦计算方法求解竖向混合结构体系的动力响应误差满足一般工程分析的要求。

参考文献：

[1] 吕西林. 复杂高层建筑结构抗震理论与应用[M]. 北京: 科学出版社, 2007: 50-53.

L Xilin. Seismic theory and application of complex high-rise structures[M]. Beijing: Science Press, 2007: 50-53.

[2] Foss K A. Co-ordinates which uncouple the equations of motion of damped linear dynamic systems[J]. ASME Journal of Applied Dynamics, 1958, 25(9): 361-364.

[3] Ma F, Imam A, Morzfeld M. The decoupling of damped linear systems in oscillatory free vibration[J]. Journal of Sound and Vibration 2009, 324(1/2):408-428.

[4] 陈国平. 粘性阻尼结构振动系统的实空间解耦和迭代求解[J]. 振动工程学报, 2000, 13(4): 559-566.

CHEN Guoping. Real decoupled method and iterative solution of vibration system with viscous damping[J]. Journal of Vibration Engineering, 2000, 13(4): 559-566.

[5] Roesset J M, Whitman R V, Dobry R. Modal Analysis for Structures with Foundation Interaction[J]. Journal of the Structural Division, 1973, 99(3): 399-416.

[6] Hwang J S, Chang K C, Tsai M H. Composite damping ratio of seismically isolated regular bridges[J]. Engineering Structures, 1997, 19(1): 55-62.

[7] 吕西林, 张杰. 钢和混凝土竖向混合结构阻尼特性研究[J]. 土木工程学报, 2012, 45(3): 10-16.

L Xilin, ZHANG Jie. Damping behavior of vertical structures with upper steel and lower concrete components[J]. China Civil Engineering Journal, 2012, 45(3): 10-16.

[8] Rayleigh J W. The theory of sound: Vol.1[M]. 2nd ed. New York: Dover, 1945: 193-213.

[9] Knowles J K. On the approximation of damped linear dynamical systems[J]. Structural control and health monitoring, 2006, 13(1): 324-335.

[10] Prandinaa M,Mottersheada J E, Bonisolib E. An assessment of damping identification methods[J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 323(3/4/5): 662-676.

[11] Hwang J H, Ma F. On the approximate solution of non-classically damped linear systems[J]. ASME Journal of Applied dynamics, 1993, 60(9): 695-701.

[12] Morzfeld M, Ajavakom N, Ma F. Diagonal dominance of damping and decoupling approximation in linear vibratory systems[J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 320 (18): 406-420.

[13] 桂国庆, 何玉敖. 非比例阻尼结构体系近似解耦分析中的误差研究[J]. 工程力学, 1994, 11(4): 40-50.

GUI Guoqing, HE Yu’ao. Study on errors of approximate decoupling analysis for non-proportionally damped structural systems[J]. Engineering Mechanics, 1994, 11(4): 40-45.

[14] Clough R, Penzien J. Dynamics of structures[M]. Berkeley, California, USA: Computers and Structures Inc, 2003: 234-245.

[15] Chopra A K. Dynamics of structures: theory and applications to earthquake engineering[M]. 3rd ed. New Jersey, USA: Prentice Hall International, 2007: 425–429.

[16] Udwadia F E.A Note on nonproportional damping[J].Journal of Engineering Mechanics, 2009, 135(11): 1248-1256.

[17] Morzfeld M, Ma F, Ajavakom N. On the decoupling approximation in damped linear systems[J]. Journal of Vibration and Control, 2008, 14(12): 1869-1884.

[18] Horn R A, Johnsom C R. Matrix analysis[M]. Oxford, UK: Cambridge University Press, 1985: 402-410.

[19] Meyer C D. Meyer matrix analysis and applied linear algebra[M]. Philade Phia, USA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001: 660-667.

[20] Ma F, Morzfeld M, Imam A. The decoupling of damped linear systems in free or forced vibration[J]. Journal of Sound and Vibration, 2010, 329(15): 3182-3202.

[21] Morzfeld M, Ma F. The decoupling of damped linear systems in configuration and state spaces[J]. Journal of Sound and Vibration, 2011, 330(15):155-161.

[22] 曹树谦, 张文德, 萧龙翔. 振动结构模态分析: 理论、实验与应用[M]. 天津：天津大学出版社, 2002: 17-37.

CAO Shuqian, ZHANG Wende, XIAO Longxiang. Vibration modal analysis: Theory, experiment and application[M]. Tianjin: Tianjin University Press, 2002: 17-37.

(编辑  杨幼平)

收稿日期：2014-04-13；修回日期：2014-06-15

基金项目(Foundation item)：国家“十二五”科技支撑计划项目(2012BAJ13B02)；国家自然科学基金资助项目(91315301-4)(Project (2012BAJ13B02) supported by the National Science and Technology Pillar Program During the 12th Five-Year Plan Period; Project (91315301-4) supported by the National Natural Science Foundation of China)

通信作者：黄维，博士研究生，从事结构抗震及数值计算研究；E-mail：2008huangwei@tongji.edu.cn