DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2016.04.028

波形钢腹板PC连续箱梁桥自振频率分析与试验研究

冀伟，刘世忠，蔺鹏臻

(兰州交通大学 土木工程学院，甘肃 兰州，730070)

摘要：为精确计算波形钢腹板PC连续箱梁桥的自振频率，在综合考虑箱梁剪力滞效应、波形钢腹板剪切模量修正及其剪切变形的影响下，综合运用能量变分法与Hamilton原理，推导获得该桥型自由弯曲振动的控制微分方程。在给定的自然边界条件下，运用分段联立法求得波形钢腹板PC两跨连续箱梁桥自由弯曲振动频率的计算公式。制作了两跨等截面模型试验梁，采用DHDAS动态信号测试分析系统对其动力特性进行实测，并运用ANSYS有限元软件对试验梁的动力特性进行分析。运用所得计算公式求得试验梁的自由弯曲振动频率，将其与实测值及有限元分析结果进行对比，三者吻合良好，验证计算公式的可靠性。最后采用理论公式和有限元仿真对波形钢腹板PC连续箱梁桥自振频率的影响参数进行分析。研究结果表明：波形钢腹板的剪切变形对其自由弯曲振动频率的影响较大，而横隔板数量对其扭转振动频率的影响较大，本文所得结论可为同类桥梁自振频率的分析与计算提供依据。

关键词：波形钢腹板；连续箱梁桥；能量变分法；振动频率；模型试验

中图分类号：U441⁺.3             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2016)04-1297-08

Analysis and experimental study on nature vibration frequencies of PC continuous box girder bridge with corrugated steel webs

JI Wei, LIU Shizhong, LIN Pengzhen

 (College of Civil Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

Abstract: In order to calculate the nature vibration frequencies accurately for the continuous box girder bridge with corrugated steel webs (CSWs), considering the shear lag of the box girder, shear modulus correction and the shear deformation effect of CSWs, the governing differential equations of the nature bending vibration frequencies were established by means of the energy variation principle and Hamilton principle. The formulas of the nature bending vibration frequencies of the two-span continuous box girder bridge with CSWs were obtained under the corresponding natural conditions by use of the subsection simultaneous method. The two-span indoor model test girder was fabricated. The dynamic characteristics of test girder was measured by use of the DHDAS dynamic signal test and also analyzed by use of ANSYS finite element software. Combined with the results of the ANSYS finite element model (FEM) analysis and the indoor model test, the validity of the formulas were proved. Finally, the influence parameters of nature vibration frequencies for this type of bridge were analyzed by use of the theoretical formulas and FEM. The results show that the shear deformation of CSWs has significantly influence on the nature bending vibration frequencies of the PC box girder with CSWs, while the number of diaphragm has significantly influence on the torsional vibration frequencies of this type bridge. The results can provide reference for the calculation of the nature vibration frequencies of the similar bridges.

Key words: corrugated steel web; continuous box girder bridge; energy variation principle; vibration frequency; model test

波形钢腹板PC箱梁桥是一种新型的钢-混凝土组合桥梁。该桥型充分发挥了钢材与混凝土2种材料各自的优点即波形钢腹板抗剪强度高，适于承担剪力，而混凝土翼板的纵向刚度较大，适于承担纵向的拉、压力，同时也具有结构自重轻，预应力施加效率高和混凝土用量少等优点。国内外学者已经开展了对波形钢板、波形钢腹板I型钢梁及波形钢腹板PC箱梁桥力学性能的研究。在静力学性能方面，国外学者MOON等^[1-2]研究了波形钢板的抗剪强度和波形钢腹板I型钢梁的屈曲性能；ELDIB^[3]分析了波形钢板的剪切屈曲强度，并提出了相应的设计标准；NGUYEN等^[4]分析了波形钢腹板I型钢梁在不等端弯矩作用下及多种约束条件下的弯矩修正系数；国内学者聂建国等^[5]研究了波形钢腹板剪切变形对波形钢腹板组合梁受力行为的影响；江克斌等^[6]采用试验方法分析了在纯扭作用下波形钢腹板PC组合箱梁的力学性能。国内学者在波形钢腹板箱梁桥动力特性方面也取得了一些研究成果，任红伟等^[7]推导了该桥型扭转振动频率的计算公式；刘保东等^[8]制作了波形钢腹板混凝土试验箱梁，并对其动力特性进行了计算和分析；韦忠瑄等^[9]对波形钢腹板PC组合箱梁的模态特性进行了有限元分析和试验研究；李波等^[10]提出了波形钢腹板混凝土组合箱梁桥的损耗因子及等效阻尼比的计算公式，可为该桥型动力分析中阻尼的取值提供依据。对波形钢腹板PC箱梁桥动力性能方面的研究主要针对简支梁桥，但目前国内外建成的此类型桥梁多为连续梁桥，因此对波形钢腹板PC连续箱梁桥的动力特性进行研究，将具有更好的代表性和应用前景。在桥梁的动力特性中，最重要的桥梁本身的特性就是自振频率，自振频率反映了结构的尺寸、类型、建筑材料等动力特性内容^[11]。为此，本文作者在考虑波形钢腹板PC箱梁桥的剪力滞、波形钢腹板的剪切模量修正及剪切变形的影响下，运用能量变分法与Hamilton原理，推出该种桥型自由弯曲振动的控制微分方程。针对波形钢腹板PC两跨连续箱梁桥，运用分段联立法求得其自由弯曲振动频率的计算公式，并采用有限元和室内模型试验的方法验证所得计算公式的正确性。最后对波形钢腹板PC连续箱梁桥自振频率的影响因素进行分析，所得结论可为该桥型自振频率的计算与分析提供参考。

1  波形钢腹板的几何形状与有效剪切模量

波形钢腹板有效剪切模量G_s与其波形的几何形状密切相关^[12]，其计算公式为

           (1)

式中：A，B与C为波形钢腹板的几何尺寸(如图1所示)；E_s为钢材的弹性模量；v_s为钢材的泊松比。

图1  波形钢腹板的几何尺寸

Fig. 1  Dimensions of corrugated steel web

2  波形钢腹板PC箱梁桥的自由振动方程

2.1  能量法的基本假定

1) 由于波形钢腹板的特殊构造，可以忽略其在桥梁纵向的抗弯作用。

2) 波形钢腹板PC箱梁桥的横截面服从“拟平截面假定”^[13]。

3) 图2所示为波形钢腹板PC箱梁示意图。图2中，b，ζb及b₁分别为波形钢腹板PC箱梁的箱中翼板宽度的1/2、悬臂板宽度及箱中翼板的平板段宽度；h_u和h_b分别为上、下翼板中心到形心轴的距离。当计算上、下翼板的应变能时，可只考虑混凝土翼板的纵向应变与横截面面内剪切应变，忽略其竖向应变、横向应变及板平面外的剪应变，即。

图2  波形钢腹板PC箱梁的截面示意图

Fig. 2  Cross section schematic diagram of PC box girder with corrugated steel webs

4) 波形钢腹板与混凝土翼板连接紧密，无滑移。

波形钢腹板PC箱梁桥发生自由弯曲振动时，由于剪力滞效应的影响，可引入梁的竖向动挠度W与纵向动位移函数U^[14]来描述其位移模式：

                (2)

     (3)

     (4)

式中：与分别为波形钢腹板PC箱梁桥自由弯曲振动时箱梁截面由于弯曲变形引起的角位移和翼板的最大纵向位移差函数。

2.2  控制微分方程及自然边界条件

波形钢腹板PC箱梁桥发生自由弯曲振动时，竖向动挠度W(x，t)的一阶导数为箱梁横截面的角位移，这时波形钢腹板的剪切变形γ(x，t)可按下式求解：

          (5)

则波形钢腹板的剪切应变能为

           (6)

上、下翼板的弯曲应变能分别为和 ^[14]：

       (7)

       (8)

式中：I_so与I_su分别为波形钢腹板PC箱梁上、下翼板对中性轴的惯性矩；E_c与G_c分别为混凝土材料的弹性模量与剪切模量。

上、下翼板的弯曲应变能和和波形钢腹板的剪切应变能组成体系的总势能V：

        (9)

式中：，为波形钢腹板PC箱梁翼板对截面形心轴的惯性矩。

这里仅考虑波形钢腹板PC箱梁桥的自由弯曲振动，因而其总动能T可表示为

             (10)

式中：为对时间的偏导数；为波形钢腹板PC箱梁桥单位长度的质量。由Hamilton原理

，可得波形钢腹板PC箱梁桥自由弯曲振动的控制微分方程，如式(11)~(13)所示和自然边界条件，如式(14)~(16)所示：

(11)

     (12)

 (13)

      (14)

     (15)

        (16)

2.3  自由弯曲振动方程的特征值方程

假设：

          (17)

        (18)

        (19)

式中：ω为波形钢腹板PC箱梁桥自由弯曲振动的圆频率；f为波形钢腹板PC箱梁桥自由弯曲振动的初始相位角。

将式(17)~(19)代入波形钢腹板PC箱梁桥自由弯曲振动的控制微分方程式(11)~(13)可得：

 (20)

不常为0，化简式(20)可得：

  (21)

方程(21)的特征值方程为

             (22)

2.4  分段联立法求解两跨波形钢腹板PC连续箱梁桥的自由弯曲振动频率

图3所示为两跨波形钢腹板PC连续箱梁桥示意图。对于两跨波形钢腹板PC连续箱梁桥自由弯曲振动频率的求解可采用分段联立法，设第1跨的挠度函数为W₁(x)，第2跨的挠度函数为W₂(x)，由文献[15]可知：方程(22)的根的平方＜0，＞0与＞0。因此可将W₁(x)与W₂(x)写为式(23)和式(24)的形式：

    (23)

    (24)

式中：和(i=1，2)为常数，其数值可由边界条件确定；λ₁，λ₂及λ₃为式(22)的特征值。

图3  两跨波形钢腹板PC连续箱梁桥示意图

Fig. 3  Schematic diagram of two-span continuous PC box girder bridge with corrugated steel webs

由式(11)和式(12)可得两跨波形钢腹板PC连续箱梁截面由于弯曲变形引起的角位移φ₁(x)与φ₂(x)，对其求一阶导数可得与的表达式：

 (25)

 (26)

同理可得两跨波形钢腹板PC连续箱梁桥翼板的最大纵向位移差函数与的表达式：

    (27)

    (28)

1) 反对称自由弯曲振动的边界条件为：

，，，，，，

，，，，，

其中：表示两跨波形钢腹板PC连续箱梁桥内支座处无弯矩，其振型为反对称自由弯曲振动。将反对称自由弯曲振动的边界条件代入方程(23)~(28)中，并运用MATLAB软件求解便可得到两跨波形钢腹板PC箱梁桥反对称自由弯曲振动的频率  方程：

          (29)

式中：。

    (30)

2) 正对称自由弯曲振动的边界条件为：

，，，，，，

，，，，，

其中：表示两跨波形钢腹板PC连续箱梁桥内支座处无转角，其振型为正对称自由弯曲振动。将正对称自由弯曲振动的边界条件代入方程(23)~(28)中，并运用MATLAB软件求解便可得到两跨波形钢腹板PC箱梁桥正对称自由弯曲振动的频率方程为

          (31)

式中：。

  (32)

对和表达式分析可知：式(31)和式(32)的分母中第2项为波形钢腹板剪切变形对自由弯曲振动频率的影响；式(31)和式(32)的分子中第2项和分母中第3项为剪力滞效应对自由弯曲振动频率的影响；式(31)和式(32)的分母中第4项为钢腹板剪切变形和箱梁剪力滞耦合效应对自由弯曲振动频率的影响。

将两跨波形钢腹板PC连续箱梁桥反对称振型和正对称振型所对应的自由弯曲振动频率进行比较可得，第1组频率(反对称振动)构成第1、第3、第5……个奇数阶频率；而第2组频率(正对称振动)构成第2、第4、第6……个偶数阶频率。

3  模型试验梁的制作与有限元模型建立

模型试验梁的跨径布置为3+3 m，其截面尺寸选取山东鄄城黄河公路特大桥的跨中截面尺寸，并按1/10的比例缩尺(如图4所示)。试验梁共设置了3道支座横隔板和4道中横隔板。实验室测得混凝土翼板及横隔板28 d龄期的抗压强度平均值为51.2 MPa，其材料属性按JTG D62—2004“公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规划”^[16]取值。波形钢腹板采用厚度为1.2 mm 的Q235钢板制作，钢板的弹性模量为206 GPa。采用东华DHDAS信号测试分析系统对室内模型试验梁进行了动力特性测试，试验梁的模态试验采用锤击法，采样频率为512 Hz，传感器和激振点的布置如图5所示。

图4  试验梁的横截面示意图

Fig. 4  Cross section schematic diagram of model test girder

图5  试验梁加速度传感器测点

Fig. 5  Measurement locations on bridge deck

采用ANSYS14.0有限元软件建立了波形钢腹板PC箱梁桥的三维有限元模型(如图6所示)，上、下混凝土翼板及横隔板采用实体单元SOLID45来模拟；采用SHELL63单元来模拟波形钢腹板。

图6  试验梁的三维有限元模型

Fig. 6  Three dimensional FEM of test girder

4  计算结果对比与分析

由动力测试所得的两跨波形钢腹板PC连续箱梁桥自由弯曲振动振型与ANSYS有限元模型求解所得振型一致的基础上，将试验梁自振频率的实测值、ANSYS有限元计算值及本文理论公式计算值进行对比，如表1所示。

由表1可以看出：本文计算值、有限元计算值及实测值三者吻合良好，验证了本文计算公式的可靠性。

按照是否对波形钢腹板的剪切模量进行修正，运用本文所得计算公式求得了试验梁的前六阶自由弯曲振动频率，计算结果如表2所示。

由表2可知：未对波形钢腹板剪切模量进行修正所得试验梁的自由弯曲振动频率要略大于对波形钢腹板剪切模量进行修正所得值，但是差别不明显，可忽略不计，但随着频率阶数的递增而增加。

将模型试验梁按照Euler梁理论及Timoshenko梁理论求得其自由弯曲振动频率，并与本文计算值进行比较分析，对比结果如表3所示。

由表3可知：按本文理论公式计算值与按Timoshenko梁理论计算值吻合良好，而与按Euler梁理论计算值偏差较大，说明两跨波形钢腹板PC连续箱梁桥的自由弯曲振动频率受波形钢腹板剪切变形的影响较大。

表1  不同方法所得试验梁自由弯曲振动频率对比

Table 1  Comparison of nature bending vibration frequencies of test girder obtained by different methods Hz

表2  是否考虑剪切模量修正所得试验梁自由弯曲振动频率

Table 2  Comparison of nature bending vibration frequencies of test girder obtained by considering shear modulus of elasticity correction or not

表3  不同理论公式所得试验梁自由弯曲振动频率对比

Table 3  Comparison of nature bending vibration frequencies obtained by different formulas        Hz

5  参数分析

5.1  宽跨比的影响

假定波形钢腹板的截面高度和箱中翼板的宽度(2b)不变，当两跨波形钢腹板PC连续箱梁桥跨径l分别为1，2，3，4，5和6 m时，对应的宽跨比(2b/l)分别为0.650，0.325，0.217，0.163，0.130和0.108。对比分析两跨波形钢腹板PC连续箱梁桥按本文理论公式所得自由弯曲振动频率值与按Timoshenko梁理论所得值随宽跨比(2b/l)的变化情况，限于篇幅仅对比分析了试验梁前两阶自由弯曲振动频率，对比结果如表4所示。

由表4可以看出：当宽跨比2b/l为0.108~0.650时，两跨波形钢腹板PC连续箱梁桥的弯曲振动频率按Timoshenko梁理论的计算值与本文理论公式所得值吻合良好。

表4  试验梁自由弯曲振动频率随宽跨比变化

Table 4  Changes of the nature bending vibration frequencies with width-span ratio          Hz

表5  试验梁自由弯曲振动频率随平板段变化

Table 5  Changes of nature bending vibration frequencies of test girder with flat section          Hz

5.2  箱中翼板平板段的影响

为探讨当箱中翼板平板段b₁(图2中)发生变化时，两跨波形钢腹板PC连续箱梁桥自由弯曲振动频率的变化情况，假定试验梁波形钢腹板的截面高度和跨径不变，平板段分别取0.5b₁，1.5b₁，2.5b₁和3.5b₁时，对比分析了两跨波形钢腹板PC连续箱梁桥按本文理论公式所得前两阶自由弯曲振动频率与按Timoshenko梁理论所得频率随平板段的变化情况，对比结果如表5所示。

由表5可知：波形钢腹板PC箱梁桥自由弯曲振动频率随箱中翼板平板段宽度的变化幅度较小，说明其不是影响该类型桥梁自由弯曲振动频率的主要因素；同时也可以看出本文理论公式计算所得的自由弯曲振动频率与按Timoshenko梁理论计算值吻合良好。

5.3  横隔板数量的影响

本文提出4种方案来研究横隔板数量对波形钢腹板PC连续箱梁桥自振频率的影响：1) 考虑所有横隔板的影响；2) 不考虑中横隔板的影响，只考虑支座横隔板的影响；3) 不考虑支座横隔板的影响，只考虑中横隔板的影响；4) 不考虑横隔板的影响。在4种方案中，采用ANSYS有限元计算了两跨波形钢腹板PC连续箱梁桥前两阶自由弯曲振动频率和第1阶扭转振动频率，计算结果如图7所示。

由图7可以看出：横隔板数量的变化对波形钢腹板PC箱梁桥扭转振动频率的影响较大，对其自由弯曲振动频率的影响较小。

图7  横隔板数量对试验梁自振频率的影响

Fig. 7  Effect of number of diaphragm on nature vibration frequencies of test girder

6  结论

1) 推导了两跨波形钢腹板PC连续箱梁桥的自由弯曲振动频率的计算公式，公式的可靠性得到了有限元值及实测值验证，可为同类桥梁自由弯曲振动频率的计算提供参考。

2) 运用本文所得理论公式计算波形钢腹板PC连续箱梁桥自由弯曲振动频率时，不对波形钢腹板剪切模量修正所得值要略大于对波形钢腹板剪切模量修正所得值，但是差别不大，可忽略不计。

3) 波形钢腹板PC连续箱梁桥自由弯曲振动频率按本文理论公式计算值与按Timoshenko梁理论计算值偏差较小，而与按Euler梁理论计算值偏差较大，说明波形钢腹板PC连续箱梁桥的自由弯曲振动频率受波形钢腹板剪切变形的影响较大。

4) 当宽跨比2b/l为0.108~0.650时，波形钢腹板PC连续箱梁桥自由弯曲振动频率按本文理论公式计算值与按Timoshenko梁理论计算值吻合良好，因而在实际工程中可按Timoshenko梁理论计算其自由弯曲振动频率。

5) 波形钢腹板PC连续箱梁桥箱中翼板平板段变化不会对其自由弯曲振动频率造成显著影响。

6) 波形钢腹板PC连续箱梁桥横隔板数量的变化会对其扭转振动频率造成较大影响，当横隔板数减少时，其扭转振动频率急剧下降。

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(编辑  罗金花)

收稿日期：2015-04-13；修回日期：2015-06-20

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51368032，51168030)；长江学者和创新团队发展计划项目(IRT-15R29)；中国博士后科学基金资助项目(2014M562103)；甘肃省高等学校科研资助项目(2015A-053)(Projects (51368032, 51168030) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (IRT-15R29) supported by the Changjiang Scholars and Innovative Research Team in University; Project (2014M562103) supported by the Postdoctoral Science Foundation of China; Project (2015A-053) supported by the Scientific Research Project of Gansu Province)

通信作者：冀伟，博士，副教授，从事波形钢腹板PC箱梁桥的分析计算与设计理论研究；E-mail：jiwei1668@163.com