有限区域水位下降引发的软土层三维轴对称固结解析解

黄大中¹，谢康和¹，王玉林²，陶海冰¹

(1. 浙江大学 滨海和城市岩土工程研究中心 软弱土与环境土工教育部重点实验室，浙江 杭州，310058；

2. 武夷学院 建筑与土木工程系，福建 武夷山，354300 )

摘要：基于Biot轴对称三维固结理论，建立有限区域内水位均匀下降引发的软土层固结模型。利用Gibson- McNamee位移函数方法，对耦合固结方程进行解耦，结合Laplace变换和Hankel变换，对模型进行求解，得出计算软土层变形和内部孔隙水压力的解析表达式。通过与PLAXIS软件的有限元计算结果对比，验证了本文解答的正确性。基于水位均匀下降时的解答，推导水位不均匀下降时的土体固结计算方法。根据解析解分析水位下降范围和土体泊松比对土层固结性状的影响。分析结果表明：随着水位下降范围的增大和土体泊松比的减小，土层的沉降速率越来越快，竖向沉降、径向位移逐渐增大，土层内部初期的超静孔压上升幅度越来越大；竖向沉降影响范围为降水范围的2~3倍，径向位移最大位置为降水范围的1~2倍，受土体泊松比影响很小；与无限大范围水位下降情况相比，有限范围内水位下降引发的土层固结有显著的竖向沉降差异和径向位移，因此在实际工程中考虑降水范围是十分必要的。

关键词：有限区域；水位下降；位移函数；轴对称固结；解析解

中图分类号：TU443          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2014)03-0811-08

Analytical solution for axially symmetric consolidation of soft soil layer induced by drawdown of water table in a finite region

HUANG Dazhong¹, XIE Kanghe¹, WANG Yulin², TAO Haibing¹

(1. Key Laboratory of Soft Soils and Geoenvironmental Engineering of Ministry of Education, Research Center of Coastal and Urban Geotechnical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China;

2. Department of Environment and Civil Engineering, Wuyi University, Wuyishan 354300, China)

Abstract: Based on Biot’s axially symmetric consolidation theory, a consolidation model of soft soil induced by the uniform drawdown of water table in a finite region was established. Using the displacement function method proposed by Gibson and McNamee, the coupled consolidation equations were decoupled. Then the problem in the paper was solved using Laplace transformation and Hankel transformation. Explicit solutions were obtained for the calculation of the deformation and the excess pore water pressure in the soil layer. The solutions were verified through the comparison with the finite element calculation results in PLAXIS. Based on the solutions in uniform water table drawdown situation, a general calculation method was proposed for non-uniform water table drawdown situation. Based on the analytical solutions, the effects of the extent of the water table drawdown and Poisson’s ratio of soil on the consolidation properties of the soil layer were analyzed. The results show that as the Poisson's ratio becomes smaller and the extent of the water table drawdown becomes larger, the settlement rate becomes faster, the vertical subsidence and radial displacement on the surface of the soil layer becomes larger, and the rise of the excess pore pressure at early stage becomes larger. The effect region of the vertical subsidence and radial displacement are 2-3 times and 1-2 times the extent of the water table drawdown, respectively. Because the differential subsidence and radial displacement are very obvious under finite water table drawdown condition, it is necessary to consider the extent of water table drawdown in the practice.

Key words: finite region; drawdown of water table; displacement function; axially symmetric consolidation; analytical solution

当前我国开采地下水引起的地面沉降问题十分严重，全国发生地面沉降的城市已超过50个，地面沉降量超过200 mm的地区已达到7.9万km²。发生沉降的城市很多属于软土地区，其中以长江三角洲地区的地面沉降最为严重，以上海、苏锡常、嘉兴为代表的沉降中心区的最大累计沉降量已分别达到2.63，2.8和0.82 m^[1]。在长三角地区，软土层分布深厚，地下水水位下降引发的软土层固结是导致地面沉降的一个重要原因^[2-3]。随着经济的快速发展和城市化进程的加速，开采地下水与地面沉降控制之间的矛盾会越来越突出，因此有必要对地下水水位下降引起的软土层固结问题进行深入的研究。对于无限大范围内的承压层水位下降引起的一维土体固结问题，骆冠勇等^[4]基于一维太沙基固结方程推导了恒定水头下降时的沉降固结度计算公式。谢康和等^[5-6]推导了考虑初始水头沿深度非均布、承压层水位任意变化时的软土一维固结解。张云^[7]考虑了土体渗透系数和压缩性随有效应力变化的特性，推导了以有效应力为基本变量的一维地面沉降模型，用半解析法进行了求解。Li和Helm^[8-9]考虑了土体非线弹性压缩，推导了水位波动条件下的固结解析解。Tsai和Tseng等^[10-11]考虑了土体的重力、黏性本构关系，采用半解析法对恒定水位下降时的软土固结沉降进行求解。目前对于水位下降引发的软土层固结的解析理论研究均基于一维条件假定，然而，实际上水位下降常常是有范围的，并不是一维问题，水位下降引起的固结问题应根据Biot固结方程进行求解。本文作者根据McNamee等^[12-13]提出的位移函数法求解了有限范围内水位下降条件下的土层三维轴对称固结问题，给出了土层表面沉降、径向位移和超静孔隙水压力的计算表达式，根据求解结果分析了土体参数和水位下降范围等因素对软土层固结的影响。

1  理论模型

图1所示为有限区域水位下降引发的土层固结示意图。如图1所示，假定软土层(弱透水层)饱和、均匀、各向同性，软土层厚度为H，渗透系数为k，剪切模量为G，r为径向坐标，z为竖向坐标。由于在砂土层(含水层)中开采地下水，在半径为R的区域内形成了△h_w的水位降。

图1  有限区域水位下降引发的土层固结示意图

Fig. 1  Sketch for consolidation of soil layer induced by drawdown of water table in a finite region

图1所示问题为轴对称三维固结问题，土体固结的控制方程^[12]为

     (1a)

        (1b)

               (1c)

式中：u_r为土体径向位移；w为土体竖向位移；；为土体泊松比；为体积应变，；为超静孔压；c为土体固结系数，；为水的重度；t为时间。

轴对称固结问题可根据Gibson和McNamee提出的位移函数方法^[12-13]进行解耦，土体的位移、孔压、应力可表示为

        (2a)

     (2b)

 (2c)

 (2d)

      (2e)

式中：，，，为Hankel变换参数，p为Laplace变换参数，表示对的Laplace逆变换，，E和S为位移函数，满足：

              (3a)

                 (3b)

对于方程(3a)和(3b)，利用Laplace变换和Hankel变换，可求得

         (4a)

        (4b)

式中：A₁，A₂，A₃，A₄，A₅和A₆为待定未知数；sinh为双曲正弦函数，cosh为双曲余弦函数。

2  模型求解

如图1所示，软土层上表面(z=0)为自由应力状态，渗透条件为完全透水；软土层下表面(z=H)半径为R的区域内有△h_w的水位降，忽略软土层与砂土层界面的摩擦应力和砂土层的变形w。模型的边界条件为：

(1) ，，，；

(2) ，，，

。

根据边界条件(1)和(2)以及方程(2a)~(2e)，可解得A₁，A₂，A₃，A₄，A₅和A₆。其中，

根据方程(2b)，软土层表面沉降为：

        (5)

定义无量纲量，，，，引入变量，可得，

        (6)

   (7)

       (8)

式中：

，

，

。

易验证是函数F₂的一阶极点，除此以外函数F₂的极点均在负实轴。于是根据Laplace反演定理和留数定理^[14]可知：

             (9)

    (10)

, (k≥1)     (11)

式中：为特征方程 的正根。

于是软土层表面的沉降计算公式可表达为：

          (12)

通过类似的求解过程，可以得到土层表面的径向位移和土层中的超静孔隙水压力表达式为：

          (13)

              (14)

式中：

；

，k≥1。

3  解析解的验证与水位非均匀下降情况下的解答

3.1  解析解的验证

为验证解析解的正确性，采用有限元软件PLAXIS进行建模和有限元计算。图2所示为PLAXIS有限元模型。模型尺寸为1 m×20 m，采用轴对称15节点单元，在半径1 m范围内有1 m的水头降。土层上边界为自由边界，下边界为竖向固定、水平自由边界，内外边界为水平固定、竖向自由边界。土体本构模型采用线弹性模型，渗透系数为10^{-8 m/s}，弹性模量为4 MPa，泊松比为0.4。图3所示为解析解与有限元计算结果对比。对比T=0.1和T=0.2时，土层表面沉降(已无量纲化)沿径向的分布。由图3可以看出：有限元软件计算结果和解析解计算结果是一致的，说明本文得出的解析解是正确的。

3.2  水位非均匀下降情况下的解

图4所示为水位不均匀下降时的计算方法示意图。在实际工程中，砂土层中的水位下降常常是非均匀的，呈漏斗状。对于漏斗形水位下降引起的软土层固结问题，可以在均匀水位下降解析解的基础上进行计算。砂土层的水头降低值为h，降低范围为R(h)，于是，R(h)范围内一个微小的水头降低dh对软土层固结的影响为

          (15)

         (16)

           (17)

在水头降低值范围0~h_m积分后可得出总体的水位下降引起的地面沉降值和软土层孔压值，分别表示为

     (18)

     (19)

         (20)

图2  PLAXIS有限元模型

Fig. 2  Finite element model in PLAXIS

图3  解析解与有限元计算结果对比

Fig. 3  Comparisons between results of analytical solution and finite element calculation

图4  水位不均匀下降时的计算方法示意图

Fig. 4  Sketch for calculation method when drawdown of groundwater level is not uniform

4  计算和分析

基于上述解答，对有限范围内水位均匀下降时软土层的固结问题进行计算，分析泊松比以及水位下降范围对软土层固结度、竖向沉降、径向位移和土层中超静孔压变化的影响。

4.1  土层表面沉降随时间的变化

当=0.4时，分别计算=0.5，1，2时和应用一维固结理论^[6]计算时=0处土层表面沉降随时间的变化情况，结果如图5所示，随着(降水范围)的增大，土层的沉降速率越来越快。当T＞1时，沉降趋于稳定，越大，最终沉降值越大。基于一维理论计算得到的土层沉降速率和最终沉降值均大于基于Biot轴对称理论计算得到的值。当时，分别计算=0.3，0.4，0.45时=0处土层表面沉降随时间的变化情况，如图6所示，随着土体泊松比的减小，土层的沉降速率越来越快。当T＞1时，沉降趋于稳定，越小，最终沉降值越大。泊松比对土层沉降随时间发展的影响十分明显，基于一维理论无法考虑泊松比对沉降的影响。

图5  降水范围对沉降随时间变化的影响

Fig. 5  Influences of extent of drawdown on change of subsidence over time

图6  泊松比对沉降随时间变化的影响

Fig. 6  Influences of Poisson’s ratio on change of subsidence over time

4.2  土层表面沉降沿径向的分布

当T=0.1，=0.4时，分别计算，1，2时土层沉降沿径向的分布，结果如图7所示，随着(降水范围)的增大，土层的沉降逐渐增大，沉降影响范围也不断扩大，土层沿径向的沉降差异十分明显。当，T=0.1时，分别计算=0.3，0.4，0.45时土层沉降沿径向的分布，结果如图8所示，随着泊松比的增大，土层的沉降逐渐变小，沉降影响范围变化很小。对比图7和图8可知：沉降的影响范围主要受降水范围影响，受土体泊松比影响很小，沉降影响范围为降水范围的2~3倍。

图7  降水范围对沉降分布的影响

Fig. 7  Influences of extent of drawdown on distribution of subsidence

图8  泊松比对沉降分布的影响

Fig. 8  Influences of Poisson’s ratio on distribution of subsidence

4.3  土层径向位移分布

当T=0.1，=0.4时，分别计算，1，2时土层径向位移(负号表示位移方向与径向坐标轴反向)的分布，结果如图9所示，随着(降水范围)的增大，土层的径向位移逐渐增大，发生径向位移的范围显著扩大，径向位移最大处位置逐渐向外移动。当，T=0.1时，分别计算=0.3，0.4，0.45时土层径向位移沿径向的分布，结果如图10所示，随着泊松比的增大，土层的径向位移逐渐变小，发生径向位移的范围显著减小，径向位移最大处位置几乎没有变化。对比图9和图10可知：降水范围和土体泊松比均对径向位移影响范围有较大影响，但发生径向位移最大处的位置主要受降水范围影响，受土体泊松比影响较小，径向位移最大处位置约为1~2倍降水范围。

图9  降水范围对径向位移分布的影响

Fig. 9  Influences of extent of water table drawdown on distribution of radial displacement

图10  泊松比对沉降分布的影响

Fig. 10  Influences of Poisson’s ratio on distribution of radial displacement

4.4  土层中的超静孔压变化

当ν=0.4，时，分别计算，1，2时和应用一维固结理论计算时超静孔压随时间的变化，结果如图11所示，在固结发展初期，超静孔压有上升的现象，与Mandel-Cryer效应类似。随着(降水范围)的增大，超静孔压的发展速率变快，初期的超静孔压上升幅度越来越大。当，时，分别计算=0.3，0.4，0.45时和应用一维固结理论计算时超静孔压随时间的变化，结果如图12所示，随着泊松比的增大，超静孔压的发展速率变快，初期的超静孔压上升幅度越来越小。当T＞1时，超静孔压的发展趋于稳定，最终稳定值受影响明显，越大，最终稳定值越小。当＞2时，超静孔压最终稳定值与一维假定下一致。一维假定下，超静孔压没有上升现象，超静孔压发展速率比二维条件下快。

图11  降水范围对超静孔压随时间变化的影响

Fig. 11  Influences of extent of drawdown on change of excess pore pressure over time

图12  泊松比对超静孔压随时间变化的影响

Fig. 12  Influence of Poisson’s ratio on change of excess pore pressure over time

5  结论

(1) 基于Biot轴对称固结方程，本文作者利用位移函数以及Laplace和Hankel变换获得了有限范围内水位均匀下降引发的土层固结解析表达式。基于水位均匀下降时的解答，推导了水位不均匀下降时的固结计算表达式。通过与PLAXIS有限元计算结果对比，验证了本文解析解的正确性。

(2) 随着泊松比的减小和降水范围的增大，土体的沉降速率越来越快，土层的最终竖向沉降、径向位移逐渐变大，土层内部初期的超静孔压上升幅度越来越大。

(3) 土层竖向沉降的影响范围主要受降水范围影响，受土体泊松比影响很小，沉降影响范围为降水范围的2~3倍。降水范围和土体泊松比均对径向位移影响范围有较大影响，但径向位移最大处位置主要受降水范围影响，受土体泊松比影响较小，径向位移最大位置为降水范围的1~2倍。

(4) 与大范围内水位下降引发的一维固结相比，有限范围内水位下降引发的轴对称三维固结下土层表面的竖向沉降差异十分明显，有显著的径向位移，超静孔压在发展初期有显著的上升，因此在实际工程中考虑降水范围是十分必要的。

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(编辑  陈爱华)

收稿日期：2013-03-18；修回日期：2013-06-28

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51278453)；浙江省自然科学基金重点资助项目(Z5080175)

通信作者：谢康和(1956-)，男，浙江建德人，教授，博士生导师，从事软黏土力学与地基处理方面研究；电话：0571-87951339；E-mail: zdkhxie@zju.edu.cn