DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2016.03.025

剪切模量随深度呈指数函数增大地基中锚杆弹塑性分析

陈昌富，汤宇，梁冠亭

(湖南大学 岩土工程研究所，湖南 长沙，410082)

摘要：考虑地基土体力学性质随深度变化特性，假定土体剪切模量、弹性极限抗剪强度以及抗剪强度残余系数均随深度按指数函数增大，锚固界面采用一次跌落软化模型，基于剪切位移法推导锚固段周边土体处于弹、塑性阶段时锚杆位移、轴力、剪应力解析式，并以工程实例检验该方法及基本假设的合理性。最后，基于该方法分析锚固段周边土体剪切模量、弹性极限抗剪强度、抗剪强度残余系数随深度分布参数以及锚固段弹性模量对锚杆受力变形特性的影响。研究结果表明：土体力学性质随深度增加呈指数函数增大有利于改善锚杆工作性状，在计算中给予合理考虑，可更加真实地反映锚杆荷载传递过程。

关键词：锚杆；荷载传递；剪切模量

中图分类号：TU476          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2016)03-0905-08

Elastic-plastic analysis for bolts in ground with shear modulus increasing following an exponential function with depth

CHEN Changfu, TANG Yu, LIANG Guanting

(Geotechnical Engineering Institute, Hunan University, Changsha 410082, China)

Abstract: Considering the characteristics of mechanical properties of the ground soil varying with depth, it is assumed that soil’s shear modulus, shear strength in the elastic limit state and residual coefficient of shear strength increase following exponential functions with depth. Based on the shear displacement method, analytic formulas of the displacement, axial force and shear stress of bolts were derived by using the dropping softening mode for anchorage interface when the surrounding soil is in elastic or plastic stress state. The good agreement of the engineering project with the present method confirmed the rationality of the proposed approach and basic assumptions. Finally, influences of distribution parameters with depth of soil’s shear modulus, shear strength in the elastic limit state, residual coefficient of shear strength and elastic modulus of anchorage segment on mechanical and deformation characteristics of bolts were also analyzed. The results indicate that mechanical properties of soil increasing following exponential functions with the increase of depth have benefits on working traits of bolts, meanwhile, reasonable consideration in the calculation can more truly reflect the load transfer process of bolts.

Key words: bolt; load transfer; shear modulus

由于岩土性质的复杂性以及锚固方式的多样性，锚杆荷载传递机理一直是国内外研究的热点^[1]。尤春安^[2]利用Mindlin半空间问题的位移解导出了全长黏结式锚杆应力分布的弹性解；张季如等^[3]通过建立锚杆荷载传递双曲函数模型获得了锚杆摩阻力和剪切位移沿锚固体长度的分布规律。KIM等^[4]通过数值模拟和试验方法对锚杆荷载传递过程进行了研究分析。为了反映岩土体的弹塑性特点，XIAO等^[5]考虑锚固体周围土体应变软化特性，基于剪切位移法，探讨了拉力型锚杆的荷载传递机理；郭锐剑等^[6]在此模型假定基础上，分析了在不同拉拔荷载作用下，锚杆剪应力分布模式；同样基于三阶段线性黏滑模型，REN等^[7]分5个阶段研究了锚杆荷载传递全过程；段建等^[8]则认为土层锚界面服从黏滑模型，建立了锚杆拉拔临界松动荷载和拉拔极限荷载理论解。将地基视为均质体是大多数岩土工程研究工作的重要前提。但是，根据土体基本性质和大量的现场试验发现，土在正常固结或超固结条件下，其力学性质随深度增加有所提高^[9-11]。针对此工程特性，GUO等^[12-13]假设桩侧土体剪切模量和极限抗剪强度均随深度按幂函数增长，得到了单桩弹塑性解析式；陈明中等^[14]推导了考虑桩周土体极限摩阻力随深度线性变化的单桩沉降解析式；而洪鑫  等^[15]在此基础上提出了同时考虑桩侧极限摩阻力随深度线性变化和土体软化的单桩荷载沉降关系统一解；王旭东等^[9]则推导了轴向荷载作用下考虑桩侧极限摩阻力和剪切刚度系数随深度线性变化的单桩弹塑性解析解。然而，在国内外锚杆研究领域关于考虑地基土体力学性质随深度变化特性的研究成果较少。但随着岩土锚固技术的发展，其应用领域越来越广泛，锚固形式也趋于多样化。在实际工程中锚杆垂直穿越地基或者与地基表面交角较大的情形并不罕见，其中最为典型就是抗浮锚杆。尽管锚杆与基桩荷载传递机理存在一定的相似性，因其功能、结构、施工工艺等差异，其受力变形存在较大区别。因此，有必要研究考虑岩土体力学性能随深度变化特性的锚杆荷载传递机理。本文作者考虑土体力学性质随深度变化，假定土体剪切模量、弹性极限抗剪强度以及抗剪强度残余系数均随深度按指数函数增长，锚固界面采用一次跌落软化模型，推导锚杆承载力和变形的弹塑性解析式，并在此基础上分析土体力学性质随深度增长对锚杆受力变形特性的影响，以期更真实合理地反映锚杆荷载传递过程。

1  锚固段力学模型建立

以锚固段顶面为坐标原点沿深度方向建立坐标系，并取深度z处的微小锚固段dz为研究对象(图1)，根据其竖向力平衡条件有：

              (1)

式中：U为锚固段周长；τ(z)为深度z处锚固段周边剪应力；N(z)为轴力。

由锚固段拉伸变形w(z)与轴力之间的关系得：

              (2)

式中：E_a为锚固段弹性模量；A_a为锚固段截面面积。

由式(1)和(2)可得锚固体荷载传递微分方程为

             (3)

图1  锚杆计算模型

Fig. 1  Calculation model of bolt

2  锚固界面力学模型及基本假定

为了能够反映锚固段周边土体的软化特性，锚固界面τ-w关系采用一次跌落软化模型(图2(a))，其中，λ(z)为深度z处锚固界面弹性剪切刚度；τ_f(z)为弹性极限抗剪强度；w_u(z)为弹性极限位移；η(z)为抗剪强度残余系数。

考虑到锚固段周边土体剪切模量、弹性极限抗剪强度、抗剪强度残余系数随深度变化特性，假设：

1) 锚固段为弹性材料，截面面积为常数，锚杆轴线与地基表面夹角为90°。

2) 随着深度增加，土体力学性质越来越好，并且所受约束力也不断增大。综合以上特性，假设土体剪切模量随深度按指数函数增长^[16]：G(z)=G₀e^mz，见图2(b)。其中，G₀为锚固段顶部周边土体剪切模量；m为土体剪切模量随深度变化系数。

图2  锚固界面简化力学模型

Fig. 2  Simplified mechanical model of anchorage interface

3) 由于土体性质和约束力随深度增大，在拉拔荷载作用下，锚固界面因剪胀作用而引起的抗剪强度明显增加，因此，假设锚固段周边土体弹性极限抗剪强度τ_f随深度增加也是按指数函数增长：τ_f(z)=τ_f0e^nz，见图2(c)。其中，τ_f0为锚固段顶部周围土体弹性极限抗剪强度；n为弹性极限抗剪强度随深度变化系数。

4) 随着深度的增加，土体所受围压也不断增大，不仅极限抗剪强度随深度增加，而且残余抗剪强度与极限抗剪强度之比亦增大^[17]。于是，假设锚固段周边土体抗剪强度残余系数η随深度变化形式如图2(d)所示。其中，1-η₀为锚固段顶部周围土体抗剪强度残余系数；k为抗剪强度残余系数随深度变化系数。

基于以上基本假定，锚固界面荷载传递模型数学表达式为

      (4)

为更好地反映土(岩)体力学性质随深度变化特性，本文建立的模型待定参数相对较多。针对剪切模量的确定，可取不同深度处的原状土样进行室内试验(三轴压缩试验、快速压缩试验等)，也可以进行现场原位试验(静力触探、旁压试验等)^[18]。通过上述试验方法可测得土体的弹性模量，并根据弹性力学理论推算出土体剪切模量，从而确定剪切模量随深度分布形式。而对于锚固界面荷载传递模型类型及其参数的确定，可以进行现场拉拔试验，即在锚固体内埋设应变片，再通过锚固体位移、轴力、周边剪应力之间的关系来确定荷载传递模型和参数^[19]；也可以通过取不同深度处的原状土样进行室内剪切试验而确定^[20]；还可以借鉴静触探估算单桩竖向极限承载力的方法来确定。

3  锚固段弹塑性分析

3.1  弹性阶段

当作用于锚杆顶部荷载P₀较小时，锚固段周边土体全部处于弹性阶段，锚固段与土体处于黏结状态。根据剪切位移法理论^[21]，锚固段竖向位移与剪应力之间的关系为

             (5)

式中：r₀为锚固段半径；r_m为土体变形可以忽略不计的最大半径，一般r_m=10 r₀^[22]。

由式(4)和(5)可知：。令，由式(3)和(5)可得锚固段控制微分方程为

          (6)

式(6)所示为非常系数齐次线性微分方程，需将其变换成可求解的特殊函数，令，

，式(6)可整理成变型的Bessel方程形式：

           (7)

求解式(7)可得锚固段位移的通解形式为

      (8)

其中：A和B为待定系数；I和K分别为第1类和第2类变型的Bessel函数^[23]。

由式(2)和式(8)可得锚固段轴力N(z)的通解为

  (9)

式中：。

考察边界条件：，，可求得锚固段周边土体处于弹性阶段时，锚固段位移、轴力和周边剪应力的表达式为

 (10)

其中：。

当锚杆顶部荷载P₀增加到使锚固段顶面周边土体达到极限抗剪强度τ_f0，若荷载继续增大，则锚固段周边土体将由弹性阶段进入塑性阶段，定义此荷载为锚杆弹性极限荷载P_e，由式(10)可求得：

    (11)

深度z处锚固段周边土体弹性极限位移w_u(z)的表达式为

      (12)

由式(12)可知，弹性极限位移w_u(z)随深度变化特性主要由m和n决定。当m=n时，w_u(z)为常数；当mu(z)随深度增加而增大；反之，w_u(z)随深度增加而减小。

3.2  塑性阶段

根据锚杆荷载传递特性可知，塑性区长度z_c(图3)从锚固段顶面开始沿深度逐渐向下发展。当0≤z≤z_c时，锚固段周边土体处于塑性阶段；当z_c≤z≤L_a时，锚固段周边土体仍然处于弹性阶段。C截面为塑性区与弹性区的界限截面，w_c为C截面处锚固段竖向位移。所以，在0≤z≤z_c范围内，锚固段位移w_p、轴力N_p和锚固段周边剪应力τ_p的表达式为

         (13)

图3  锚固段周边土体进入塑性阶段

Fig. 3  Soil in plastic stage around anchorage segment

对式(13)进行积分求解得：

 (14)

式中：；。

对于弹性区求解，由于边界条件发生变化，所以锚固段主要力学性状表达式也将发生变化。需重新考察边界条件：N_e(L_a)=0，w_e(z_c)=w_c，可得弹性区锚固段位移w_e、轴力N_e和周边剪应力τ_e的表达式为

   (15)

由于塑性区底面和弹性区顶面轴力相等，即N_p(z_c)=N_e(z_c)，可得锚杆拉拔荷载P₀与塑性区长度z_c(z_c≥0)之间的关系式为

       (16)

由式(16)可知：当z_c=0时，拉拔荷载P₀即为锚杆弹性极限荷载P_e，且将z_c=0代入式(16)所得结果与式(11)右边相等，从而也相互验证了其正确性。

4  工程实例

为了检验本文方法及基本假设的合理性，现以某工程5号抗浮锚杆^[24]为例进行计算。该锚杆锚固于强风化钙质板岩中，锚固段长度L_a=5 m，半径r₀=65 mm，采用全长注浆，锚固段弹性模量E_a=18 GPa。根据工程地质条件及相关工程经验，确定锚固段周边土体力学参数见表1。

表1  5号锚固段周边土体力学参数

Table 1  Mechanical parameters of soil around 5th anti-floating anchor

采用本文方法和基本假定，按照表1所列土体力学参数，对锚杆加载过程进行计算，所得荷载-位移曲线(P-s曲线)如图4所示。

图4  锚杆P-s曲线

Fig. 4  Curve of P-s for anchor

现场拉拔试验采用单调加载方式，每级读数3次，每级读数稳定后方可进行下一级加载。锚杆抗拔力由拉压传感器和应变仪测定，锚杆位移由百分表测量。由图4表明：本文方法计算曲线与实测曲线发展趋势相吻合，计算所得锚杆极限承载力P_ult为432 kN，实测值为420 kN，相对误差为2.85%。

而将地基视为均质体(不考虑岩土体力学性质随深度变化，参考文献[8]的计算方法)所得曲线与实测曲线误差相对较大，此时锚杆P_ult仅为311 kN，与实测值相比，其相对误差达26%。由此可知，如果不考虑地基土(岩)体力学性质随深度变化特性，可能低估锚杆的极限承载力，在实际工程中造成不必要的浪费。

5  参数分析

为了分析计算参数(E_a，m，n，k)对锚杆受力变形特性的影响，现以某抗浮锚杆为例进行分析，该锚杆锚固段长度L_a=8 m，弹性模量E_a=20 GPa，半径r₀=65 mm，垂直锚固于地基中。锚固段周边土体力学参数如表2所示。

表2  锚固段周边土体力学参数

Table 2  Mechanical parameters of soil around anti-floating anchor

5.1  E_a和m对锚杆弹性极限荷载P_e的影响

弹性极限荷载P_e是锚杆受力变形特性的一个重要指标，当锚杆所承受拉拔荷载小于P_e时，锚固段周边土体处于弹性阶段，锚固段与周边土体无相对位移，锚杆顶部位移与所受拉拔力呈线性关系。当锚杆顶部拉拔荷载大于P_e时，虽然尚未达到锚杆极限承载力，但是锚杆顶部位移随荷载增大而迅速增加，直接影响到锚固工程的正常工作。所以，在实际工程中，应该尽量增大锚杆弹性极限荷载，使锚杆处于弹性阶段。

图5所示为锚固体弹性模量不同的情况下土体剪切模量非均匀分布参数m与P_e的关系。由图5可知：在E_a一定时，P_e随m增大而增大，呈明显的线性关系；在其他条件不变的情况下，E_a越大锚杆所对应的P_e越大，且P_e随m增长的幅度也越大。所以，在对锚杆进行设计计算时，应合理考虑土体剪切模量随深度变化特性，以期更加准确地预测锚杆弹性极限荷载。特别是对变形要求比较严格的锚固工程，需要使锚杆获得较大的弹性极限荷载，一方面可以通过增加水泥砂浆强度等级来提高锚固段弹性模量；另一方面还可以考虑通过控制锚固段长径比来增加其刚度，将有利于顶部荷载往深部传递，充分发挥深部岩土体力学性能。

图5  E_a和m对P_e的影响

Fig. 5  Influence of E_a and m on P_e

5.2  m对锚固段周边剪应力分布形式的影响

锚固段周边剪应力是锚杆重要的力学性状之一，其分布形式也直接决定了锚杆锚固段长度以及极限承载力。图6所示为拉拔荷载P₀=200 kN(此时锚固段周边土体全部处于弹性阶段)，m对锚固段周边剪应力分布形式的影响。

图6表明：与不考虑土体剪切模量随深度变化(m=0)的情况相对比，考虑剪切模量随深度增加对应的锚固段周边剪应力随深度增加衰减速率较小，且m越大衰减速率越小。当m足够大时，由于在靠近锚杆底部，随深度增加土体剪切模量(锚固界面弹性剪切刚度)增长速率可能大于锚固段剪切位移的减小速率，使得剪应力在锚固段底部反而增大，且m越大剪应力增大越早也越明显。

图6  m对剪应力分布形式的影响

Fig. 6  Influence of m on shear stress curves

5.3  n和k对锚杆受力变形的影响

同时考虑锚固段周边土体剪切模量、极限抗剪强度、软化系数随深度变化的特性，根据前面所推导解析式可知，m对锚杆的影响主要体现在弹性工作阶段，而n和k主要影响锚杆塑性工作阶段，图7所示为n和k取值不同的情况下锚杆荷载-位移曲线(即P-s曲线)。

图7  n和k对锚杆P-s曲线的影响

Fig. 7  Influence of n and k on P-s curves

由图7可知：当锚杆进入塑性工作阶段，在其他条件相同的情况下，n和k越大，锚杆顶部位移越小，且锚杆的极限承载力也越大。这是由于当锚杆进入塑性工作阶段，n和k较小时，随深度的增加锚固段周边土体弹性极限抗剪强度和抗剪强度残余系数增长不明显，随着拉拔荷载进一步增大，塑性区迅速向下发展，并很快达到极限承载力，最后锚杆被拔出。而当n和k较大时，随深度的增加土体弹性极限抗剪强度和抗剪强度残余系数增长明显，能够有效延缓锚固段塑性区向深部发展速率，使锚杆获得较大的极限承载力和相同荷载作用下较小的顶部位移。

6  结论

1) 对锚固界面τ-w关系采用一次跌落软化模型，建立了基于考虑地基土体力学性质随深度变化的锚杆弹塑性解析式，更加真实合理地反映了锚杆荷载传递过程，对锚杆设计计算具有一定的参考价值。

2) 在考虑土体剪切模量随深度增加而增长的情况下，可以通过提高水泥砂浆强度等级来增加锚固段弹性模量，控制长径比来提高锚固段刚度，使深部岩土体力学潜能得到充分发挥，以进一步改善锚杆弹性极限荷载和位移。

3) 剪切模量随深度增长的特性使锚固段周边剪应力随深度增加衰减速率变小，且m越大衰减速率越小。当m足够大时，剪应力在锚固段底部随深度增加反而增大，且m越大剪应力增大越早也越明显。

4) 针对本文待定参数较多的问题，提供了几种常用的参数确定方法。但由于岩土介质复杂多变，各方法的适用性尚有待验证，需要积累更多的经验以供实际工程参考。

5) 本文基于锚杆垂直地基表面布置的情形进行计算分析，对于非垂直但交角较大的情形，只需将土体力学参数随深度分布函数稍作变换即可。

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(编辑  赵俊)

收稿日期：2015-03-23；修回日期：2015-06-10

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(41572298) (Project(41572298) supported by the National Natural Science Foundation of China)

通信作者：陈昌富，博士，教授，从事边坡工程及软土地基处理研究；E-mail: cfchen@163.com