DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.04.049
基于乐观值和悲观值的不同风险态度行程时间预算
李小静，刘立舰，NAUMOV Stanislav
(兰州交通大学 交通运输学院，甘肃 兰州，730070)
摘要：研究3种风险态度出行者的行程时间预算。首先从随机变量的α乐观值和α悲观值出发，对比收益函数和成本函数的乐观值和悲观值的概念及特征。然后从行程时间可靠度基本概念引出行程时间的机会约束规划(CCP)minimin和minimax模型，通过假设路段行程时间服从正态分布，求出了路段和路径行程时间的α乐观值和β悲观值，又根据Hurwicz乐观系数准则建立2种极端情况的综合平衡模型。最后提出行程时间可靠度指标，并进行了算例分析。研究结果表明方法正确指标合理，可以进行不同风险态度的行程时间预算，并针对具体情况可采用不同的可靠度指标预算出行时间并评价道路性能。
关键词：乐观值；悲观值；机会约束规划；Hurwicz准则；行程时间预算；可靠度指标
中图分类号：U491 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2015)04-1553-09
Travel time budget of travelers with different risk attitudes based on optimistic and pessimistic values
LI Xiaojing, LIU Lijian, NAUMOV Stanislav
(School of Traffic and Transportation, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)
Abstract: Travel time budget of travelers with three risk attitudes was studied. Starting from α-optimistic and α-pessimistic values of stochastic variables the definitions and the characteristics of optimistic and pessimistic values of a benefic function and a cost function were compared. Then a minimin model and a minimax model of chance-constrained programming (CCP) of travel time were derived from the conception of travel time reliability. The α-optimistic and the β-pessimistic values of link and path travel time were obtained through postulating a normal distribution of link travel time. And according to the Hurwicz optimistic coefficient criterion a comprehensive balance model was established. Finally several travel time reliability indexes were proposed, and the analysis was conducted through an example. The results show that the method is right and the indexes are reasonable, and that travel time can be budgeted on the basis of travelers’ risk attitudes. According to actual circumstances, different reliability indexes can be adopted to estimate travel time and evaluate road performances.
Key words: optimistic value; pessimistic value; chance-constrained programming (CCP); Hurwicz criterion; travel time budget; reliability index
路网的可靠度评价指标主要包括3种，即连通可靠度、行程时间可靠度和容量可靠度[1-4]，其中的行程时间可靠度是出行者最为关心的一个重要指标。我国很多城市出现了交通拥堵的问题，使得对行程时间可靠度的关注得到加强。出行者不仅考虑行程时间最少，还要考虑行程时间的可靠性最大的道路出行。行程时间由于各种随机因素的影响是一个随机变量，每一位出行者在出行前都要进行行程时间预测，估计一下最好和最坏行程时间并做出相应的决策。Lo等[5]提出了行程时间预算(travel time budget, TTB)的概念，并定义TTB为期望出行时间与边际出行时间之和。要甲 等[6]建立了基于出行时间预算的多模式多类用户城市交通均衡分配模型。吕彪等[7]以TTB为基础研究了预算-超额平衡模型。Siu等[8]介绍了通勤者考虑可靠度时行程时间预算与规避风险的择路行为之间的关系。行程时间预算从行程时间和行程时间可靠性两方面进行了考虑，很符合出行者实际出行中所要考虑的问题，所以该指标非常重要[9]。而且行程时间预算与行程时间可靠度具有直接的关系，一般预算时间越长，可靠性越大，反之则越小。通常情况下，出行者由于性格爱好和对目的地重要性的认知不同，对行程时间可靠性的要求也不同，这恰好反映了出行者的风险取向的不同。不同类型的人对于风险规避的态度是不一样的，预算的行程时间也是不一样的。吕彪等[10]根据对待风险的不同态度，将出行者分为冒险型、中立型和保守型。Shao等[11]将出行者分为三类：风险趋向型、风险中立型和风险规避型。风险趋向型出行者是冒险主义者，通常会做最好的打算，认为行程时间会比平均时间减少一定的时间，但实际上行程时间并非如此，所以可靠性会很低；风险中立型出行者是中立主义者，认为行程时间等于平均时间，不关心行程时间的不确定性，可靠性也不高；而风险规避型出行者是保守主义者，一般会做出行的最坏打算，认为行程时间比平均时间多出一定的时间，可靠性会很高。可靠性主要用于实际工程中的不确定性，虽然不确定规划中的随机变量的特性已经得到证实并进行了大量的相关研究[12-13]，但是目前文献中描述其定义或者应用的都主要面向一种情况，那就是越大越好的目标函数变量，而越小越好的目标函数变量通常很少被应用[14]，而且对随机变量人们更多地偏向于从期望值和方差角度来进行衡量。目前对于不确定理论仍然停留在理论研究和拓展阶段，还没有把相关理论很完善地应用于实际。在不确定理论中，随机变量除了使用期望值和方差外，还可以使用乐观值和悲观值来度量。乐观值和悲观值在实际中应用并不是很多，而考虑出行者风险态度的行程时间预算的最好和最坏预算恰好可以用乐观值和悲观值来度量，而Hurwicz乐观系数准则也可以很好地综合两种极端情况的预算[15]。α乐观值和α悲观值所对应的置信水平α可以代表出行者的风险偏好程 度[16-17]，所以可以采用不确定理论中的机会约束规划模型研究出行者在一定置信水平下的行程时间预算。计划时间、计划时间指数、预留时间、预留时间指数等可靠度指标已经被提出和应用[18-19]，但是这些指标都没有与出行者风险态度相联系，体现风险态度的指标更符合实际。因此，本文作者从不确定理论的α乐观值和α悲观值角度出发来描述行程时间可靠度，并建立行程时间预算的机会约束规划模型。确定行程时间预算在一定置信水平下的乐观值和悲观值，由此得到行程时间预算的最大值和最小值，并提出体现出行者风险态度的行程时间可靠度指标。研究行程时间预算有助于出行者根据风险态度做出行程时间最好和最坏预算，并根据可靠度指标选择可靠出行路径。
1 乐观值和悲观值
1.1 随机变量的乐观值和悲观值
定义1 设ξ为一随机变量，且
，则称
(1)
为ξ的α乐观值。其中Pr为概率测度。
从定义1可知随机变量ξ至少以概率α大于或等于α乐观值
。从定义本身理解，α乐观值等于满足
条件的
的最大值，所以定义1等价于下面模型：
(2)
定义2 设ξ为一随机变量，且，则称
(3)
为ξ的α悲观值。
从定义2可知随机变量ξ至少以概率α小于或等于α悲观值
。也就是说α悲观值等于满足
条件的r的最小值，所以定义2等价于下面模型：
(4)
乐观值和悲观值相当于概率论中的百分位。例如随机变量ξ总数有100个，α=0.9，满足
条件的r的最大值
等于处于随机变量由大到小排列的第90分位的随机变量数值。而满足条件的的最小值
等于处于随机变量由小到大排列的第90分位的数值。
定理1 假设和分别为随机变量ξ的α悲观值和α乐观值，则有：
1) 是α的增函数；
2) 是α的减函数；
3) 若α＞0.5，则
；
4) 若α≤0.5，则
。
1.2 目标函数的乐观值和悲观值
目标函数有两类：一类是越大越好的目标函数例如利润、效率等；另一类则是越小越好的目标函数例如成本、时间等，把这两类函数分别称为收益函数和成本函数。假设x是一个决策向量，ξ是一个随机向量，
是收益函数，简记为f，假设f为连续随机变量，其概率密度函数、分布函数、反函数分别为f(x)，F(x)和F-1(x)。
是成本函数，简记为
，假设为连续随机变量，其概率密度函数、分布函数和反函数分别为
，
和
，
(j=1，2，…，p)是随机约束函数。下面将研究两类函数的乐观值和悲观值。
1.2.1 收益函数的乐观值和悲观值
若目标函数为利润或效益等的收益函数，决策者则希望极大化该函数的α乐观值和α悲观值。
首先，若决策者希望在随机环境下极大化收益函数的乐观值，则可以建立机会约束规划maximax模型：
(5)
其中：α和β为决策者事先给定的置信水平；
是收益函数的α乐观值，是满足
条件的最大的
。可以定义α乐观值为
(6)
α乐观值也可以表示为下面模型：
(7)
根据前面假设，式(7)的约束条件可以化简为
，又分布函数
为非减函数，所以
，根据模型(5)求的是的最大值，所以
，即收益函数的α乐观值为
。
同时，若决策者希望在随机环境下极大化收益函数的悲观值，则可以建立机会约束规划maximin模型：
(8)
其中：
为收益函数的α悲观值，是满足
条件的最小的。α悲观值可以定义为：
(9)
式(9)等价于下面模型：
(10)
与前面求解基本相同，可以得到α悲观值
。
收益函数的α乐观值随着α的增大而减小，是减函数。而α悲观值随着α的增大而增大，是增函数。并且若α＞0.5，则
，若α≤0.5，则
。其结论与定理1是完全相同的。一般取α＞0.5时，收益函数值处于
之间，这是收益函数在一定置信水平下的取值区间。
1.2.2 成本函数的乐观值和悲观值
若目标函数为成本或者时间等的成本函数，决策者则希望极小化该函数的α乐观值和α悲观值。
首先，若决策者希望极小化成本函数的α乐观值，则可以建立如下的minimin机会约束规划(CCP)模型：
(11)
其中：
是成本函数的α乐观值。根据文献[13]，成本函数的α乐观值可以定义为
(12)
α乐观值还可以表示为下面模型：
(13)
解得
，该值随着α增大而增大。
同时，若决策者希望极小化成本函数的悲观值，则可以建立如下的minimax机会约束规划(CCP)模型：
(14)
其中：
是成本函数的α悲观值。成本函数的α悲观值可以定义为
(15)
式(15)等价于下面模型：
(16)
解得
，该值随α增大而减小。
由前面可以得到下面结论：
1) 成本函数α乐观值为α的增函数
2) 成本函数α悲观值为α的减函数
3) 若α＞0.5，则
4) 若α≤0.5，则
该结论与定理1刚好相反。这主要是因为收益函数和成本函数本来就是相反的关系，所以两类函数的α乐观值和α悲观值具有恰好相反的性质。一般取α＞0.5时，成本函数值处于
之间，这样就得到了成本函数在一定置信水平下的取值区间。
2 行程时间CCP模型
2.1 行程时间可靠度
行程时间可靠度是指在规定的时间内，车辆能从起点O到达讫点D的概率[20]，还可以描述为：车辆在OD对间所用实际行程时间小于等于行程时间预算的概率。可以用如下公式表示：
(17)
式中：T为实际行程时间；b为行程时间预算。
文献[5]中行程时间预算被描述为平均行程时间加上预留的行程时间。路段a的预算为
(18)
其中：ba，ta和sa分别为路段a的行程时间预算、平均行程时间和预留行程时间。
路径的行程时间预算等于路径平均行程时间加上预留行程时间，可以表示为
(19)
其中：
，
和
分别为OD对(r，s)间的路径k的行程时间预算、平均行程时间和预留行程时间；
，A为路段集合，
为路段与路径的关联系数。若路段a在(r，s)之间的路径k上，则
，否则
。路径的平均行程时间等于路径上的路段的平均行程时间和，但是路径的预留时间不一定等于路径上的路段的预留时间的和。
2.2 路段行程时间
随机环境下，出行者更多关心的是行程时间所处的范围，最好的估计和最坏的估计时间是多少。对此可以根据成本函数的乐观值和悲观值进行研究，建立行程时间的机会约束规划模型。
若出行者希望在预先给定的置信水平α下，路段行程时间不高于行程时间预算，则可以建立如下的minimin CCP模型：
(20)
其中：minba为路段行程时间的α乐观值。其具体形式可以表示为
(21)
由假设路段服从正态分布，所以式(21)可以表示为
(22)
假设路段行程时间服从正态分布，即
，其中
和
分别为路段a的平均时间与标准差。经过一系列推导得到
。由于目标求最小，所以
。路段行程时间的α乐观值为：
，其中
为反函数。
若出行者希望在随机环境下，在一定的置信水平β下，实际行程时间不低于预算时间，则可以建立如下minimax CCP模型：
(23)
同理可以求出路段行程时间的β悲观值为：
。
一般取1＞α≥0.5，1＞β≥0.5时，可得到路段行程时间所处的区间为：
。α=β时，
，路段行程时间平均值等于其α乐观值与α悲观值的平均数，这个结论在假设服从正态分布时成立。
2.3 路径行程时间
根据极限定理，不管路段行程时间分布，路径行程时间都服从正态分布
，其中和
分别为路径k的平均时间和标准差。
出行者希望在预先给定的置信水平α下，路径行程时间不高于行程时间预算，可以建立如下的minimin CCP模型：
(24)
同前面推导得到α乐观值为：
。
若出行者希望在预先给定的置信水平β下，路径行程时间不低于行程时间预算，则可以建立如下的minimax CCP模型：
(25)
同理可以求得β悲观值为：
。
一般取1＞α≥0.5，1＞β≥0.5，可得到路径行程时间所处的区间为：
，当0＜α≤0.5，0＜β≤0.5时，可得到路径行程时间所处的区间为：
。与路段一样，当α=β时，路径行程时间平均值也等于其α乐观值与α悲观值的平均数，即
，这个结论在服从正态分布时成立。
2.4 Hurwicz准则下的CCP模型
对于同一个成本函数优化问题，根据不同的决策目的，均可以建立minimin机会约束规划模型，也可以建立minimax机会约束规划模型，很显然，minimin和minimax模型是2种极端情况，这2个模型的评价指标分别为α乐观值和β悲观值。为了方便采用
和
表示路径行程时间的α乐观值和β悲观值，即
，
。当1＞α，β≥0.5时，
，可以把这2种情况进行综合考虑，而Hurwicz乐观系数准则在极端乐观和极端悲观间建立了一种平衡。赋予这2种情形不同的权重λ和1-λ，给出了极端乐观和极端悲观的一种折衷方案，即
(26)
其中：λ为乐观系数，且0≤λ≤1。当λ=0时，式(26)为β悲观值，表示“非常”悲观；当λ=1时，式(26)退化为α乐观值，表示“非常”乐观。有时候单独用乐观值和悲观值很难达到决策的目的，所以根据Hurwicz乐观系数准则，可以把CCP模型写为如下的形式：
(27)
3 路径行程时间可靠度指标
得到行程时间的α乐观值和β悲观值后，可以使用下面指标来反映道路出行者的实际感受。为了方便平均行程时间和标准偏差分别用t和σ简单表示。采用α＞0.5和β＞0.5。路径行程时间可靠度指标有：
1) 行程时间窗(t0)：表示在一定的置信水平下不同风险态度的出行者的行程时间估计区间，
。
2) 预留时间(s)：这个指标可以直观反映出行者的感受，当考虑出行者态度时，可以分为乐观预留时间(ssup)和悲观预留时间(sinf)。α=β时，ssup=sinf。该时间指标越小越好。
3) 预留时间指数(s0)：预留时间要与道路平均时间相比较才能消除不同道路平均时间差异的影响。如2条不同道路的平均时间分别为10 min和100 min的预留时间都是5 min，仅根据预留时间无法判断，就需要用预留时间指数来消除。该指标越小越好。也根据出行者态度分为乐观预留时间指数(
)和悲观预留时间指数(
)，α=β时，
。具体计算方法如下：
4) 计划行程时间(b)：与行程时间预算概念相同。乐观计划行程时间(bsup)等于行程时间的α乐观值，悲观计划行程时间(binf)等于行程时间的β悲观值。
5) 计划行程时间指数(b0)：与预留时间指数类似，在计划行程时间基础上深化研究，用来消除平均时间差异的影响。分为乐观计划行程时间指数(
)和悲观计划行程时间指数(
)。计算方法如下：
6) 折衷值(h)：采用Hurwicz乐观系数准则求出的时间指标值，表示为
。
7) 折衷时间指数(h0)：折衷值与平均时间的比值可以消除不同道路差异的影响。计算方法为：
同一OD对比较时可采用绝对指标t0，s，b和h；但是对于不同OD对，就需要比较s0和b0这2个相对
指标；h0是一个综合指标，根据乐观系数的取值来确定。
4 算例分析
采用甘肃省兰州市安宁区路网简化图进行分析计算，如图1所示，有两横五纵共7条路径，路径属性如表1所示。
采用本文的可靠度指标方法进行分析计算，得到当α=β=0.95时的α乐观值和β悲观值，得到路径1和路径2的行程时间可靠度指标如表2所示。
表2所示为同一OD对的路径1和路径2，从t0，s，b (bsup和binf)和h可以看出路径2的指标值最小，所以选取可靠性较高的路径2出行。综合考虑当λ=0.7时，从表2 可知路径2的h0较小，选取路径2；当λ=0.3时，路径1的指标值h0较小，这时选择路径1。可见乐观系数对路径的选择还是有一定的影响的，出行者可以根据自己胆识、经验和对道路状况判断能力确定乐观系数。当λ=0.5时，由于α=β，折衷值等于平均时间。从表2也可以计算出平均时间等于其α乐观值与α悲观值的平均数，这个结论在假设服从正态分布时成立。
图1 兰州市安宁区道路网简化图
Fig. 1 Simplified road network of Anning district Lanzhou city
表1 路径属性
Table 1 Property of paths
表2 路径1和2的行程时间可靠度指标
Table 2 Travel time reliability indexes of path 1 and path 2
当α=β=0.95时，求出的路径4和路径7的行程时间可靠度指标如表3所示。
表3所示为不同OD对的2条路径，两者具有相同的预留时间s，不能判断其可靠性能。可从s0和b0(和)这2个相对指标来评判，可以得知路径4的指标相对较小，所以该路径较可靠。也可以综合考虑，当λ=0.7时，从表3 可知路径4的指标h0较小，认为其较可靠；当λ=0.3时，路径7的h0较小，可靠性高。所以乐观系数对不同OD对路径的可靠性有很大的影响。当λ=0.5时，折衷值等于平均时间。
当α=0.9，β=0.8时，求出的路径3，5和路径6的行程时间可靠度指标如表4所示。
表4所示为不同OD对的路径3，5和路径6，当α≠β时，从和可知路径5的值最小，但从指标看可得到路径3的值最小，从可得到路径5的值最小，从s0和b0这2个相对指标无法得到统一的结果，这时可采用综合指标h0。λ=0.7时，路径5较可靠；λ=0.3时，路径3较可靠。λ=0.5时，由于α＞β，折衷值大于平均时间，路径5的行程时间可靠性较高；若α=0.8，β=0.9时，即α＜β，则可以计算出路径3的折衷值等于1.92小于其平均时间。
路径预算时间均随着置信水平的增大也增大，具有相同的变化趋势。文中只画出路径1随着置信水平α变化的行程时间预算如图2所示。
从图2可知：置信水平越低，行程时间预算越小。路径1的行程时间窗为[6.97,11.59]。还可以看到置信水平α与3种风险态度的对应情况如下：
1) 1＞α＞0.5，风险规避型，出行者认为存在的风险对出行不利，所以会留出比平均时间多的时间以防止迟到。
2) α=0.5，风险中立型，行程时间预算等于平均时间9.28 min，出行者认为没有风险，自己的行程时间预算等于平均时间。
3) 0＜α＜0.5，风险趋向型，行程时间预算低于平均时间，出行者认为风险对出行有利，预算时间比平均时间还低。
表3 路径4和7的行程时间可靠度指标
Table 3 Travel time reliability indexes of path 4 and path 7
表4 路径3，5和6的行程时间可靠度指标
Table 4 Travel time reliability indexes of path 3, 5 and path 6
图2 行程时间预算随置信水平变化曲线
Fig. 2 Variation curve of travel time budget with confidence level
5 结论
1) 研究了收益函数和成本函数的乐观值和悲观值的概念及特征，发现其规律刚好相反。
2) 建立了行程时间预算的minimin 和minimax模型，并采用Hurwicz乐观系数准则进行了平衡折衷处理。
3) 提出了基于路径行程时间的α乐观值和β悲观值的可靠度指标。
4) 采用可靠度指标可以得到行程时间窗，预算不同风险态度的出行者的出行时间，还可以分别采用绝对指标、相对指标或综合指标确定最可靠路径。
5) 路径预算时间随着置信水平的增大也增大，也验证了置信水平与风险态度的关系。
6) 在路段行程时间服从正态分布假设下得到平均时间等于其α乐观值与α悲观值的平均数，在其他假设情况下该结论不一定成立。
7) 折衷值的乐观系数在实际应用时要根据具体决策者的态度以及对道路状况判断能力来确定。
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(编辑 杨幼平)
收稿日期：2014-04-28；修回日期：2014-06-18
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(71361018，71161016)(Projects (71361018, 71161016) supported by the National Natural Science Foundation of China)
通信作者：李小静，博士研究生，从事交通运输规划与管理研究；E-mail：xjingli990@163.com
