垂直线电源的电磁场

何继善，鲍力知

(中南大学 地球科学与信息物理学院，湖南 长沙，410083)

摘  要：在麦克斯韦方程组和电磁理论的基础上，借助分离变量法和Sommerfeld-Fourier 积分，通过将偶极源电磁场沿导线积分的方法，导出垂直线电源电磁场的解。给出几种不同地电条件下垂直线电源电磁场的理论表达式，包括均匀大地中深钻井内垂直电偶极、有限和无限长垂直线电源电磁场的理论表达式，以及无限深或有限深海水中垂直电偶极、线电源等情况下电磁场的理论表达式。这些表达式可以用于地面电磁法和海洋电磁法的理论计算，并通过某种特殊情况导出的结果证明了本文所推导的表达式的正确性。

关键词：垂直线电源；电磁场；电磁理论

中图分类号：P319.1⁺2          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2011)01-0130-06

EM field of vertical wire electric source and its practical meaning

HE Ji-shan, BAO Li-zhi

(School of Earth Sciences & Info-physics, Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract: Based on the Maxwell’s equations and electromagnetic (EM) theory, according to the method of separating variable and the Sommerfeld-Fourier integral and by means of integrating the dipole field along the wire, the solution of electromagnetic field generated by vertical wire electric source was derived. Theoretical formulations of electromagnetic field of vertical wire source in some different geoelectrical conditions were obtained. These cases include dipole source in the deeper drill in uniform half space, the vertical wire current source whose length is finite or infinite in uniform half space and the vertical dipole or wire current source in sea water whose depth is finite or infinite. These formulations can be used in theoretical calculation for ground and marine EM method. The correctness of the proposed theoretical formulations is examined by the results derived in a particular case.

Key words: vertical wire source; electromagnetic field; electromagnetic theory

随着经济的发展，人们对资源需求剧增，勘查深部和海底的资源已势在必行。利用深钻孔或者在海水中布置垂直线电源的电磁勘探装置应运而生^[1-2]。但是，垂直线电源电磁场分布的理论表达式尚未见文献报道，影响了使用该装置的陆地或海洋电磁法的推广应用；为此，本文作者从电磁理论和麦克斯韦方程组出发，借助分离变量法和Sommerfeld-Fourier 积分，通过将偶极源电磁场沿导线积分的方法，导出垂直线电源电磁场分布的理论解，给出均匀大地中深钻孔内的垂直电偶极源和有限或无限长线电流源电磁场的表达式，以及无限深或有限深海水中垂直电偶极、线电源等情况下电磁场的理论表达式。

1  均匀大地内深钻孔中垂直线电源的电磁场

设整个空间由2个均匀半空间构成：上半空间是空气，其电导率、导磁率和介电常数分别为σ₀，μ₀和ε₀；下半空间是大地，其电导率、导磁率和介电常数分别为σ₁，μ ₁和ε₁。2半空间以无限大平面S分界，如图1所示。

下半空间中有1个深度很大的垂直钻井，在钻井中深度为h处布置1对极距为dh的垂直供电偶极，其中供以的谐变电流(式中，ω为圆频率，t为时间，i为单位虚数)。取1个原点位于井口、z轴垂直向下与偶极矩同向、xOy平面与平面S重合的直角坐标系统(由于对称性，x和y轴如何指向并不重要)，以及1个原点、z轴与之相同的圆柱坐标系统(r，φ，z)，见图1(其中，j为电流密度)。

上述偶极源将在整个空间建立电磁场，此电磁场的分布服从麦克斯韦方程组。根据对称性，空间中的电流将以z轴为轴线呈对称状分布。在下半空间接近平面S的地方，电流受到上半空间空气的排斥，趋向于平行平面S流动。

图1  下半空间垂直钻井中的电流偶极子

Fig.1  Electrical dipole in deeper drill in underground half space

如下麦克斯韦方程组在图1所示的2个半空间中均成立^[3-4]：

             (1)

       (2)

              (3)

              (4)

其中：E_i和H_i分别为电场强度矢量和磁场强度矢量；和分别为电位移矢量和磁感应强度矢量；下标i=0或1代表介质的编号。麦克斯韦方程组写成上述形式，表示2个半空间介质的物理性质均不随空间位置而变化，符合前面关于2个半空间都是均匀介质的假设。

在电磁勘查使用的常见频率下，空气中位移电流占绝对优势^[4-5]，安培定律(2)中的右边第1项(传导项)可以忽略。注意到时间关系是谐变的，式(2)变为：

而当i=1时，介质(地下岩石)导电，其中传导电流占支配地位，安培定律(2)中的右边第2项(位移项)应当忽略，式(2)变为

为了兼顾介质0和1这2种不同介质的情形，把它们统一写作：

                (5)

但当i=0时，σ₀实际是指。

常见地下介质大多是非铁磁性的，可以认为，统一记作。

借助矢量位A求解麦克斯韦方程^[5-6]。设磁场H是某个矢量位A的旋度：

                  (6)

矢量位A与电场强度的关系为：

             (7)

式中：，是由罗伦兹条件引入的标量位。

经过推导，得到关于A_i的亥姆霍兹方程：

；i=0, 1           (8)

式中：，为介质i中的波数。

由于介质分布的对称性，此偶极源的电场只有E_r和E_z分量，磁场只有H_φ分量。

根据矢量位A_i选择的原则，本问题可以只用矢量位A的1个垂直分量A_zi解决^[5-6]。式(8)简化为：

              (9)

因为介质0和1中的亥姆霍兹方程具有相同的形式，其解法也相同，故这里略去表示介质编号的下标“i”。

同样，由于轴对称性，在圆柱坐标中，所求的场的分布与角φ无关，式(9)成为：

        (10)

利用分离变量法^[7-8]，将微分方程(9)分解为2个独立的常微分方程：

            (11)

       (12)

式中：λ为解微分方程引入的积分常数，。

方程(11)的解是指数函数和，贝塞尔方程(12)的解是0阶贝塞尔函数，因此，方程式(10)的解应含有和，表示为与的线性组合。上面对引入的常数λ未加任何限制，它的取值可以是从0→∞的任何值，故方程式(10)的全解应表示为如下汉克尔变换积分^[8-9]：

            (13)

式(13)类型的解在介质0和介质1中略有不同，分述如下。

在介质0(空气)中，为了满足观察点远离界面S时场处处有限的条件，应当取而舍去，且其中的u₀与介质性质有关，。如前所述，。

在介质1中，为了保证矢量位A_z1处处有限，则应当取而舍去(其中，)。并且考虑到在靠偶极源很近之处，界面S的影响可以忽略，场应当转化为均匀导电全空间中的场，所以，

          (14)

      (15)

式中：为介质1构成的均匀全空间中的矢量位；，为观察点到偶极源中心的距离；C₀和D₁分别为介质0和介质1中的积分常数。

利用如下Sommerfeld积分^[10]：

       (16)

可将式(14)写成汉克尔变换积分的形式^[11]：

       (17)

积分常数C₀和D₁需要利用界面S上如下的边界条件确定^{[3, 5, 12]}。

在S面上，z=0，

                  (18)

             (19)

将式(14)和(17)代入式(18)和(19)，得到确定C₀和D₁的一组边界方程：

            (20)

      (21)

式(20)中的σ₀实际上是，为书写简便，仍保留σ₀，而不写为。

从式(20)和(21)解出C₀和D₁：

          (22)

              (23)

令

              (24)

则式(22)简写成：

            (25)

于是，式(14)和(15)具体写为：

      (26)

  (27)

将式(26)和(27)分别代入式(6)和(7)，得到介质1中电磁场各分量的表达式：

  (28)

   (29)

   (30)

考虑到观察点大多布置在地面S上，z=0，式(28)~(30)简化为：

        (31)

         (32)

        (33)

容易看出：在大地与空气的分界面S上，电场、磁场的切向分量E_r和H_φ都连续，但法向分量E_z不连续，符合电磁场的一般规律，这也间接说明上面的推导正确。由于E_r和H_φ连续，在实际计算时，采用介质0或1的计算公式都可以。

自钻井中深度为h₁处垂直延伸到深度h₂的线电源，可以看成是一系列首尾相连的偶极子连接而成，表示为沿电源线从h₁到h₂的积分^[13-14]。这一积分为：

   (34)

所以，从h₁垂直延伸到h₂的线电源的场(仍设观察点位于地面)为：

    (35)

     (36)

    (37)

有一种极端的情况，可以用来验证上面解的正确性。那就是设一个供电极位于地表井口(h₁=0)，另一个电极位于很深很深的井底以致它在地面的作用可以忽略()。并且认为空气不导电，，供电的频率很低，，则场应当转变为直流点电源的场。验证如下。

在式(35)中，取，和，，有

          (38)

根据贝塞尔函数的微分公式^{[9, 11]}：

           (39)

并利用上面引用的Sommerfeld积分^[10]，式(38)可改写为：

           (40)

当，，式(40)变为，这样得到了地面直流点电源的场。

2  从海面垂直向下到海底的线电源的场

海洋电磁法中有一种利用垂直线电源的装置，称为MOSES(Magnetometric off-shore electrical sounding)装置，如图2所示(其中：I为电流；ρ₀为海水电阻率；ρ₁为海底电阻率)。

图2  海洋MOSES方法示意图

Fig.2  Sketch of marine MOSES

这种方法与陆地深钻孔中垂直线电源的方法类似。当海水很深，可以看成厚度无限大时，就构成了2个均匀导电半空间中垂直线电源的物理问题。与陆地深钻孔中垂直线电源不同的是，用导电的海水代替了不导电的空气。

用σ₀和σ₁分别表示海水和地下岩石的电导率，并认为二者的导磁率相近，，都接近于自由空间导磁率，且忽略其中的位移电流，当观察点位于海底z=0时，海水中长度为dh的垂直电偶极源的场表  示为：

        (41)

       (42)

         (43)

式中：h为偶极源到海底的距离；，为源的矩。坐标原点位于偶极源在海底的投影点。式(41)~ (43)的推导方法与前述地面深钻井中垂直偶极源的推导类似。但要指出的是，此时两半空间都是导电的，其中：

，，i=0或1。

对于从高度h₁直垂到h₂的电源线，只需将P₀中的dh作为积分变量，对h积分即可。

     (44)

    (45)

     (46)

特别地，当海水很深，其厚度可以看成无穷大时，可取h₂=0，h₁→∞。

3  海水厚度有限时垂直线电源的场

实际中往往海水较浅，其上空气的影响不可忽略，这时，整个空间可以看成是由3种电性不同的介质所占据，如图3所示。不妨将这种情形称为空气—海水—大地三分问题。图3中：σ₁为空气电导率；σ₂为海水电导率；σ₃为大地电导率；P为电源的矩；dL为电极长度；d为界面S₁(海面)和S­₂(海底)之间的距离；H为电偶极到海面S₁的距离；h为电偶极到海底面S₂之间的距离。

图3  海水中的垂直电偶极源的空气—海水—大地三分问题模型

Fig.3  Geoelectrical model consisted of air, sea water and earth and vertical dipole source hanged below under water surface

略去与前面类似的推导步骤，直接写出观察点位于海底时3种不同介质中垂直电偶极源电磁场的解：

  (47)

  (48)

   (49)

式中：

 ；；        (50)

         (51)

     (52)

，为海水的厚度。

           (53)

对于从海面直垂到海底的线电流源电磁场的计算，只需将式(47)~(49)从0到d对h积分即可。

4  结论

(1) 当沿深钻井从h₁到h₂垂直布置线电源时，可以用式(35)~(37)计算电磁场的正演分布。若在式中取ω=0，还可以得到相应的直流线电源的场；若取h₂→∞，则可以得到相应的点电源的场。

(2) 当进行海洋MOSES装置勘查时，沿垂直方向在海水中布置线电源，若海水深度非常大，以致海面以上空气的影响可以忽略，则可采用式(44)~(46)求得电磁场。

(3) 当海水厚度不很大，需要考虑空气的影响时，则宜用式(47)~(49)对h积分，求得电磁场的分布。

(4) 在大洋深部钻探中，还有一种沿海底深钻井垂直布放线电源的做法，即把本文导出的深钻孔和厚海水2种情况结合起来，便得到问题的解。

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(编辑 陈灿华)

收稿日期：2010-10-15；修回日期：2010-11-11

基金项目：国家自然科学基金专项基金资助项目(40827002)

通信作者：何继善(1934-)，男，湖南浏阳人，教授，博士生导师，中国工程院院士，从事地电场理论及观测系统研究；电话：0731-88877075；E-mail: hejishan@mail.csu.edu.cn