DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.04.033

基于广义位势理论的岩土塑性应变增量方向非唯一性问题

温勇^{1, 2, 3}，杨光华^1,2,3，傅旭东¹，钟志辉¹，姚捷⁴

(1. 武汉大学 土木建筑工程学院，湖北 武汉，430072；

2. 广东省水利水电科学研究院，广东 广州，510610；

3. 广东省岩土工程技术研究中心，广东 广州，510610；

4. 中铁第四勘察设计院集团有限公司，湖北 武汉，430063)

摘要：基于广义位势理论提出的考虑拟弹性的弹塑性模型(拟弹性弹塑性模型)把总的塑性应变分解为满足弹性分解准则的拟弹性部分和符合传统塑性理论假设的纯塑性部分，这样分解后建立的模型更为合理和简便，同时又可以解决岩土塑性应变增量方向非唯一性的问题。研究结果表明：基于广义位势理论的拟弹性弹塑性模型的模拟效果较好，传统的弹塑性模型只能反映塑性应变增量方向的唯一性，而拟弹性弹塑性模型则能够同时反映塑性应变增量方向的唯一性(高应力水平时)和非唯一性(低应力水平时)，结果更符合实际，从而为解决塑性应变增量方向非唯一性问题提供了一种有效的方法。

关键词：广义位势理论；塑性应变增量方向；非唯一性；拟弹性弹塑性模型

中图分类号：TU452             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2015)04-1428-08

Problem on non-uniqueness of direction of plastic strain increment of geomaterials based on generalized potential theory

WEN Yong^{1, 2, 3}, YANG Guanghua^1,2,3, FU Xudong¹, ZHONG Zhihui¹, YAO Jie⁴

(1. School of Civil and Architectural Engineering, Wuhan University, Wuhan 430072, China;

2. Guangdong Research Institute of Water Resources and Hydropower, Guangzhou 510610, China;

3. Geotechnical Engineering Technology Center of Guangdong Province, Guangzhou 510610, China;

4. China Railway Siyuan Survey and Design Group Co. Ltd., Wuhan 430063, China)

Abstract: An elastic-plastic model considering quasi-elastic deformation (quasi-elastic-plastic model) was proposed based on the generalized potential theory, of which the traditional plastic strain increment was decomposed into quasi-elastic part and pure-plastic part. The quasi-elastic part obeys elastic rule and the pure-plastic part obeys the traditional plasticity theory. The proposed model is more reasonable and convenient, and it can solve the problem of non-uniqueness of the direction of plastic strain increment of geomaterials. The results of test validation show that the simulation effect of the quasi-elastic-plastic model based on the generalized potential theory is good. The traditional elasto-plastic model can only reflect the uniqueness of the direction of plastic strain increment, while the quasi-elastic-plastic model can reflect the uniqueness (in high stress level) and the non-uniqueness (in low stress level) of the direction of plastic strain increment simultaneously. It proves that the quasi-elastic-plastic model based on the generalized potential theory conforms to reality better than the traditional elasto-plastic model and it provides an effective method for the study on the problem of non-uniqueness of the direction of plastic strain increment.

Key words: generalized potential theory; direction of plastic strain increment; non-uniqueness; quasi-elastic-plastic model

在传统的塑性势理论中，塑性应变增量方向被假定为具有唯一性，即与应力增量无关，这一假设对于金属材料的试验结果是符合的。但对于岩土材料，已有的研究表明^[1-3]，其塑性应变增量的方向不仅与应力状态有关，还与应力增量相关。更多的试验研究则认为^[4-6]，在应力水平较低时，塑性应变增量方向与应力增量方向相关，而当应力水平较高时，则近似认为与应力增量方向无关或相关性较小。因此，传统的塑性势理论只能用于表达塑性应变增量方向具有唯一性的情况，而现实的岩土材料暂且不说不同的土类，即使是同一种土，在不同的应力水平下，塑性应变增量方向都可能存在唯一性的情况(高应力水平时)和非唯一性的情况(低应力水平时)。因此，更合理的理论应该是不论塑性应变增量方向是否唯一，都能够表述。杨光华等^{[3, 7-10]}直接从数学原理出发，建立了土的本构模型的广义位势理论，其特点是数学原理明确，物理假设少，未涉及传统的塑性势假设和Drucker塑性公设等，从而为研究岩土本构模型提供了更为广阔的理论基础。为了解决传统理论对塑性应变增量方向描述的不足，基于广义位势理论提出考虑拟弹性变形的土体弹塑性本构模型，其主要思想是把总的塑性应变分解为满足弹性分解准则的拟弹性部分和符合传统塑性理论假设的纯塑性部分；通过试验对该模型模拟塑性应变增量方向非唯一性的效果进行检验，力求为解决塑性应变增量方向非唯一性问题提供一个更好的模型。

1  传统位势理论的数学实质及其塑性应变增量方向唯一性假设

为清楚地了解传统塑性位势理论的数学实质，可从一般的情况作探讨，设主空间上塑性应变增量与应力增量的一般关系为

          (1)

式中：a_ij为应力总量σ_i或应变总量ε_i或应力路径等的函数。

文献[11]已对[A]的特性从数学上进行了探讨，当[A]的秩为1时，则从数学矢量场理论可知，[A]只有1个基向量，且存在1个三维矢量(α₁  α₂  α₃)和3个系数β₁，β₂，β₃，[A]可以表示为

       (2)

将式(2)代入式(1)有：

          (3)

其中：。

由式(3)可知：

         (4)

由于β_i(i=1，2，3)为σ_i或ε_i的函数，则式(4)表示塑性应变增量的方向与dσ_i无关，即塑性应变增量方向的唯一性假设。这一假设从数学上来看：则相当于假定了矩阵[A]的秩为1，然而材料本构关系矩阵[A]的秩是否为1，应取决于材料本身的力学特性，而不能人为假定。

若从p-q平面上分析，忽略Lode角和应力主轴旋转等影响，塑性应变增量与应力增量的关系可表示为

             (5)

式中：A，B，C和D为塑性系数；p和q分别为平均主应力和广义剪应力；和分别为塑性体应变和塑性剪应变。

根据前面分析可知，则塑性应变增量方向具有唯一性的数学条件为^[3]

               (6)

对于金属材料，A=0，B=0，C=0，满足式(6)；但对于土体材料^[12]，例如硬化剪缩土，A＞0，C＜0， B＞0 ，D＞0，则AD-BC＞0，即不满足塑性应变增量方向具有唯一性的数学条件。因此，从数学角度来看，塑性应变增量要严格满足方向唯一性是困难的，沈珠江^[12]较早也对塑性应变增量方向具有唯一性的假设提出了疑问。

2  基于广义位势理论的岩土塑性应变增量方向非唯一性问题的研究

2.1  广义位势理论

广义位势理论把材料本构模型的研究分为2个主要方面^[3]。以应力空间为例，一是主空间上的本构方程：

          (7)

二是由主空间到一般坐标空间的数学变换，可采用广义位势理论的方法，当假设的主方向与σ_i的主方向相同时，则有：

             (8)

把式(7)的3个主塑性应变增量(i=1，2，3)看作为应力空间上一个矢量的3个分量，则可用3个线性无关的势函数φ_i(i=1，2，3)的梯度矢量来表述，则有：

              (9)

将式(9)代入式(8)，可得：

           　(10)

当在应力空间可以用单一势函数的梯度矢量表达时，此时相当于式(7)中的矩阵秩为1，且矢量的旋度为0，则：

              (11)

同理，当的主方向与σ_i的主方向相同时，将式(11)代入式(8)，可得：

              (12)

式(12)即为传统的塑性位势理论的公式。可以看出，传统的塑性位势理论只是广义位势理论的一个特例。

2.2  基于广义位势理论的拟弹性弹塑性模型

由以上分析可知：广义位势理论数学原理明确，物理假设少，未涉及传统的塑性势假设和Drucker塑性公设等，从而为研究岩土本构模型提供了更为广阔的理论基础。针对传统塑性位势理论对塑性应变增量方向描述的不足，基于广义位势理论提出考虑拟弹性变形的土体弹塑性本构模型(即拟弹性弹塑性模型)，其主要思想是把总的塑性应变分解为满足弹性分解准则的拟弹性部分和符合传统塑性理论假设的纯塑性部分。这样使符合弹性应变的矩阵增大，改善了弹塑性矩阵的性质，同时也符合内在的力学机理，因而是一个较好的处理方法^[13-14]。

按照这一方法，若从p-q平面上分析，塑性应变增量与应力增量的关系式可由式(5)变为：

         (13)

式中：A_pe和D_pe拟弹性参数；A_pp，B，C和D_pp为纯塑性系数。

拟弹性塑性应变部分假设符合广义虎克定律：

              (14)

纯塑性应变部分则为

   (15)

纯塑性系数A_pp，B，C和D_pp满足塑性应变增量方向唯一性的数学条件式(6)。

以式(13)~(15)中的塑性系数A，B，C和D没有进行任何假设，完全依据材料的客观试验结果通过拟合而得到。为了方便计算，也可以假设塑性系数A，B，C和D满足关联流动法则，但此时模型并不完全符合土的变形特性，这时可以把关联流动法则下的计算结果和试验值之间的差值部分归并为拟弹性塑性部分进行修正，并根据差值部分确定A_pe和D_pe，此时塑性应变增量与应力增量的关系式可表示为

         (16)

式(16)中的塑性系数A，B，C和D满足关联流动法则，可由邓肯张模型中的切线模量E_t和切线泊松比μ_t来表示^[3]；也可以由类剑桥模型中的各向等压固结压缩指数λ、回弹指数κ及破坏常数M来表示，例如，对于正常固结黏土，可表示为^[15]

        (17)

式中：β=(M-η)/η，n一般情况下可取为1，也可通过常规三轴压缩试验确定n。

对于砂土或超固结黏土，姚仰平等^[16]通过修改剑桥模型的硬化参数来反映剪胀，即在剑桥模型计算出的塑性应变基础上乘以进行修正(M_d为特征状态应力比，对于正常固结黏土， M=M_d)。基于此方法，为了使类剑桥模型能够反映砂土等材料的剪胀性，引入特征状态应力比M_d参数，此时塑性系数A，B，C和D可表示为^[17]

         (18)

式中：；。

这样，由E_t和μ_t或λ，κ，M和M_d即可求得4个满足传统弹塑性理论的塑性系数A，B，C和D，即传统的弹塑性关联模型，再根据前面的“拟弹性分解”思想，从而得到相应的拟弹性弹塑性模型。

3  试验验证

本文共进行2个试验验证，首先将基于广义位势理论的拟弹性弹塑性模型、传统的弹塑性理论模型与试验结果进行对比，以验证拟弹性弹塑性模型的合理性；在此基础上，利用拟弹性弹塑性模型对塑性应变增量方向进行模拟，检验其反映塑性应变增量方向非唯一性的效果。

3.1  拟弹性弹塑性模型的合理性验证

为了验证拟弹性弹塑性模型的合理性，采用文献[18]给出的砂土试验结果进行验证。选取类剑桥模型代表传统的弹塑性理论模型，模型参数如表1所示。

试验首先等向固结到196 kPa，然后进行常规三轴压缩试验。利用类剑桥模型对试验结果进行预测，计算结果与试验结果对比如图1所示。

由图1可知：类剑桥模型可以反映砂土的剪胀性，但体应变计算的后半段还有一点差距，根据2.2节的分析可知，此时可以考虑把类剑桥模型的计算结果和试验值之间的差值部分归并为拟弹性塑性部分进行修正，得到相应的拟弹性弹塑性模型，其计算结果与试验结果的对比如图2所示。

由图2可知：通过增加拟弹性部分进行修正后的模型(即拟弹性弹塑性模型)计算结果与试验结果吻合较好，拟合效果得到了一定的改进，从而在一定程度上说明了拟弹性弹塑性模型的合理性。

表1  模型参数

Table 1  Model parameters

图1  类剑桥模型计算结果与试验结果比较(σ₃=196 kPa)

Fig. 1  Comparison of calculation results of similar Cam-clay model and test results(σ₃=196 kPa)

图2  拟弹性弹塑性模型计算结果与试验结果比较(σ₃=196 kPa)

Fig. 2  Comparison of calculation results of quasi-elastic elastic-plastic model and test results(σ₃=196 kPa)

3.2  利用拟弹性弹塑性模型反映塑性应变增量方向非唯一性

进一步对拟弹性弹塑性模型模拟塑性应变增量方向非唯一性的效果进行检验。采用文献[19-20]给出的上海重塑软土试验结果，试验首先等向固结到196 kPa，然后进行常规三轴压缩试验。同样选取类剑桥模型作为传统的弹塑性理论模型，模型参数如表2所示。同理，按2.2节提出的方法，对类剑桥模型增加拟弹性部分进行修正，得到拟弹性弹塑性模型，修正后的模型计算结果与试验数据对比如图3所示。由图3可知：拟弹性弹塑性模型计算结果与试验结果吻合较好。

表2  模型参数

Table 2  Model parameters

图3  拟弹性弹塑性模型计算结果与试验结果对比(σ₃=80 kPa)

Fig. 3  Comparison of calculation results of quasi-elastic elastic-plastic model and test results(σ₃=80 kPa)

为了进一步检验模型在反映塑性应变增量方向非唯一性上的效果，在应力路径上选取几个不同的应力水平点，如图4和表3所示。对于同一应力点，假定施加的应力增量大小相同，而应力增量方向则不同(如图5所示)，各应力增量方向的角度分别为0°，45°，90°，112.5°和135°(逆时针方向)。

分别利用类剑桥模型(传统模型)和拟弹性弹塑性模型对其塑性应变增量方向进行模拟，结果如图6和图7所示。由图6和图7可知：采用类剑桥模型(传统模型)模拟的塑性应变增量方向表现为唯一性，而拟弹性弹塑性模型则能够反映不同应力增量方向下塑性应变增量方向的变化，即非唯一性。拟弹性弹塑性模型的模拟结果还表明，当应力水平较高时(如C点)，塑性应变增量方向近似表现为唯一性，即与应力增量方向无关；当应力水平较低时(如A点和B点)，塑性应变增量方向表现为非唯一性，即与应力增量方向有关，这与文献[1,4-6]的试验结果一致，这表明拟弹性弹塑性模型能够反映唯一性(高应力水平时)和非唯一性(低应力水平时)这一认可的力学特性，更符合实际。

图4  不同应力水平点在应力路径上的位置(σ₃=80 kPa)

Fig. 4  Location of different stress level points on stress path (σ₃=80 kPa)

图5  应力增量方向示意图

Fig. 5  Schematic diagram of directions of stress increment

表3  用于计算塑性应变增量方向的不同应力水平点

Table 3  Stress level points for calculation of direction of plastic strain increment

图6  不同应力增量方向下的塑性应变增量方向(类剑桥模型)

Fig. 6  Direction of plastic strain increment under different directions of stress increment(similar Cam-clay model)

图7  不同应力增量方向下的塑性应变增量方向(拟弹性弹塑性模型)

Fig. 7  Direction of plastic strain increment under different directions of stress increment(quasi-elastic elastic-plastic model)

4  结论

1) 基于广义位势理论基础上提出的考虑拟弹性的弹塑性模型，把总的塑性应变分解为满足弹性分解准则的拟弹性部分和符合传统塑性理论假设的纯塑性部分，为解决塑性应变增量方向非唯一性问题提供了一种有效的方法。

2) 通过试验验证表明，基于广义位势理论的拟弹性弹塑性模型的模拟效果良好，传统的弹塑性模型只能反映塑性应变增量方向的唯一性，而拟弹性弹塑性模型则能够同时反映塑性应变增量方向的唯一性(高应力水平)和非唯一性(低应力水平)，结果更符合实际。

3) 针对传统理论的局限性，本文利用广义位势理论探索了一种新的表达途径，取得了一定的效果，但由于岩土材料力学特性的复杂性，尚有一些问题需进一步深入研究。

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(编辑  杨幼平)

收稿日期：2014-04-13；修回日期：2014-06-16

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51378131, 51378403, 51174093)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(2012210020203)(Projects (51378131, 51378403, 51174093) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (2012210020203) supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities)

通信作者：温勇，博士后，从事土的本构理论研究；E-mail：wy876633@163.com