基于局部递归率分析的振动信号非平稳评价

杨栋，任伟新，李丹，胡异丁

(中南大学 土木工程学院，湖南 长沙，410075)

摘要：针对土木工程结构环境振动信号非平稳程度评价的问题，提出一种新的基于递归量化分析的评价环境振动信号非平稳程度指标。首先，研究递归图中反映信号非平稳特征的模式，根据递归量化分析中已有的信号非平稳程度评价指标即递归趋势应用于土木工程结构环境振动信号时的不足，将质量损失函数理论引入递归量化分析，分析递归图中局部递归率的变化情况，并以最小局部递归率为基准，提出一个新的衡量信号非平稳程度的指标——递归损失量；然后，以几种典型的非平稳信号为例，分别计算2种非平稳评价指标并进行对比分析，讨论其差异及各自不同的适用条件；最后，将指标用于桥梁结构环境振动信号的非平稳程度评价。计算结果表明：提出的递归损失量比递归趋势更能适应环境振动信号的特点，能够对环境振动信号的非平稳程度进行更客观的评价。

关键词：非平稳程度；递归图；递归量化分析；质量损失函数；环境振动信号

中图分类号：TN911.6          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2013)07-3024-09

Local recurrence rate analysis based non-stationarity measurement for operational vibration signal

YANG Dong, REN Weixin, LI Dan, HU Yiding

(School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)

Abstract: According to non-stationary assessment for operational vibration signals, a novel index was proposed based on the recurrence quantification analysis. The non-stationarity patterns in the recurrence plots were studied. To fill up the deficiency of recurrence trend, which was the commonly used non-stationarity measurement in the recurrence plot and was not suitable for assessing non-stationarity of structural operational vibration signals, the variation of local recurrence density was discussed, the minimal local recurrence density was used as a reference, and then a new non-stationarity measurement named recurrence loss value was proposed in which the quality loss function theory was introduced. Some typical non-stationary signals were used to validate it. Comparison of recurrence trend and recurrence loss value was made, and the result illustrates their differences and similarities. For reinforcing proposed measurement, the measurements were used for operational vibration signals. The results show that recurrence loss value has a good applicability for operational vibration signals.

Key words: degree of non-stationarity; recurrence plot; recurrence quantification analysis; quality loss function; operational vibration signal

桥梁健康监测是一门横跨多门学科的综合性技术，对监测数据的处理是整个健康监测系统中非常重要的一步。由于环境激励的复杂性以及结构可能存在非线性特征，响应信号必然会表现出或强或弱的非线性特征以及非平稳特征。在结构健康监测系统中基于实测振动信号的结构参数识别方法和健康诊断方法大都事先假定信号是平稳的，即基于平稳信号的分析和特征提取^[1]，与实测信号的特性存在一定的差异。因此，针对各种监测信号自身及应用中面临的不同问题寻求有效的分析处理方法，仍然是健康监测中动态信号处理面临的一个难题，同时也是制约结构健康监测的应用进一步向广度和深度拓展的关键问题之一。目前，已有的非平稳信号分析方法如小波分析^[2]等是基于已知信号非平稳时的分析方法。鉴于实测振动信号非平稳性是选用分析方法的前提，在对实测振动信号进行分析处理之前，有必要对实测响应信号的非平稳性和非平稳程度进行评价。近年来，国际上对非平稳特性的评价主要是基于时间序列分析方法。平稳性评价最早出现在计量经济学领域，Phillips等^[3]用单位根来检验经济数据的平稳性；Bendat等^[4]对阵风速度数据的平稳性问题进行研究，并用均方值轮次数来检验其平稳性；Pan等^[5]用轮次法对Henry Hundson大桥的实桥工作状态下环境振动试验数据进行平稳性检验。陈隽等^[6]对香港青马大桥的环境振动响应数据进行平稳性检验，并对非平稳信号处理方法进行了探讨。但是，这些方法都有一个共同的缺点，即只能进行定性分析，没有对所涉及信号的非平稳程度进行有效评价。为此，本文作者试图采用递归图(RP)^[7-8]及递归量化分析算法(RQA)^[9-11]研究环境振动信号的非平稳特性；并引入质量损失函数理论^[12]，根据递归图中局部递归率的统计特性，提出一种新的信号非平稳程度评价指标。用数值模拟信号及桥梁结构的实测振动信号说明该评价指标的适用范围，表明所提出的非平稳评价指标可有效评价信号平稳程度。

1  递归图

递归性是很多动力学系统的一个基本特性，可用来在相空间中刻画系统的动力学行为。而递归图是用来分析和显示系统递归特性的一个重要工具，考虑1个信号(系统)回到特定动力学状态的相关频率。因此，它可以看成一个全局的、概率的自相关函数。也就是说，递归图描述1个信号(系统)在所有可能的时间尺度上的自相关特征。递归图的思想最早是由Eckmann等提出^[7]，其目的就是运用图形方法来测定动力系统的时间平稳性。

递归图是一个由黑点和和白点以及2条时间轴组成的二维图形，其白点表示远离，黑点表示逼近。递归图的表示方法如下：

    (1)

其中：R_ij是一个N×N的方阵；N为状态向量X_i的个数；阈值表示预先设定的临界距离；表示范数，表示Heaviside函数，，。递归图的物理意义可表述如下：设一维的时间序列(信号){x(t_i), i=1, 2, …, n}在状态空间中的轨迹为，检查其中每一点X_i是否与另一点X_j靠近，也就是看这2点之间的距离是否小于某一个设定的阈值。当2点之间的距离小于阈值时，说明这2点是递归的，用黑点表示；当距离大于阈值时，说明这2点是不递归的，用白点表示。按照上述原则即可将矩阵R_ij一一对应的刻画到一个二维的图形上，用于探讨信号的递归特征。

对于实际观测到的时间序列,可通过如下方法构造M个m维向量：，其中，m为嵌入维数，为延迟时间，只能为采样间隔的整数倍。X_i为m维嵌入空间中的一个相点，代表系统在时刻i的状态。

递归图最初的目的就是对高维相空间中的轨迹进行可视化、直观化的分析。递归图对相空间中系统的轨迹随时间演化的规律非常敏感，因为图中的一些典型的模式是与系统的固有特性直接相关联的。递归图的优点在于其能够用于有限长度的非平稳信号分析。图1所示为混沌信号的递归图。

图1  Lorenz信号的递归图

Fig.1  RP of Lorenz signal

递归图中有宏观和微观2种基本的模式^[10]。宏观模式提供信号的整体特征，可分为均匀模式、周期模式、漂移模式以及突变模式等几种模式。漂移模式和突变模式2种模式代表信号的非平稳特性，前者表示信号中包含某种缓慢的、渐进的变化，后者则表示信号中有激烈的变化。

漂移模式：时变系统往往容易产生这类信号，因为其参数随着时间慢慢变化。这种缓慢的参数变化，造成递归图某2个角更加明亮(表现为白色区域)。

突变模式：振动系统产生激烈的变化以及突然的激励等问题会使递归图中出现大片白色区域或者带状白色条纹。

综上所述，递归图是一种方便且直观的信号定性分析方法。根据递归图中递归点的分布情况即可直观地辨别信号自身的一些复杂的特性，如平稳性、信噪比高低、周期性等。

虽然通过递归图可以直观地对信号特征进行定性分析，但这需要研究者具有一定经验，对递归图中各种模式比较熟悉，另外，有些模式对于随机信号有可能不如确定性信号那么明显。因此，对递归图上模式的定量化分析为基于递归图的信号(系统)特性分析提供一个更加客观、可行的方法。有了这些量化指标，递归图受到越来越多的研究者们的青睐，这个方法也被用到更多的领域中进行信号分析和处理。

2  信号中非平稳特征的定量分析

Zbilut等^[10]通过测定递归图中基本图形点和线段的分布，发展一套量化递归图的方法，称为递归量化分析(RQA)，主要包括5种量化参数：递归率、确定性、最长对角线、熵和趋势。为从递归图中得到更丰富的信息，Marwan等^[13-15]补充了对角线长度均值、分歧度等量化参数。

不同的RQA指标描述信号(系统)不同的动力学行为，递归度计算递归图中黑点的比例，反映相空间内向量点递归频率，即轨迹在相空间内的聚集程度；确定性描述轨迹周期递归的程度，其值越大，表明确定性越强；熵反映递归图中对角线长度分布的复杂性；层状度、最长竖直/水平线段长度和竖直/水平线段长度均值反映了信号变化相对快慢的程度，从另一个角度反应系统的稳定性。

在递归量化分析指标中，递归趋势(M_RT)是一个主要用来反映信号非平稳程度的指标^[14]，反映递归图上沿着主对角线的区域递归率的变化速率。其表达公式如下：

          (2)

其中：为将递归图按平行于45°主对角线平均分成部分后的第部分的递归率；为序列的均值。M_RT本质上是局部递归率序列关于的线性回归斜率，能够反映所分析信号的非平稳特性。的选择主要看所分析的信号，一般来说，＞10就能够很好地克服噪声的影响。对于一个信号的递归趋势，斜率较小揭示信号的强平稳性，较大的斜率则表明信号的非平稳特性较大。而递归趋势本质上是用各个局部递归率拟合直线的斜率，对信号中随时间逐步变化的趋势较敏感。因此，这个指标特别适合于递归图中存在着漂移模式的信号，其对于这类信号的非平稳程度能够做出很客观的评价。在这方面，Yan等^[16]将递归趋势用于语音信号中的非平稳性评价，并取得较好的效果。

土木工程中振动信号的非平稳特性是非常复杂的，在这类信号的递归图中很可能不仅仅包含漂移这一种模式，在很多情况下其递归图包含漂移和突变2种模式。对于这种信号，递归趋势将不能很客观的体现出信号的非平稳程度，如图2中2组实测桥梁环境振动信号的递归图、局部递归率变化趋势及表1中的M_RT计算结果所示。

图2(a)和(b)所示为2组信号是在桥梁跨中同一位置在相似的时间段和相似环境下采集到的环境振动信号。由图2(a)和(b)所示的时域波形以及图2(c)和(d)所示的递归图上可以看出2个信号非常相似，递归图上的突变模式也很明显，并且对其进行递归趋势计算(计算结果如表1所示)和分析的过程中却发现两者局部递归率的变化趋势也比较相似(图2(e))，但最终的M_RT差距却非常明显。由此可见：递归趋势对于这种类型的信号还是会存在一定的误判，无法客观评价信号的特征。对于种情况，本文作者根据非平稳信号递归图的一些固有模式，提出一个新的信号非平稳程度的指标。

鉴于非平稳信号在递归图中会出现白色区域或宽带，这也就意味着递归图中沿着45°主对角线的不同部位的递归率是不一样的；反之，对于完全平稳的信号，45°主对角线上各个部位的递归率是一致的，也就是说平稳信号的递归点是均匀分布在整个图上的。根据质量损失函数^[13]，定义(其中，为第部分的递归率，R_min是中最小的值)。中任何对R_min偏离都被当做不希望发生的平稳特性损失，即当平稳特性位于目标值时，平稳特性损失为0；只要偏离目标值，就会造成损失，偏离越远，损失越大。

为近似地描述质量特性偏离目标值造成的质量损失，Taguchi提出质量损失函数^[13]，即

                (3)

   (4)

其中：Y为信号的特性；K为用于近似表示实际质量损失的损失系数；和分别为Y的均值和方差。为选择系数K，使损失函数对所采用的单位不敏感，Artiles-leon^[17]认为若能够建立质量特性与设计变量之间的关系，目标值在规格线的中心，则当质量特性位于上规格线(L_U)或者下规格线(L_L)时，其质量损失可以假定为单位损失，即损失为1。 则由式(3)可得到损失系数：

             (5)

由此，可得到“标准化”的质量损失函数：

             (6)

对式(6)做对数处理，即可通过上述损失函数得到递归图中，非平稳特征的评价指标——递归损失量(M_RLV)：

    (7)

由式(7)可知，M_RLV越大，质量损失越小，而质量损失是由递归图中的局部递归率波动而造成。这也就意味着，M_RLV越大，局部递归率波动越小，平稳性也就越好。这也说明在递归图上采用M_RLV作为非平稳的评价指标是合适的。

图2  环境振动信号的量化递归分析

Fig.2  Recurrence quantification analysis of operational vibration signals

表1  环境振动信号的递归趋势值

Table 1  Recurrence trend of operational vibration signals

3  数值模拟及实测验证

为验证上述新提出的非平稳程度评价指标的有效性和适用性，通过对线性调频信号以及实测的桥梁环境振动信号的分析来进行解释和说明：

3.1  线性调频信号

线性调频信号是一种典型的非平稳信号，被广泛应用于雷达、声纳以及通信等领域。不同参数的线性调频信号非平稳程度肯定是有所区别的，所以线性调频信号是一个非常适合用于非平稳程度验证的数值信号。图3中是由函数选取不同K系数生成的3组线性调频信号，其中LFM-A的K为0.06，LFM-B的K为0.10,而LFM-C的K为0.50。

从图3(d)~(f)可见：3组信号具有相似的性质，其递归模式中均无一例外地出现漂移模式，说明这几个信号均是非平稳的，且它们的非平稳特征也一样。但这3个信号的漂移模式有所区别：LFM-A的变化比较剧烈，LFM-B的变化次之，而LFM-C的变化则是最不明显的。这就意味着3组信号的非平稳程度不一样，具体的定量分析需要靠量化递归分析来完成。图3(g)是局部递归率分析的结果，通过递归趋势线就能够看出三者之间的差别跟递归图是吻合的，这说明可以通过局部递归率的变化情况来分析信号的非平稳特征。

表2所示为这3个信号的递归趋势以及M_RLV的计算结果对比。

与分析递归图得出的结论相同，从计算结果可以看出：2种指标都显示3组线性调频信号具有非平稳的特性，但非平稳程度有所区别：LFM-A非平稳程度最高，LFM-B次之，LFM-C非平稳程度最低。对于线性调频信号。2种非平稳程度评价指标所得到的结果非常统一，这说明对这类非平稳特征，2种指标都能准确判断信号的非平稳程度。

3.2  实测桥梁环境振动信号

图4(a)所示为几个时程信号是在同一座桥的桥面上，在相近的时间段、同一个传感器上截取的实测的环境振动信号。从它们的递归图(见图4(b))可见：这几个信号的递归模式是非常接近的，说明它们有很相似的特性：3个信号都有很明显的突变模式，且信号a的递归图上还有漂移模式出现，这说明3个信号都是非平稳的。图4(c)是这3个信号的局部递归率变化及递归趋势图。从局部递归率的变化情况来看，3组信号中有2组非平稳的程度相似，而另外1组差别稍大。表3所示则是这3个信号的递归趋势以及M_RLV的计算结果对比。从计算结果来看：信号a具有一定的非平稳特性；信号b几乎是平稳的；信号c则具有很强的非平稳性。但递归趋势的计算结果与几组信号递归图上所表现出来的模式有很大的差别，而且根据图 4(c)所示的局部递归率变化程度，虽然实测信号b的局部递归率变化没有明显的趋势，但其波动程度相对较大，根据递归图基本理论，这个现象也表明信号非平稳程度应较高，但它的递归趋势值却比较小，只有0.078。这再一次说明递归趋势只适合某些特定的、存在明显变化趋势的信号。而从M_RLV的计算结果来看，3组信号都有较强非平稳特征，其中信号a的稍弱，而信号b和信号c则相对较强且二者几乎处于同一水平。这个结论与递归图上表现的结果比较符合，说明M_RLV能够较好的量化递归模式，对环境振动信号的非平稳程度进行量化评价。

表2  线性调频信号的递归量化分析指标对比

Table 2  Comparison of RQA measurements for linear FM signals

图3  线性调频信号的量化递归分析

Fig.3  Recurrence quantification analysis of linear FM signals

图4  实测信号的量化递归分析

Fig.4  Recurrence quantification analysis of measurement signals

表3  实测信号的递归量化分析指标对比

Table 3  Comparison of RQA measurements for measurement signals

综上所述，上面2种不同类型的信号非平稳程度评价结果能够很好地体现出本文所提出的M_RLV的有效性：对于具有明显变化趋势的信号M_RLV能够对其非平稳程度做出比较准确的评价，如线性调频信号，M_RT值和M_RLV的变化较吻合，LFM-A，LFM-B和LFM-C 3个信号的递归趋势逐个接近于0，这表明他们的非平稳性是依次减小的，它们的M_RLV也能够得出同样的结论，而且M_RLV变化的程度也非常接近于递归趋势。与此同时，对实测的环境振动信号，这类相对复杂，非平稳不是由某一种固定的原因所造成的信号，M_RLV则较递归趋势表现出比较好的适用性，其结果也能够与递归图上表现的模式以及局部递归率的变化情况相吻合。

4  结论

(1) 采用递归图和递归量化分析进行信号非平稳性评价，在现有递归量化分析指标的基础上，提出了一个新的非平稳特征指标M_RLV，并将其与常用的体现非平稳特征的指标——递归趋势进行对比。这2个指标都是在递归图上采用图形和统计的方法描述信号的非平稳特征，从而区分不同信号的非平稳程度。算例说明传统的递归趋势只适合于某类特殊的、具有明显变化趋势的信号。而M_RLV则更加适合于递归图上有干扰的信号，且对具有明显变化趋势的信号同样也有辨别能力。

(2) 将M_RLV应用于结构振动信号的非平稳程度描述，对3组环境振动信号的M_RLV和递归趋势进行分析、比较，结果表明M_RLV能够有效地描述环境振动信号的非平稳程度，可以将其应用到结构长期健康监测系统中，评估信号的平稳性特性，从而选择合适的参数识别和健康诊断的分析方法，提高健康监测结果的客观性和有效性。

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(编辑  邓履翔)

收稿日期：2012-07-29；修回日期：2012-10-16

基金项目：国家自然科学基金资助项目(51078357)

通信作者：任伟新(1960-)，男，湖南长沙人，教授，从事桥梁结构振动与稳定研究；电话：0731-82654349；E-mail: renwx@csu.edu.cn