基于层次分析和模糊数学的采矿方法选择

王新民，赵  彬，张钦礼

(中南大学 资源与安全工程学院，湖南 长沙，410083)

摘  要：建立采矿方案综合评判指标体系，运用层次分析法和模糊数学的基本原理对多种采矿方案进行综合评判优选。在评判优选过程中，综合考虑影响采矿方案的动态、静态、定量、非定量指标，如技术、经济指标及采矿地压控制程度等；将待选择方案指标转换成隶属度矩阵，通过层次分析法得到各因素权重向量，从而建立模糊综合评判模型，利用模糊数学原理计算出各方案基于影响因素的综合优越度。以新桥硫铁矿为例，得出待选采矿方案的优越度分别为96.0%，80.4%和86.5%，从而确定第1种方案最优。

关键词：采矿方案；综合评价；层次分析法；模糊数学；模糊综合评判

中图分类号：TD853.34⁺3       文献标识码：A         文章编号：1672-7207(2008)05-0875-06

Mining method choice based on AHP and fuzzy mathematics

WANG Xin-min, ZHAO Bin, ZHANG Qin-li

(School of Resources and Safety Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract: The AHP (analytical hierarchy process) and the fuzzy mathematics method fundamental theory were used to make a synthetic assessment about the mining methods based on the synthetic assessment index system of the mining method. During this process, lots of dynamic and static, fix and non-fix quantified influence factors working on the mining method were taken into account, such as the technical and economic factors and the control degree of stress during mining etc. The influence factor indexes of the mining method were transformed into the matrix of the membership degrees. The weight matrix of the influence factors was established according to the AHP method. According to the weight matrix and the matrix of the membership degrees, the fuzzy synthetic judge model was established, and the synthetic superior degree of the mining methods based on the influence factors was gotten by the numeration of the fuzzy mathematics methods. The synthetic superior degrees of the mining methods in Xinqiao Pyrite Mine are 96.0%, 80.4% and 86.5% respectively according to this method, and the first method becomes the best.

Key words: mining method; synthetic assessment; analytical hierarchy process(AHP); fuzzy mathematics; fuzzy synthetic judge

采矿方案的选择是一个涉及多层次、多因素、多目标、多指标的决策过程。对于这样复杂的系统工程，由于地质资料的误差、一些统计方法的局限性、某些价格指标的不确定性、只能定性而不能定量描述的影响因素以及不可预见的各方面因素等，使得采矿方案选择具有极大的模糊性、随机性和未知性，它的推理、判断大多是模糊推理、模糊判断，因而做出的决策也是模糊决策^[1]。

传统的采矿方案选择仅仅是由单个影响因素或几个因素各自直观地评价而确定的，带有极大的经验成分，容易受到经验的影响而不能正确反映实际情况。目前，有些系统工程将模糊(Fuzzy)数学应用于方案的选择中，为在复杂系统设计过程中把那些只能定性描述的模糊概念、模糊推理、模糊判断及模糊决策数字化、定量化提供了理论依据^[2-5]。但是，该原理很少应用于采矿方案的优选，且仅利用模糊数学理论无法确定复杂的指标体系的权重，权重仅通过专家的主观评审选取，带有一定的主观性。层次分析法(AHP)能够把复杂系统问题的各因素，通过划分相互联系的各有序层次，使之条理化，根据对一定客观现实的判断就每一层次相对重要性给予定量表示，利用数学方法确定表达每一层次全部元素的相对重要次序的权值^[6-7]。本文作者将层次分析法和模糊数学理论结合起来应用到采矿方案选择这个复杂的系统工程中，建立采矿方案综合评价指标体系，用层次分析法客观地确定各因素的权重，再根据模糊数学理论建立模糊综合评判，从而确定最优的采矿方案。

1  采矿方案综合评价指标体系构建

采矿方案评价是一个系统工程，建立评价指标体系是进行评价的基础工作，其科学性和合理性直接影响着评估结果的准确性。在评价指标体系中，既有定量化因素，又有定性化因素，且相互影响、相互制约。评价指标选取的原则是以尽量少的指标，反映最主要和最全面的信息^[6]。利用层次分析法基本原理，可建立采矿方案综合评价(O)指标体系：一是经济指标(P₁)，可以从采充总成本(X₁)等分析；二是采矿地压控制程度P₂，可以从采空区最大暴露面积(X₂)等分析；三是技术指标(P₃)，可以从采场生产能力(X₃)、矿石损失率(X₄)、矿石贫化率(X₅)、采切比(X₆)、方案灵活适应性(X₇)、通风条件(X₈)、实施难易程度(X₉)等分析。须指出的是，在具体的综合评价分析过程中，应根据要求对这些技术指标有所增删。

2  层次分析法确定权重向量

在建立了递阶层次综合评价指标体系结构后，需运用层次分析法解决决策中各因素的权重分配问题。

2.1  构造比较标度

依据比较的标度和判断原理，运用模糊数学理论，可得出如下比较标准^[7](见表1)。

表1  比较标准意义

Table 1  Meaning of compare standard

2.2  构造比较判断矩阵

按照层次结构模型，每一层元素都以相邻上一层次各元素为基准，按上述比较标度构造判断矩阵D，按定义有：

对比较得到的判断矩阵D，解特征根问题：DW=λ_maxW，所得到的W经正规化后作为因素的排序权重。可以证明，对于正定互反矩阵D，其最大特征根λ_max存在且惟一，W可由正分量组成，除相差1个常数倍数外，W是惟一的^[8]。实际上，对矩阵D很难求出精确的特征值和特征向量W，只能求它们的近似值，采用方根法进行计算。

a. 判断矩阵D的元素按行相乘，得到各行元素乘积M_i：

。                (2)

b. 计算M_i的n次方根：

。                (3)

c. 对向量正规化：

。              (4)

d. 计算判断矩阵的最大特征根：

。             (5)

式中：i=1, 2, …, n。

2.3  判断矩阵的一致性检验

判断矩阵是分析者凭个人知识及经验建立起来的，难免存在误差。为使判断结果更好地与实际状况相吻合，需进行一致性检验。判断矩阵的一致性检验公式为。其中：C_I为一致性检验指标，；n为判断矩阵的阶数；R_I为平均随机一致性指标(取值见表2)。

表2  平均随机一致性指标取值

Table 2  Values of average stochastic coincidence indicators

当C_R＜0.1时，认为矩阵D的一致性是可以接受的，否则，需要重新调整判断矩阵，直至满足一致性检验为止。

2.4  计算权重向量

在判断矩阵满足一致性检验的条件下，可求得各层因素的权重向量。

3  模糊综合评判

模糊数学的综合评判主要涉及4个要素：因素集X；方案集A；隶属矩阵R和权重分配向量W。根据评价指标的不同，模糊综合评判可分为一级模糊评价和多级模糊评价。这里研究二级模糊评价。

3.1  建立因素集X及方案集A

设因素集X={X₁, X₂, X₃, …, X_m}，备选方案集A={A₁, A₂, A₃, …, A_n}。对给定的备选方案A_j (j=1, 2, …, n)，可表示成m维“向量”形式：A_j={X_j1, X_j2, X_j3, …, X_jm}，其中X_jk (k=1, 2, …, m)是方案A_j在因素X_k上的反映。X_jk可以是数量(当X_k是数量化指标时)，也可以是一种自然语言的定性描述，则A_j为集合中的方案且为X上的模糊子集^[9-10]。

3.2  建立因素集X的诸因素权重集W

用上述的层次分析法确定因素的权重集W。因素权重集W=(W₁, W₂, W₃, …, W_m)是指各因素对于拟选定方法而言的重要性及影响程度，且要求满足0＜ ＜1，。

3.3  隶属矩阵的确定

定量指标的隶属度由隶属函数法确定，非定量指标采用相对二元比较法确定^[11]。

a. 针对定量指标所采用的隶属函数法是指对n个方案的m个指标组成的目标特征值矩阵为：

。

式中：i=1, 2, …, m；j=1, 2, …, n。

定量指标可以分为收益性指标与消耗性指标2类。对于收益性指标，指标越大越好；对于消耗性指标，指标越小越好^[12-13]。则目标相对隶属度公式如下：收益性指标公式r_ij=y_ij/max y_ij；消耗性指标公式为： r_ij=min y_ij/y_ij。对其进行规格化，得到目标相对隶属度矩阵：

。

式中：i=1, 2, …, m；j=1, 2, …, n。

b. 针对非定量指标，采用相对二元比较法。

设系统有待进行重要性比较的目标因素集为：X={X₁, X₂, X₃, …, X_m}，就目标因素集X中的因素的重要性进行二元对比的定性排列^[14-15]。目标集中的目标X_k与X_l作二元对比，若X_k比X_l重要，则令排序标度e_kl=1，e_lk =0；若P_k与P_l同样重要，则令e_kl=0.5，e_lk=0.5；若P_l比P_k重要，则令e_kl=0，e_lk=1 (k，l=1, 2, …, m)。由此可得二元比较矩阵E：

。

当0≤e_ij≤1，e_ij+e_ji=1，e_ij=e_ji=0.5 (i=j)时，称矩阵E为关于重要性的有序二元比较矩阵；e_ij为目标i对j关于重要性作二元比较时，目标i对于j的重要性模糊标度；e_ji为目标j对于i的重要性模糊标度。将此矩

阵按行排序，则(i≠j, i=1, 2, …, m)。根据排

序查语气算子与定量标度表^[16](见表3)，可得到非定量指标的隶属度。

表3  语气算子与定量标度相对隶属度关系表

Table 3  Membership degrees between particle operator and ration mark

3.4  综合评判

由评价矩阵R(隶属度矩阵)以及因素权重W，可得方案集A的综合评价为：

在方案评选中，可以根据方案的综合优越程度对方案集A进行排序。

4  工程实例应用

现以安徽省新桥硫铁矿的标准采矿方案选择为例，采用上述方法对拟选用的3种方案进行综合评判，综合评价指标体系指标见表4。

表4  各方案的综合评价指标体系

Table 4  Synthetic assessment indexes system of schemes

4.1  指标权重确定

根据层次分析法的基本原理，首先构造目标层对应于准则层O-P因素的判断矩阵(见表5)。

表5  O-P判断矩阵

Table 5  Judge matrix of O-P membership

根据各因素的权重，可得特征值λ_max0=3.000，C_I0=0，又查表2得R_I0=0.58，于是，C_R0=0＜0.1，可知该判断矩阵满足一致性检验要求，权重矩阵O=[0.400 0.400 0.200]可接受。

同理，可得各二级评价指标的权重系数如下：

P₁-X：P₁=[1]，λ_max=1，C_I1=0，R_I1=0，C_R1=0；

P₂-X：P₂=[1]，λ_max2=1，C_I2=0，R_I2=0，C_R2=0；

P₃-X：P₃=[2.181 1.371 0.280 0.280 0.280 2.181 0.479]，

λ_max3=7.046，C_I3=0.007，R_I3=1.320，C_R3=0.005。

则可得层次总排序见表6。

表6  层次总排序表

Table 6  Final administrative levels compositor

层次总排序一致性检验为：C_I=0.001 4＜0.1， R_I=0.264，C_R=0.005＜0.1，故判断矩阵满足一致性检验要求。因此，可得影响采矿方案选择的权重向量为W=(0.400, 0.400, 0.062, 0.039, 0.008, 0.008, 0.008, 0.062, 0.013)，可接受。

4.2  隶属矩阵确定

a. 指标体系中6个定量指标的特征向量矩阵为：

。

对特征向量矩阵进行规格化得：

。

b. 根据各采矿方案灵活适应性的特点，得特征向量矩阵：

。

则隶属度矩阵为R₇=[1 1 1]。

c. 根据各方案的通风条件，得特征向量矩阵：

。

则隶属度矩阵R₈=[1 0.429 0.818]。

d. 根据各方案的施式难易程度，得特征向量矩阵：

。

则隶属度矩阵R₉=[1 1 1]。

综合以上可得到综合隶属度矩阵：

。

4.3  最优方案确定

由以上确定的权重向量及指标隶属度矩阵可得方案集A的综合评判向量为：

B=WR=(0.960, 0.804, 0.865)。

综上可得各方案的综合优越度为：方案Ⅰ，96.0%；方案Ⅱ，80.4%；方案Ⅲ，86.5%。则方案的优劣次序为：方案Ⅰ，方案Ⅲ，方案Ⅱ，且方案Ⅰ远远优于其他两者，故选用方案Ⅰ。

该矿山经过生产实践表明，这种综合评判确定的采矿方案是可行的，有效地降低采矿成本，采场安全，稳定性好，各项技术指标也比类似矿山的优，取得了良好的效果。

5  结  论

a. 根据层次分析法基本原理建立了采矿方案综合评价指标体系，确定9个评价指标，并利用层次分析法计算指标权重，且通过判断矩阵一致性检验确定合理的权重向量。

b. 用层次分析法和模糊数学理论建立模糊综合评判模型对具体工程实例进行分析，得出方案集的综合评判向量为(0.960, 0.804, 0.865)，从而选用方案Ⅰ，并在矿山的实际生产过程中取得了良好的效果。

c. 运用层次分析法和模糊数学理论对某矿拟选用的标准采矿方案进行了综合评价和模糊综合评判选择，避免了因素过多而难于分配权重的弊端，也避免了单因素决策的片面性和人们主观认识差异所引起的决策失误，特别是在各种影响方案选择的指标出现优越性交叉时，能够做出更为科学、准确、有理论依据的判断。同时，该种综合评判模型也可用于其他系统工程的多方案优先中。

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通信作者：王新民(1957-)，男，安徽安庆人，教授，从事采矿与充填技术研究与教学工作；电话：0731-8879612；E-mail: wxm1958@126.com