不确定性网络系统的量化H_∞控制

王兴成¹，李放文¹，赵承心²

(1. 大连海事大学 信息科学技术学院，辽宁 大连，116026；

2. 瑞典皇家理工学院 信息与通信技术学院, 斯德哥尔摩，16440)

摘要：针对具有网络延迟、丢包和外部干扰等不确定因素的网络系统，研究量化反馈H_∞控制器设计。采用对数量化器对状态量和控制量同时进行量化，并应用Lyapunov稳定性原理和线性矩阵不等式方法，给出网络系统渐近稳定的充分条件和量化反馈控制器设计方法。所设计的量化反馈控制器使系统渐近稳定，并满足H_∞性能指标。数值仿真结果表明了算法的有效性。

关键词：不确定网络；量化H_∞控制；线性矩阵不等式

中图分类号：TP271          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2011)S1-0392-07

Quantized H_∞ control for uncertain networked system

WANG Xing-cheng¹, LI Fang-wen¹, ZHAO Cheng-xin²

(1. School of Information Science and Technology, Dalian Maritime University, Dalian 116026, China;

2. School of Information and Communication Technology, Royal Institute of Technology, Stockholm 16440, Sweden)

Abstract: Network-induced delay, data packet drop-out and perturbation are common problems for networked system. The designing of quantized feedback H_∞ controller, focusing on the above problem was studied. In this general model, two logarithms were quantized used for the quantizing of control signal and status signal, and the sufficient condition for the asymptotical stability of the network control systems and the design of quantized feedback controller was proposed according to the Lyapunov stability theory and linear matrix inequality. The quantized feedback controller can make the systems asymptotically stable and meet H_∞ performance. The design is confirmed to be efficient by the simulation  result.

Key words: uncertainty network; quantization; H_∞ control; linear matrix inequality

近年来，人们对网络控制系统的关注持续升温。在研究过程中，一些学者发现，量化作用对网络控制系统的影响要比对传统的控制系统的影响大得多。在控制系统中加入量化器可以有效克服网络带宽的限制对系统的影响，减轻通信通道传递信息的负担，节约系统资源；但量化器的引入也会给系统带来负面的影响^[1-3]。因此，研究量化作用对网络控制系统控制性能的影响，保证系统的稳定显得非常重要。对同时考虑量化影响和非理想网络环境影响的研究较少^[4-7]，因此，有必要对其进行系统的分析和研究。文献[8]对于同时存在的状态和控制输入2个量化器的离散线性时不变系统的稳定性问题进行了研究。

在文献[8]的基础上，本文作者研究了带有不确定参数和外部扰动的网络系统的H_∞量化控制问题。首先，针对包含延迟和丢包综合信息的不确定网络控制模型，采用扇形界方法^[9]下的对数量化器，分别对状态量和控制量进行量化，将量化误差界定在一个扇形界内，将量化反馈控制问题转化为众所周知的鲁棒控制问题；然后，针对所建立的模型，设计量化反馈控制器，使系统达到稳定的同时，实现最优H_∞性能指标γ。用MATLAB仿真软件的LMI工具箱求解控制反馈增益K和最优性能指标γ，最后用数值仿真实例证明所提方法的有效性。

1  问题描述

考虑具有不确定性和外部扰动的网络控制系统，其系统模型表示如下：

  (1)

式中：，u(k)Rⁿ，z(k)R^q，w(k)R^h分别是状态变量、控制输入、控制输出和外部扰动输入，A, B, B_w, C, D_w分别是具有适当维数的矩阵。τ(k)=τ^sc(k)+d(k)，τ^sc(k)包含了网络延迟的信息，d(k)包含了网络丢包的信息，τ(k)则体现了整个回路的网络环境影响。假设存在常数τ_m和τ_M，使得τ(k)[τ_m, τ_M], τ_m, τ_M分别是τ(k)的下界和上界。

本研究设计目的是针对系统(1)进行量化反馈控制器的设计，使系统达到渐近稳定的同时，获得最优H_∞性能指标。

定义量化级数为

用#g[ε]来标记区间[ε, 1/ε]上的量化级数的个数，定义对数量化器的量化密度(记为η_q)如下：

定义1：一个量化器被称为对数量化器，则其量化级数集合为

并且满足映射关系Q(y):

(2)

式中：y为量化器的输入，Q为量化器的输出，δ为参数，且满足δ=(1-ρ)/(1+ρ)。对于量化器(2),容易推导出η_q=2/[-ln(1/ρ)]，该式显示ρ的值越小，量化密度η_q越小。从这个意义上来说，可以等价地把ρ称为量化器的量化密度。

扇形界下的对数量化器如图1所示。

图1  对数量化器

Fig 1  Logarithm quantizer

在扇形界方法下，对数量化器的量化误差为：

其中：，由量化误差的定义可以推知量化器的误差与量化密度有关。

由图1可以看出：量化密度ρ一定时，离原点越远的状态点，量化划分越粗，我们所需要的状态空间中状态的位置信息和控制行为等信息就越少。因此，有效利用率扇形界方法在处理量化的过程中，把量化误差看成了不确定的或非线性的，并通过一个与量化密度有关的扇形的界将此误差进行界定。

考虑信号的量化过程，q₁(·)，q₂(·)分别为状态信号和控制信号的量化器：

             (3)

在扇形界下q₁(·)，q₂(·)可以表示为

             (4)

其中：

结合式(3)和(4)，考虑量化作用的影响，系统的状态反馈控制器可表示为：

(5)

其中：

结合式(1)和(5)，则原系统可变为：

        (6)

2  稳定性分析与量化控制器的设计

定义H_∞性能指标：

本研究的目的是设计反馈增益K，使得系统(6)在控制器(5)的作用下满足下列条件：

1) 当w(k)=0时，系统渐近稳定；

2) 在零初始条件下，对任意非零的

即。

引理1^[10]：对任意的x, yR^n×n和正定对称矩阵PR^n×n，有下面的不等式成立：

2x^Ty≤x^TP^-1x+y^TPy

引理2：D, E和F是具有适当维数的矩阵并且满足||F||≤1，对任意的变量ε＞0，有下面不等式成立：

DEF+E^TF^TD^T≤ε^-1DD^T+εE^TE

定理1：考虑带有量化反馈控制器(5)的网络控制系统(6)，对于给定的常数τ_m, τ_M，H_∞性能指标γ和矩阵K，如果存在适当维数的矩阵P＞0，Q₁＞0，Q₂＞0，R₁＞0，R₂＞0，N₁，N₂，M₁，M₂，S₁，S₂，S₃，使下列不等式成立：

＜0     (7)

其中：

则系统(6)在控制器(5)的作用下渐近稳定,且对任意非零的w(k)L²[0, ∞)，满足||z(k)||₂≤γ||w(k)||₂。

证明：对于系统(6)选择Lyapunov函数：

             (8)

其中：

 (9)

对V(k)前向差分，可得：

     (10)

由于

≤

≤

  (11)

结合式(9)～(11)，并加入适当的自由矩阵，可以得到：

?V(k)≤

               (12)

其中：

应用引理1可以得到：

≤

≤

≤

 (13)

此时，分2种情况讨论系统的稳定性。

(1) 当w(k)=0，结合式(12)和(13)可以得到：

?V(k)≤

(14)

根据Schur补引理，如果式(7)成立，则不等式

?V(k)≤＜0(15)

成立，因此当w(k)=0，系统(6)是渐近稳定的。

(2) 当w(k)≠0，结合式(12)和(13)可得到:

?V(k)≤

≤

根据Schur补引理，如果式(7)成立，则不等式

＜0     (16)

成立。在零初始条件下，对式(16)两边从k=0累加到k=∞求和，可以得到系统的H_∞性能指标满足

≤0

即||z(k)||₂≤γ||w(k)||₂

证毕。

由于在式(7)中，Δ(K)=Δ₁K+KΔ₂+Δ₁KΔ₂以一种非线性的形式存在，用LMI无法直接利用式(7)求解反馈增益K，利用处理不定项的方法，将式(7)进行如下   改写。

定理2：考虑带有量化反馈控制器(5)的系统(6)，对于给定的常数τ_m，τ_M，H_∞性能指标γ和矩阵K，如果存在适当维数的矩阵P＞0，Q₁＞0，Q₂＞0，R₁＞0，R₂＞0，N₁，N₂，M₁，M₂，S₁，S₂，S₃和标量μ_i＞0(i=1, 2, 3)，使下列不等式成立：

 (17)

其中：Σ₂₁，Σ₂₂，Γ，Ω₁，Ω₂，Ω₃，Ω₄的定义见定理1，

则系统(6)在控制器(5)的作用下渐近稳定,且对任意非零的w(k)L²满足||z(k)||₂≤γ||w(k)||₂。

证明：式(7)中的Σ₁₁改写成如下形式

       (18)

应用引理2，存在μ_i＞0(i=1, 2, 3)使得

    (19)

另外，

根据式(7)和(19)，应用Schur引理，可以得到式(17)。

证毕。

基于定理2，可以设计量化反馈控制器(5)使系统(6)渐近稳定，并满足H_∞性能指标γ，下面给出反馈控制器增益K的设计方法。

定理3：考虑带有量化控制器(5)的网络控制系统(6)，对给定的常数τ_m，τ_M，H_∞性能指标γ和量化密度ρ₁，ρ₂，如果存在变量和矩＞0，＞0，＞0，＞0，＞0，，，，，X，Y和μ_i＞0     (i=1, 2, 3)，使下列不等式成立

＜0

其中：

则系统(6)在量化控制器(5)的作用下渐近稳定，控制反馈增益为K=Y(X ^-)^T，且对任意非零的w(k)L²满足||z(k)||₂≤γ||w(k)||₂。

证明：定义，，，K=Y(X ^-)^T，在式(17)两边同时左乘右乘diag(X，X，X，X，X，X，I，I，I，I，I，I，I，I)和它的转置，并定义新矩阵     (i=1, 2)，并利用Schur引理，可以由式(17)推得式(20)成立。

证毕。

根据式(20)，量化反馈增益K及最优性能指标γ可以利用Matlab中的LMI工具箱进行求解。

3  数值仿真

考虑系统下面的网络控制系统：

选取量化密度选为ρ₁=ρ₂=0.6，由δ=(1-ρ)/(1+ρ)可得δ₁=δ₂=0.25，取给定常数α₁=8.6，α₂=12.4，τ_m=1，τ_M=5，当w(k)=0选取初始函数x(k)=ε(k)，k=-τ_M，-τ_M+1，…，-1，0；当w(k)≠0时，w(k)为随机扰动。利用Matlab的LMI工具箱求解不等式(20)。可以求得H_∞最优性能指标γ=0.324，K=[-1.229，-0.529]，仿真得到系统(6)在和时的状态响应x(k)如图2和3所示。

从图2可以看出：当w(k)=0，本文设计的量化状态反馈控制器可以使系统达到渐近稳定，而且收敛速度比利用动态量化器快得多^[8]，可以很快达到渐近稳定。

图2  w(k)=0时系统的状态响应

Fig.2  State response of w(k)=0

图3  w(k)≠0时系统的状态响应

Fig.3  State response of w(k) ≠0

从图3可以看出：当w(k)≠0时，扰动为随机扰动，幅值为10，本研究所设计的量化状态反馈控制器可以保证系统收敛到一个有界区域内，并使控制器满足H_∞性能指标||z(k)||₂≤γ||w(k)||₂。图2和3的仿真结果证明了所提方法的有效性。

与文献[8]比较，利用静态的对数量化器，比利用动态量化器，限制条件少，具有一定的鲁棒性，并在实际应用中，静态对数量化器具有一定的物理可实  现性。

4  结论

研究了具有网络延迟、丢包和外部扰动等因素的不确定网络控制系统的量化H_∞控制问题，采用对数量化器将量化误差界定在一个扇形界内，并应用Lyapunov稳定性原理和线性矩阵不等式方法，给出了网络系统渐近稳定的充分条件及量化反馈控制器的设计，同时满足最优H_∞性能指标。数值仿真结果表明了算法的有效性。

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(编辑 杨兵)

收稿日期：2011-04-15；修回日期：2011-06-15

基金项目：国家自然科学基金资助项目(60574018)

通信作者：王兴成(1956-)，男，辽宁昌图人，教授，博士生导师，从事鲁棒控制理论、船舶运动研究；E-mail: xc_wang@dl.cn