高墩大跨T构桥结构参数分析

欧丽^{1, 2}，叶梅新¹，周德¹

(1. 中南大学 土木工程学院, 湖南 长沙，410075；

2. 长沙理工大学 土木与建筑学院，湖南 长沙，410076)

摘要：基于铁摩辛柯能量法对高墩大跨T构桥进行静力分析，推导变截面高墩考虑稳定性要求时临界墩高和满足强度条件时最大墩高的计算公式，给出临界墩高和最大墩高与结构参数的关系曲线，研究内、外壁坡度变化对临界墩高和最大墩高的影响，并给出判别实际工程中的变截面压杆是大柔度压杆还是小柔度压杆的坡度界限值，以此为界判断是否需要对工程中的变截面承压杆件进行稳定校核。研究结果表明：本文方法简便、有效，对工程实际有一定的指导意义；该方法可推广至任意桥梁墩身自体施工阶段的设计，亦可用于连续刚构桥施工阶段的T构静定体系。

关键词：T构桥；变截面高墩；墩身坡度；柔度

中图分类号：U443.22          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2011)08-2499-08

Analysis of structural parameters of T-shape rigid frame bridge with high pier and long span

OU Li^{1, 2}, YE Mei-xin¹, ZHOU De¹

(1. School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China;

2. School of Civil and Architectural Engineering, Changsha University of Science and Technology,

 Changsha 410076, China)

Abstract: Based on S. P. Timoshenko energy method, static analysis of T-shape rigid frame bridge with high pier and long span was done. Mathematical formula of the critical height of the varying cross-section pier for stability and the maximum height of it for strength were derived. The related curves between the critical height and the maximum height and configuration parameters were given. The influences of gradient changes of the inside and outside wall of pier on the critical height and the maximum height were studied by programming. And limit gradients to distinguish between big flexible column and small one among engineering variable cross-section columns were given. It was used to judge if the engineering members subject to compression with variable cross-section need stability checking. The results show that the above method is easy and effective to guide engineering significantly. This method can be extended to piers design during self-construction of any bridge. It can be used for the T-shape statically determinate system of continuous rigid frame bridge during construction as well.

Key words: T-shape rigid frame bridge; varying cross-section pier; gradient of pier’s body; flexibility

随着我国交通运输事业的迅速发展，我国在千峰万壑、纵横起伏的地区修建的桥梁日益增多，这些沟壑地区地形特点为塬高、沟深、坡陡，因而修建的桥墩较高，有的高达100 m以上，而且这些桥梁往往集高墩、大跨径于一身，使墩梁结构受力复杂，结构强度及稳定问题^[1-3]较突出。高墩大跨径T构桥的高墩大多采用空心截面形式，为了跨越深谷，不得不设置高墩以满足线路的需要，为此，必须了解墩高与桥梁结构参数之间的关系。经典弹性稳定理论给出了等直杆临界力的精确公式，并通过长细比来界定等直杆的失效是稳定问题还是强度问题，但工程实际中的杆件多为变截面杆，没有对应的长细比计算公式可供参考，一般将稳定问题和强度问题^[4-5]一并考虑，按经验取值。目前，关于变截面高墩的文献大多利用有限元数值计算软件进行分析，给出解析解的结构截面形式较简单^[6-7]。在此，本文作者在经典稳定理论的基础上考虑强度问题，取施工阶段单壁墩T构桥为研究对象，推导出符合实际且简单的临界墩高和最大墩高理论计算公式，利用数学软件Maple编制程序，并给出界定大柔度压杆和小柔度压杆的坡度近似值。

1  结构截面几何特性参数

T构桥有3种形式(图1)，即跨中设铰的铰接T构桥、跨中带吊梁的T构桥和单跨T构桥，本文讨论施工阶段的T构静定体系(图2(a))。取变截面空心矩形桥墩进行分析(图2(b)与图3)，按坡度变化给出截面几何特性沿墩高的表达式。主梁采用变截面箱形截面，顶板、腹板及底板皆按规范取值。为分析和计算方便，按设计图纸将主梁截面几何特性用数学软件Maple进行拟合，所有计算不计混凝土内钢筋。

图1  T构桥3种结构形式

Fig.1  Three types of T-shape rigid frame bridge

图2  结构及截面形式

Fig.2  Configuration and cross section

图3  墩身坐标示意图

Fig.3  Diagrammatic sketch for pier’s body

建立如图2(a)所示坐标系，桥墩与主梁的坐标原点均取在墩梁固接处截面形心处。图2(b)所示为变截面空心矩形桥墩墩顶截面形式，设墩顶截面横桥向(z方向)外壁宽a₁₀，且与梁底等宽，内壁宽a₂₀，顺桥向(y方向)外壁宽b₁₀，内壁宽b₂₀，墩身内外边缘均沿墩高按线性变化，横桥向墩身外壁坡度为k₁，内壁坡度为m₁，顺桥向墩身外壁坡度为k₂，内壁坡度为m₂，则墩身任意截面的截面尺寸为(图3)：

，，

，

任意截面的横截面面积A和对y轴、z轴的惯性矩I_y和I_z分别为：

          (1)

图2(c)所示为主梁横截面形式和主梁坐标系，任意截面的横截面面积A₁和对z₁轴的惯性矩I₁按设计图纸用数学软件Maple拟合为：

    (2)

2  高墩的结构分析

2.1  稳定分析

采用铁摩辛柯能量法^[8]进行分析，求结构的临界墩高，即结构失稳前所能达到的最大墩高。当结构体系处于稳定平衡状态，且给以微小扰动使其偏离原来的平衡位置时，体系的应变能将因此而增加DU，外力将增加作功DW。当结构体系从稳定平衡过渡到不稳定平衡而处在临界状态时，其能量关系为：

DU =DW                 (3)

目前，很多文献都认为成桥使用阶段的稳定性高于施工阶段的稳定性^[9-11]，因而在这里仅对施工时墩身自体施工阶段和最大悬臂施工阶段进行讨论。

2.1.1  墩身自体施工阶段

墩身结构如图2(a)所示，墩身自体施工阶段顺桥向失稳模态下的平面力学体系见图4(a)，设墩身弯曲失稳的位移函数为：

           (4)

式(4)满足几何和力学边界条件，即

结构应变能为：

              (5)

外力功为：

            (6)

其中：E为墩身弹性模量；γ为墩身混凝土容重。式(5)中的I在顺桥向失稳时取式(1)中的I_z，横桥向失稳时取式(1)中的I_y。将式(1)，(4)~(6)一并代入式(3)，可得l=f(c₁,c₂)，因而，有：

          (7)

欲得到c₁和c₂的非零解，方程组(7)的系数行列式应等于0，即：

                (8)

其中：k₁₁，k₁₂，k₂₁和k₂₂为包含l和各已知参数的多项式，k₁₂=k₂₁。当给定截面参数以后，就可通过方程式(8)得到相应的临界墩高，临界墩高计算公式见文献[12]。

图4  结构顺桥向失稳分析受力图

Fig.4  Force diagram of configuration under  longitudinal bucking

2.1.2  最大悬臂施工阶段

上部结构施工至最大悬臂时最不安全，结构承受荷载有恒载、施工荷载、节段施工误差不平衡重力和风载。悬浇施工时，构件的顺桥向失稳变形情况包括挂篮正常工作和非正常工作(挂篮跌落)。在稳定公式推导时，以挂篮跌落为对象求临界墩高，结构如图2(a)所示，载荷如图4(b)所示，墩身弯曲失稳的位移函数与前面的相同，主梁位移函数设为：

            (9)

式(9)满足变形协调条件，即：

，

在以下推导中，E₁为主梁弹性模量，γ₁为主梁混凝土容重，P为2倍挂篮自身重力(主梁一侧挂篮突然跌落，取动力放大系数2，即把失去的挂篮重力反向放大2倍，施加在原先挂篮位置，按静力问题计算)，M_z为挂篮跌落时产生的不平衡弯矩。主梁应变能为

          (10)

主梁外力所作功为

       (11)

将式(4)~(6)和(9)~(11)代入能量法公式?U+?U₁= ?W+?W₁，可得l=g(c₁, c₂)，

     (12)

忽略方程组(12)的右边项，得到一个标准特征值问题，特征方程为

             (13)

其中：m₁₁，m₁₂，m₂₁和m₂₂为包含l和各已知参数的多项式，m₁₂=m₂₁。当给定截面参数以后，就可通过方程(13)得到相应的临界墩高。

2.2  强度分析

强度分析时的2个阶段与稳定分析时的相同。

2.2.1  墩身自体施工阶段

此阶段墩身最大应力满足下列方程：

              (14)

据此可计算出结构失效前所能达到的最大墩高。

2.2.2  最大悬臂施工阶段

此阶段需要考虑2种情况，即墩身顺桥向有偏位和横桥向有偏位。对应稳定分析时的顺桥向失稳和横桥向失稳，高墩偏位参照规范取l/3 000^[13]，顺桥向有偏位时设偏位方向与挂篮跌落时产生的不平衡弯矩方向相同，最大应力满足下列方程：

     (15)

式中：W_z为墩身顺桥向抗弯截面模量；[σ]为许用应力，此时由于l/3 000与l₁相比非常小，可不计入M_z之中。由式(15)可计算出此阶段结构失效前所能达到的最大墩高。

横桥向有偏位时设M_y为横桥向有偏位时产生的不平衡弯矩，最大应力满足下列方程：

  (16)

式中：W_y为墩身横桥向抗弯截面模量。由式(16)可计算出此阶段结构失效前所能达到的最大墩高。

2.3  截面参数对墩高的影响

工程实际中的桥墩多为空心变截面墩，壁厚沿墩高亦有变化，壁厚的变化可以通过改变内、外壁的坡度来实现。大部分桥墩的坡度变化沿墩高是唯一的，但有些桥墩的坡度变化沿墩高不唯一，如宜万线(湖北宜昌—四川万州)上的马水河桥，墩高较同类T构桥的高，其横桥向内、外壁坡度沿墩高分二段变化。本文假设坡度沿墩高唯一，并分别讨论自体施工阶段与悬臂施工阶段墩身内、外壁坡度的变化对临界墩高的影响。在施工过程中，失稳模态有横桥向和顺桥向2种，本文仅给出顺桥向失稳模态受力图(图4)，强度计算中的受力图与稳定分析时的相同。内、外壁坡度变化时临界墩高的变化趋势见图6和图7，计算基本参数选取如下：E=3.25×10¹⁰ Pa，E₁=3.6×10¹⁰ Pa，γ=γ₁=26 kN/m³，a₁₀=7 m，b₁₀=10 m，a₂₀=3.8 m，b₂₀=6.8 m，k₁=0.005，k₂=0.001，m₁=0.002，m₂=-0.000 1，[σ]=18.4 MPa。

2.3.1  自体施工阶段墩身坡度对墩高的影响

自体施工阶段墩高与坡度的关系见图6。从图6可见：自体施工阶段随横桥向外壁坡度k₁的增加(图6(a))，横桥向失稳模态下的临界墩高的增长明显快于顺桥向失稳模态下的临界墩高以及强度条件下的最大墩高，说明横桥向外壁坡度的增加可以极大地提高横桥向的稳定性。因为增加k₁可以使I_y迅速增长，而I_z和A只是略有增长，但临界墩高不能无限增长，这一点可以从强度条件下的最大墩高有上限看出。可见：针对理想压杆得到的稳定计算公式由于没有考虑初曲率或初偏心等缺陷，只能用来描述截面参数与临界墩高的关系，合理的墩高应该同时满足强度条件和稳定性要求。从图6(a)可见：外壁坡度较小时，墩的高度由稳定条件控制，外壁坡度较大时由强度要求控制。因为计算时采用的是工程实际中常用的空心墩，当外壁坡度较小时，壁厚沿墩高增加较小，自身重力增加较小，强度条件容易满足，同时，惯性矩较小稳定条件难于满足；而外壁坡度较大时，自身重力增长迅速，强度条件成为控制条件，而稳定性要求由于I_y的迅速增长不再成为控制条件。实际上外壁坡度较大时高墩已经不再是细长杆，对于经典稳定理论来说，非细长杆若误用了欧拉公式计算临界力，其结果比实际大(图5中虚线部分所示σ_cr与λ关系曲线)，横截面上的正应力有可能超过比例极限，造成危险。横桥向失稳模态下临界墩高和考虑强度要求时最大墩高与k₁的关系曲线在k₁≈0.012 6有交点，表明以此为界区分大柔度压杆和小柔度压杆，k₁≥0.012 6时桥墩成为小柔度压杆，因而可以解释为什么随横桥向外壁坡度的增长而临界墩高呈无限上升的态势，这与临界应力总图上误用欧拉公式计算小柔度压杆临界应力时曲线无限上升相符。

图5  临界应力总图

Fig.5  General map of critical stress

图6  自体施工阶段墩高与坡度的关系

Fig.6  Relationship between wall slope and pier height during self-construction of pier

随顺桥向外壁坡度k₂的增加(图6(b))，可以得到与图6(a)基本类似的结论，只需将横桥向换成顺桥向，k₁换成k₂，I_y换成I_z即可。顺桥向失稳模态下临界墩高和考虑强度要求时最大墩高与k₂的关系曲线在k₂≈ 0.011 2有交点，k₂≥0.011 2时桥墩成为小柔度压杆。

自体施工阶段随横桥向内壁坡度m₁的增加(图6(c))，横桥向失稳模态下的临界墩高先略有增加后缓慢减小，在m₁≈0.001 7处有极值；而顺桥向失稳模态下的临界墩高缓慢增加，强度条件下的最大墩高逐步减小。因为增加m₁将使A和I_y及I_z均减小，A减小使得强度下降；但空心杆件的稳定性与I_y/A或I_z/A相关，A减小使得横截面积减小，自身重力减小，因而I_y及I_z的减小对高墩的稳定性影响不大。随顺桥向内壁坡度m₂绝对值的增加(图6(d))，横桥向失稳模态下的临界墩高缓慢减小，顺桥向失稳模态下的临界墩高先略有增加后缓慢减小，在m₂≈-0.002 6取极值，强度条件下的最大墩高逐步增加趋于一个上限，因为m₂绝对值的增加使得墩底截面趋于实心自身重力增加迅速，同时，I_y及I_z略增加。

2.3.2  悬臂施工阶段墩身坡度对墩高的影响

悬臂施工阶段墩高与坡度的关系见图7。从图7可见：悬臂施工阶段随横桥向外壁坡度k₁的增加(图7(a))以及顺桥向外壁坡度k₂的增加(图7(b))，可以得到与自体施工阶段基本类似的结论，只是对应同样的坡度，悬臂施工阶段的临界墩高均小于自体施工阶段的对应值，说明自体施工阶段的稳定性强于悬臂施工阶段的稳定性。悬臂施工阶段与自体施工阶段所不同的是：此阶段验算强度条件时需要考虑高墩的偏位，考虑横桥向偏位时最大墩高比考虑顺桥向偏位时的小。因为考虑横桥向偏位时高墩为双向弯曲与压缩的组合变形，考虑顺桥向偏位时高墩为单向弯曲与压缩的组合变形。横桥向失稳模态下临界墩高和考虑高墩偏位时最大墩高与k₁的关系曲线在k₁≈0.013 1有交点，顺桥向失稳模态下临界墩高和考虑高墩偏位时最大墩高与k₂的关系曲线在k₂≈0.011 7有交点。随着横桥向内壁坡度m₁的增加，横桥向失稳模态下临界墩高和顺桥向失稳模态下临界墩高均缓慢减小，强度条件下不论横桥向偏位还是顺桥向偏位最大墩高都逐步减小(图7(c))。随顺桥向内壁坡度m₂绝对值的增加，可以得到与自体施工阶段相类似的结果(图7(d))。

图7  悬臂施工阶段墩高与坡度的关系

Fig.7  Relationship between wall slope and pier height during cantilevered construction

2.4  与经典弹性理论的比较

经典弹性稳定理论只能给出等截面墩在自体施工阶段的精确解(ql)_cr=7.837EI/l^2[14]，当k₁=k₂=m₁=m₂时，变截面墩即退化为等截面墩。表1所示为等截面墩自体施工阶段在自身重力作用下的墩高。从表1可见：本文方法比精确解略大。这是因为假定的y不是真实的弹性曲线，相当于增加了约束使其实现，提高了临界荷载的值。将表1中数据与图6比较可以发现：在满足强度条件和稳定条件的前提下，变截面墩理论墩高比等截面墩大，但墩太高时，施工需满足竖直度等要求，若高墩的墩身由于施工原因出现了偏斜、弯曲等几何缺陷，将会使结构稳定性大大下降甚至产生整体失稳的严重后果。

表1  等截面墩自体施工阶段墩高

Table 1  Height of straight pier during self-construction        m

图6(a)和7(a)以及图6(b)和7(b)所示k₁或k₂界限值与临界应力总图上欧拉公式与经验公式界限点λ_p相对应，当k₁或k₂大于界限值时，临界墩高无限上升的态势与临界应力总图中误用欧拉公式计算小柔度压杆时，压杆横截面上应力无限增大相符，说明本文方法可以用于判别实际工程中的变截面压杆是大柔度压杆还是小柔度压杆，并藉此确定是否需要对工程中的变截面承压杆件进行稳定校核。

2.5  工程实例

马水河桥是宜万线上1座铁路桥梁，位于四川境内建始县业州镇小溪口村，为(116+116) m预应力混凝土T构桥，其设计基本情况为：主梁箱梁横截面为单箱单室直腹板变截面，底板底缘按圆弧变化，圆曲线半径为631.016 67 m，中支点梁高12.20 m，跨中梁高4.70 m，顶宽10.70 m，底宽6.00 m，顶板厚0.34 m，腹板宽0.45~0.90 m，底板厚由0.32 m变化至1.35 m。桥墩采用空心矩形截面，墩高108.00 m，墩顶横向宽7.00 m，墩底横向宽28.00 m，横向壁厚由墩顶1.40 m变为距墩底7.00 m处的7.50 m，墩顶纵向宽10.00 m，墩底纵向宽12.00 m，墩纵向壁厚1.40 m。按坡度唯一进行设计，k₁=1/16.89=0.059 2，k₂=1/86.40=0.011 6，m₁=0.022，m₂=-0.001 27(其余参数与理论分析部分的相同)。k₁＞0.012 6，k₂＞0.011 2，故自体施工阶段不存在静力稳定问题；k₁＞0.013 1，故悬臂施工阶段亦不存在静力稳定问题，这与文献[15]中不计该桥静力稳定考虑动力稳定的结果相符。

3  结论

(1) 变截面空心高墩考虑稳定性要求时的临界墩高和满足强度条件时的最大墩高受截面几何性质影响很大，与等直墩相比，高墩截面参数特别是墩身内外壁坡度变化明显增加墩的高度，与内壁坡度相比，增加外壁坡度可以更有效地提高高墩的稳定性。

(2) 判别实际工程中的变截面压杆是大柔度压杆还是小柔度压杆的坡度界限值可以确定是否需要对工程中的变截面承压杆件进行稳定校核。该方法可推广至任意桥梁自体施工阶段的设计，亦可用于连续刚构桥施工阶段的T构静定体系。计算结果表明：该方法简便有效易行，对工程实际有一定的指导意义。

(3) 所推导的墩高计算公式是针对理想轴压柱得到的，并且载荷也仅仅考虑了自重等简单荷载，实际构件一般都不能满足这个条件，因而也不可能达到公式所给出的理论墩高，即使在工程实际中存在理想轴压柱，也要给予必要的安全储备，故所得计算结果仅供设计人员参考。

(4) 本文通过改变内、外壁坡度来实现截面参数的变化，对主梁截面参数的影响尚未研究。需要说明的是：内壁坡度应小于外壁坡度，否则，需要验算截面面积和惯性矩。

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(编辑 陈灿华)

收稿日期：2010-08-11；修回日期：2010-10-28

基金项目：铁道部科技研究开发计划项目(2004G020)；湖南省教育厅项目(07C103)

通信作者：欧丽(1964-)，女，湖南长沙人，博士研究生，副教授，从事桥梁结构研究；电话：15673156630；E-mail: oliv@163.com