DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2018.12.010
用材料力学方法研究不同模量梁的弯曲变形
吴晓，刘奇元，罗佑新
(湖南文理学院 机械工程学院，湖南 常德，415000)
摘要：为得到不同模量梁弯曲正应力及挠度的实用计算公式，采用材料力学方法分析复杂外载荷下的不同模量梁的弯曲变形，将材料力学方法得到的计算结果与弹性理论方法得到的计算结果进行比较。研究结果表明：用材料力学方法研究不同模量梁的弯曲变形不但计算精度较高，而且计算过程也简便，克服了弹性理论存在一题一解及计算过程复杂繁琐的缺陷；不同模量梁的剪切形状因子与不同模量材料的拉压弹性模量有关，而各向同性材料梁的剪切形状因子与材料的弹性模量无关。
关键词：材料力学；模量；梁；弯曲变形；剪切；形状因子
中图分类号：O341 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2018)12-2972-07
Research of bending deformation of beam with different modulus by material mechanics method
WU Xiao, LIU Qiyuan, LUO Youxin
(College of Mechanical Engineering, Hunan University of Arts and Science, Changde 415000, China)
Abstract: In order to get the practical calculation formulas of bending normal stress and deflection of the beam with different modulus, the material mechanics method was used to research the bending deformations of the beam with different modulus under external load. The calculation results obtained by the material mechanics method were compared with those obtained by the elastic theory. The results show that the accuracy is high and the procedure is simple for calculating the bending deformations of the beam with different modulus. This method overcomes the defects of elastic theory that one problem is with one solution and that the calculation process is complicated and cumbersome. The shear shape factor of the beam with different modulus is related to the elastic modulus of tension and compression of the different modulus material, and the shear shape factor of the beam with isotropic material is independent of the elastic modulus.
Key words: material mechanics; modulus; beam; bending deflection; shear; shape factor
不同模量材料已经在工程中得到广泛应用[1-7]。人们对不同模量材料对工程结构的影响也进行了相关研究，如：何晓婷等[8]得到了均布载荷下不同模量简支梁的弹性解；王蔚佳等[9]在此基础上进行了数值分析；吴晓等[10-12]则得到了线性分布荷载下不同模量悬臂梁的Kantorovich解、不同模量矩形截面杆和泡沫铝芯夹层梁弯曲时解析解并进行了不同模量泡沫铝芯夹层梁的弯曲计算分析；吴晓等[13]在考虑剪切效应的基础上得到了不同模量梁的自由振动解析解[13]。若采用文献[8-11]中的弹性力学方法，需要依靠三角级数进行求解，存在计算繁琐、一题一解的缺陷，并且不能求解复杂外载荷作用下不同模量梁弯曲变形问题。文献[12-13]采用各向同性材料梁的剪切形状因子考虑剪切变形效应，但实际上不同模量梁的剪切形状因子不再是常量，而与拉、压弹性模量比值有关。基于以上原因，本文作者用材料力学方法研究不同模量梁的弯曲变形，得到其计算通式。
1 不同模量梁的应力计算公式
图1所示为分布载荷作用下的等截面不同模量梁上的任意微段梁，有
式中：ρ为不同模量梁弯曲时的曲率半径。
在距离中性层y0和(y0+dy0)处从图1(a)所示微段梁拉伸区中截出单元体，如图1(d)所示。设左侧剪应力为τt，右侧剪应力为
。
根据剪切虎克定律，与τt和
相对应的剪应变分别为
，
(2)
图1 剪应力对纵向应变的影响
Fig. 1 Effect of shear stress on longitudinal strain
式中：
，为不同模量梁拉伸区的剪切弹性模量；μt为拉伸区的泊松比。由此可得：
利用式(1)和(3)可得
纤维
的伸长变形及线应变分别为
(5)
同理，可以得到不同模量梁压缩区的线应变为
(6)
式中：
，为不同模量梁压缩区的剪切弹性模量；
为压缩区的泊松比；Ec为压缩弹性模量。
假设作用在图2所示不同模量梁上的外载荷以向下为负，弯矩以使梁弯曲变形凸向下时为正。据文献[13-15]可知不同模量梁纯弯曲变形时拉伸区、压缩区的弯曲应力分别为
，
(7)
式中：D为不同模量梁的抗弯刚度；Et为拉伸弹性模量；M(x)为梁截面弯矩。
图2中，h1和h2分别为受拉区、压缩区高度。
图3(a)和图3(b)所示分别为图2所示简支梁的受拉区、受压区分离体。由图3(a)可得N1t和N2t以及剪力方程为：
(8)
将式(7)中的拉应力公式代入式(8)可得
(9)
利用
，由式(9)化简可得受拉区弯曲剪应力：
(10)
式中：
，为拉伸区的静矩；Q为剪力。
同理，由图3(b)可得压缩区弯曲剪应力τc：
(11)
式中：
，为压缩区的静矩。
图2 不同模量简支梁
Fig. 2 Simplied supported beam with different modulus
图3 不同模量梁分离体
Fig. 3 Beam separated bodies with different modulus
将式(10)和式(11)分别代入式(5)和式(6)，且利用
可得拉伸应变和压缩应变分别为：
(12)
(13)
由于不同模量梁拉、压区的弯曲应力分别为
，
，因此，不同模量梁截面弯矩平衡方程为
(14)
利用式(13)和(14)可得
(15)
式中：
，为梁的弯曲刚度；
，为拉伸区剪切形状因子；
，为梁压缩区剪切形状因子；At和Ac分别为梁拉伸区、压缩区的面积。
利用式(12)~(15)可知不同模量梁任意截面拉伸区、压缩区的弯曲正应力分别为
(16)
(17)
2 不同模量梁的挠度计算公式
为了使挠度计算公式具有普遍意义，以在复杂载荷作用下图2所示不同模量梁为例，研究不同模量梁的弯曲挠度。
由式(15)可知不同模量梁的弯曲挠曲线微分方程为
(18)
式中：ρ为曲率半径。
图2所示不同模量梁在复杂载荷作用下的载荷集度可表示为
(19)
式中：R为支承反力，P为集中力，m0为集中力偶，
代表奇异函数。
对式(19)进行1次积分可得剪力表达式为
(20)
对式(20)进行1次积分可得弯矩表达式为
(21)
将式(19)和式(21)代入式(18)进行1次积分可得转角方程为
(22)
对式(22)进行1次积分可得挠曲线表达式为
(23)
式中：B0和B1为待定积分常数，可根据不同模量梁的边界条件来确定。
式(23)即为复杂荷载作用下的不同模量梁弯曲挠曲线表达通式。
3 计算分析及讨论
算例1：均布荷载作用下简支梁如图4所示，该简支梁由各向同性材料组成，均布荷载q。
令Et=Ec，可得
(24)
图4 均布荷载作用下简支梁
Fig. 4 Simplied supported beam under uniform load
式中：
，为惯性矩；A=bh，为面积。
据
，式(24)可转化为
(25)
式中：μ为泊松比。在式(25)中，令μ=0，可得
(26)
式(26)与弹性理论精确解相同[16]。
由式(23)可得
(27)
图4所示简支梁的边界条件为
x=0，w(0)=0；x=l，w(l)=0 (28)
由式(27)和(28)可求得梁中点挠度为
(29)
式中：5ql4/(384EI)为材料力学方法最大挠度解。
当μ=0.25时，由式(29)可得
(30)
当μ=0.25时，由弹性理论可得梁的中点挠度为
(31)
由式(25)可知当μ=0.25时，图4所示简支梁截面最大弯曲正应力为
(32)
由式(26)可知图4所示简支梁截面最大弯曲正应力为
(33)
式中：Mmax/W为材料力学方法最大应力解；W=bh2/6；Mmax=ql2/8。
由式(30)~(33)所得计算结果见表1和表2。
表1 梁中点挠度w(l/2)
Table 1 Deflection in midpoint of beam
表2 最大弯曲正应力
Table 2 The maximum bending normal stress 
从表1和表2可以看出：采用材料力学方法计算结果与弹性理论解相差很小，计算精度高；即使当长高比l/h=2时，本文方法的挠度解和最大弯曲正应力解与弹性理论解的相对误差分别为3.23%和1.50%，小于工程允许误差5%；当l/h=6时，本文方法所得解和材料力学解与弹性理论解的误差分别为0.57%和5.75%，因而，在计算l/h≤6的弯曲挠度时不宜采用材料力学方法，而应采用本文方法进行计算。
复杂外荷载下梁弯曲时的应力和位移弹性理论存在一题一解的缺陷，往往需要依靠三角级数，其计算量非常大。吴家龙[16]给出的式(26)和式(31)仅是均布载荷作用下梁应力、挠度解，采用本文方法则能给出复杂外荷载作用下梁的应力和挠度的计算通式，具有通用性和计算简便的优点。
算例2：矩形截面悬臂梁由各向同性材料组成，均布荷载q。其参数为：l=3.0 m，b=0.5 m，h=1.0 m，q=10 kN/m，E=210 GPa，G=80 GPa。其跨中弯曲应力弹性理论解为[16]
(34)
表3所示为悬臂梁跨中截面应力的本文方法、弹性理论方法和材料力学方法计算结果。
表3 悬臂梁跨中截面应力
Table 3 Mid-span cross-section stress in cantilever beam MPa
从表1~3可知：当l/h≥3时，梁弯曲应力宜采用材料力学方法；当l/h＜3时，宜采用本文方法。因为本文方法计算精度较高，给出的是复杂外荷载下梁截面应力通解，而文献[16]中方法仅限于求解均布荷载。
算例3：不同模量矩形截面梁材料参数及截面尺寸分别为：E1=113 GPa，E2=145 GPa，μ1=0.22，μ2=0.292 6，b=16 mm，h=56 mm，q=132 kN/m。
由本文方法和文献[8]中弹性理论方法所得计算结果见表4~6(参阅文献[15]，假设
，为了便于计算分析，取E1=113 GPa，μ1=0.22)。
从表4~6可以看出：采用本文方法与采用弹性力学方法所得结果相差较小。对比表4和表5可以看出：将不同模量梁视为相同模量梁进行计算时，所得结果误差较大。
表4 E1=113 GPa，E2=145 GPa时不同模量简支梁中点处挠度
Table 4 Deflection at midpoint of simply supported beam with different modulus when E1=113 GPa and E2=145 GPa mm
表5 E1=113 GPa，E2=145 GPa，μ1=0.22和μ2=0.292 6时各向同性简支梁中点处挠度
Table 5 Deflection at midpoint of isotropic material simply supported beam when E1=113 GPa, E2=145 GPa,μ1=0.22 and μ2=0.292 6 mm mm
表6 E1=113 GPa，μ1=0.22和l/h=10时不同模量简支梁中点处挠度
Table 6 Deflection at the midpoint of simply supported beam with different modulus when E1=113 GPa,μ1=0.22 and l/h=10 mm mm
从表6可以看出：梁中点挠度随
的增大而减小。其原因是，n增大使得梁的抗弯刚度和剪切刚度也增大。本文虽然以简支梁为例计算不同模量梁弯曲变形的挠度，但同样适用于其他边界条件梁的计算。单模量梁的剪切形状因子是常量(
)，而不同模量梁剪切形状因子
和
是变化量，二者存在本质区别。
4 结论
1) 本文所提出的方法克服了弹性理论存在一题一解的缺陷，得到了复杂外载荷作用下梁的弯曲正应力、剪应力和挠曲线通式，其计算简便，计算结果具有很高的精度。
2) 进行弯曲变形计算时，将不同模量梁视为相同模量梁计算误差较大，因而不同模量梁不能视为各向同性材料梁计算。
3) 不同模量简支梁中点挠度随的变大而减小，n增大使得梁的抗弯刚度和剪切刚度也增大。单模量梁的剪切形状因子是常量，而不同模量梁剪切形状因子是变化量，二者存在本质区别。
参考文献：
[1] 张国庆, 杨海天. 蚁群算法求解二维拉压不同模量反问题[J]. 计算力学学报, 2014, 31(6): 687-692.
ZHANG Guoqing, YANG Haitian. Ant colony algorithm based numerical solution for inverse bimodular problems[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2014, 31(6): 687-692.
[2] 杨海天, 张晓月, 何宜谦. 基于敏度分析的拉压不同模量桁架问题的数值分析[J]. 计算力学学报, 2011, 28(2): 237-24.
YANG Haitian, ZHANG Xiaoyue, HE Yiqian. Sensitivity analysis based numerical solution for truss structures with bi-modulus[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2011, 28(2): 237-242.
[3] 曹雪叶, 赵均海, 李艳, 等. 不同拉压特性的厚壁球壳分析[J]. 应用力学学报, 2016, 33(3): 378-383.
CAO Xueye, ZHAO Junhai, LI Yan, et al. Analysis on thick squash shell with different tension and compression properties[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2016, 33(3): 378-383.
[4] 杜玲, 李范春, 郭雪莲, 等. 基于应力球张量法的不同模量陶瓷梁有限元分析[J]. 推进技术, 2015, 36(8): 1229-123.
DU Ling, LI Fanchun, GUO Xuelian, et al. Finite element analysis of ceramic beam with different modulus based on stress balls tensor method[J]. Journal of Propulsion Technology, 2015, 36(8): 1229-123.
[5] MEDRI G. A nonlinear elastic model for isotropic materials with different behavior in tension and compression[J]. Transactions of the ASME, 1982, 26(104): 26-28.
[6] BERT C W, REDDY J N, CHAO W C, et al. Vibration of thick rectangular plates of bimodulus composite material[J]. Journal of Applied Mechanics, 1981, 48(2): 371-376.
[7] SRINIVASAN R S, RAMACHANDRA L S. Axisymmetric nonlinear dynamic response of bimodulus annular plates[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 1990, 112(2): 202-205.
[8] 何晓婷, 陈山林, 孙俊贻. 不同模量简支梁均布载荷下的弹性力学解[J]. 工程力学, 2007, 24(10): 51-56.
HE Xiaoting, CHEN Shanlin, SUN Junyi. Elasticity solution of simple beams with different modulus under uniformly distributed load[J]. Engineering Mechanics, 2007, 24(10): 51-56.
[9] 王蔚佳, 邹文成, 陈强. 基于双模量理论的均布载荷下简支梁的解析解及数值分析[J]. 工业建筑, 2013, 43(6): 56-59.
WANG Weijia, ZOU Wencheng, CHEN Qiang. Analytical solution and numerical analysis for simply supported beams under uniform distributed loads based on bimodular theory[J]. Industrial Construction, 2013, 43(6): 56-59.
[10] 吴晓, 杨立军, 黄翀, 等. 双模量悬臂梁在线性分布荷载作用下的Kantorovich解[J]. 中南大学学报(自然科学版), 2014, 45(1): 306-311.
WU Xiao, YANG Lijun, HUANG Chong, et al. Kantorovich solution for bimodulous cantilever under linear distributed loads[J]. Journal of Central South University(Science and Technology), 2014, 45(1): 306-311.
[11] 吴晓, 罗佑新. 拉压弹性模量不同矩形截面杆的弯曲[J]. 西安建筑科技大学学报(自然科学版), 2013, 45(4): 493-498.
WU Xiao, LUO Youxin. Bending of rectangular section bar with different elastic modulus in tension and compression areas[J]. Journal of Xi’an University of Architecture & Technology(Natural Science Edition), 2013, 45(4): 493-498.
[12] 吴晓, 杨立军. 双模量泡沫铝芯夹层梁的弯曲计算分析[J]. 应用力学学报, 2015, 32(6): 63-67.
WU Xiao, YANG Lijun. Bending calculation analysis of bimodulous aluminum foam sandwich beam[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2015, 32(6): 63-67.
[13] 吴晓, 黄志刚, 杨立军. 考虑剪切效应时双模量梁的自由振动[J]. 振动与冲击, 2015, 34(24): 160-163.
WU Xiao, HUANG Zhigang, YANG Lijun. Natural vibration of bimodulous beam considering shear effect[J]. Journal of Vibration and Shock, 2015, 34(24): 160-163.
[14] 铁摩辛柯 S, 盖尔 J. 材料力学[M]. 韩耀新, 译. 北京: 科学出版社, 1990: 378-380.
TIMOSHENKO S, GAL J. Mechanicsofmaterials[M]. HAN Yaoxin, trans. Beijing: Science Press, 1990: 378-380.
[15] 阿巴尔楚米扬. 不同模量弹性理论[M]. 邬瑞锋, 张允真, 译. 北京: 中国铁道出版社, 1986: 13.
AMBARTSUMYAN S A. Elasticity theory of different modulus[M]. WU Ruifeng, ZHANG Yunzhen, trans. Beijing: China Railway Press, 1986: 13.
[16] 吴家龙. 弹性力学[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001: 117-129.
WU Jialong. Elastic mechanics[M]. Beijing: Higher Education Press, 2001: 117-129.
(编辑 陈灿华)
收稿日期：2017-12-22；修回日期：2018-02-10
基金项目(Foundation item)：湖南省科技计划项目(2011SK3145)；湖南“十二五”重点建设学科项目(湘教发［2011］76号)；湖南省自然科学基金资助项目(2015JJ6073)(Project(2011SK3145) supported by the Hunan Science and Technology Plan; Project((Hunan Education[ 2011]76)) supported by Hunan “Twelfth Five-Year Plan” Key Construction Subject; Project(2015JJ6073) supported by the Natural Science Foundation of Hunan Province)
通信作者：吴晓，教授，从事工程力学研究；E-mail：wx2005220@163.com
