DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.12.020

基于渐进性能分析的最优分布式量化检测算法

郭黎利，高飞

(哈尔滨工程大学 信息与通信工程学院，黑龙江 哈尔滨，150001)

摘要：针对无线传感器网络中对发送功率和传输带宽限制的问题，提出基于规则量化(RQ)和不规则量化(NRQ)的一比特分布式检测算法。该检测方案在传感器节点处引入量化器，整个系统采用并行结构，由N个带有量化器的传感器节点组成。融合中心处采用广义似然比检验(GLRT)作为融合准则，并根据接收到的二进制信息作出全局判决。通过仿真实验对所提出的检测方案性能进行验证，并与未量化的检测方案进行比较。仿真结果表明：最优量化阈值提升了融合中心的检测概率，在理想信道和差错信道(BSC)下，基于不规则量化方案的检测系统性能明显优于基于规则量化方案的检测系统。

关键词：无线传感器网络；一比特量化；分布式检测；广义似然比检验

中图分类号：TN911.23             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2015)12-4529-06

One-bit quantization design for distributed detection based on asymptotic analysis

GUO Lili, GAO Fei

(College of Information and Communication Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Abstract: In view of transmission power/bandwidth constrains in wireless sensor networks (WSNs), two distributed detection schemes, namely, 1-bit regular quantizer (RQ) and 1-bit non-regular quantizer (NRQ), were proposed. The quantizers were employed in local sensor nodes. The decentralized detection system, adopting parallel structure, consists of N sensor nodes with quantizers. The generalize likehood ratio test (GLRT) was employed as a fusion rule at the fusion center (FC), where a global decision was performed. The performances of the proposed schemes were verified by a simulation, and the proposed schemes were compared with each other as well as with those without quantization. The results show that the detection performance is improved by optimizing the local quantization threshold. The performance of the 1-bit GLRT detector based on NRQ scheme outperforms the counterpart based on RQ scheme, either in a perfect channel or in binary symmetric channel (BSC).

Key words: wireless sensor networks; 1-bit quantization; distributed detection; GLRT

无线传感器网络(WSNs)^[1-2]由被安置在所监测区域内大量微小的传感器节点组成，通过协同工作完成对指定物理量(如温度、湿度等)的测量，或者对特定事件(如移动的目标、声源等)的检测。近年来，对WSNs所进行的很多研究工作^4[3-5]都假设本地传感器节点直接将原始观测信息传输给融合中心(FC)，由FC最终作出全局判决。实际上，由于无线信道具有高速动态性，在频谱资源和发射功率受限的情况下可能会导致通信错误。在通信资源受限时，各个传感器节点需将感知到的原始信息量化后，再传送至FC。在FC处根据某种融合准则对待检测信号进行实时检测。研究者对受限的分布式检测方面已展开大量的研究^[6-8]，其中本地传感器节点均使用相同的一比特量化器来对原始观测信号进行压缩处理。文献[9]研究基于量化观测的参数估计问题，通过将传感器从数量上等分为2组，分别使用不同的量化阈值对原始观测信息进行量化，结果表明每组的量化阈值与待估计的未知尺度参数有关。但文中并未证明这种方案为最优量化方案。文献[10]给出了固定量化方法的解析表达式。由于待估计参数θ未知，最优量化门限τ=θ很难确定。为了解决上述问题，文献[11]提出了一种分布式自适应量化方法。量化阈值从本地一个传感器节点向另一个节点动态地调整，逐渐逼近未知参数。为了更好地检测和估计性能，很多文献对本地量化准则进行研究。文献[12]中，在给定未知参数值范围的情况下，通过将克莱姆下限(CRB)最恶劣情况最小化，得到二进制反对称量化器。相较于一比特的广义似然比检测器(GLRT)，文献[13]提出在计算上更为有效的一比特Rao检测器。但是由于量化过程会大量地损失有用信息，一比特Rao检测器在性能上与未量化的检测器^[14]相比有相当大的差距。此外，有些学者还考虑一个比较直观的想法：与一比特方案相比，多比特包含更多观测信息，因此系统的性能会更优。文献[15-18]对基于多比特量化观测的分布式检测与估计算法进行了研究。本文作者基于GLRT渐进理论，主要研究在WSNs中，使检测性能达到最优的局部量化准则。

1  网络模型与问题描述

假设WSNs系统由N个空间中分布的传感器节点组成，这些传感器节点分别感知环境中感兴趣的信号。假设观测信号为高斯信号，服从均值为m、方差为的高斯分布。为简化问题，设均值为0(m=0)。因此，每个传感器节点处的二元假设问题可以描述为

，         (1)

式中：x_n表示第n个传感器节点的原始观测值，均服从均值为0的高斯分布，并且假设各个观测值之间相互独立；(i=0，1)分别表示在零假设H₀或备选假设H₁下观测信号的方差，其中未知，已知。本文的研究背景是大量的传感器节点在信号功率正常的环境(已知的)中对突发的功率变化(未知的)进行 监测。

由于WSNs中存在带宽以及功率限制的要求，本地传感器节点需要将感知到的原始观测信息{x_n}量化为一比特数据{b_n}。将这些量化后的比特信息通过差错信道传送至FC。FC基于接收到的量化观测数据根据某种融合准则对事件发生与否进行实时判决。本文主要研究在上述应用背景下的一比特量化器最优量化阈值的选取以及FC处相对应的融合准则。

2  基于GLRT的融合准则

假设每个传感器节点处的量化阈值已经预先确定好，量化后的二进制信息通过二元对称信道(BSC)传输至FC。最后，由FC根据接收到的量化观测信号对未知突发事件的发生与否进行全局判决。

2.1  一比特量化方案

在每个传感器节点处分别讨论2种情况：采用规则量化方案(RQ)和不规则量化方案(NRQ)。1-bit RQ^[19]在给定量化阈值后，将原始观测信息x_n量化为一比特的二进制信息b_n，

，       (2)

式中：x_n表示第n个传感器节点处本地原始观测值；b_n表示量化后的二进制信息。为了简化分析，将备选假设H₁下的x_n描述为

，              (3)

式中：表示与x_n同分布的随机变量，均值为0，方差为1；为待检测的未知尺度参数。在假设H_i(i=0，1)，b_n的概率质量函数(PMF)可表示为

   (4)

式中：表示的积累分布函数(CDF)。与RQ相比，1-bit NRQ^[19]采用1对对称的量化阈值，可表示为

，       (5)

在该量化方案中，对H_i(i=0，1)，b_n的PMF为

 (6)

2.2  差错信道

令b_n为由RQ(2)或NRQ(5)对原始观测信号量化后得到的二进制信号。假设所有传感器节点与FC之间的差错信道相互独立，每一个信道可以建模为BSC，

          (7)

式中：y_n为当发送b_n时FC处所接收到的信号；为BSC的转移概率。在假设H_i(i=0，1)下，FC处接收信号y_n的PMF可表示为

 (8)

式中：表示式(4)或(6)中描述的量化方案下的PMF。

2.3  GLRT检测器

运用GLRT来解决式(1)中的检测问题。GLRT检测器利用未知尺度参数的最大似然估计(MLE)来代替未知尺度参数，从而得到如下检测器：

           (9)

式中：为FC处的接收信号；T(y)为检测统计量；(i=0，1)为y在对应的量化方案下的PMF或似然函数；为在备选假设H₁下的MLE，η为检测器门限。由于{y_n}是相互独立的，在RQ方案下，在备选假设H₁下的似然函数(LF)表示为

       (10)

相应地，在使用NRQ方案下，在备选假设H₁下的LLF表示为

      (11)

在零假设H₀下，y的PMF表示为。为未知尺度参数的MLE，即。式中，为在备选假设H₁下的LF。对于RQ和NRQ 2种量化方案，很难得到的解析表达式。然而，通过仿真可以有效地验证这类MLE可以通过常规的优化方法得到。图1所示为在理想信道()和差错信道()下，基于RQ和NRQ 2种量化方案的与未知尺度参数关系。从图1可以看出：在理想信道下，基于RQ和NRQ量化方案的LF均为的凸函数，有唯一最大值；在非理想信道下，虽然基于RQ和NRQ量化方案的对数LF并非凸函数，但仍可以通过简单的优化方法求得最大值。4种情况的估计值(叉号)与真实值()非常接近。通过分别利用未知尺度参数的MLE，即和来代替式(9)中的未知尺度参数，最终可以得到基于RQ和NRQ的一比特GLRT检测器。

图1  RQ与NRQ方案在理想信道和差错信道下的与σ₁之间的关系(N=100，σ₁=2)

Fig. 1   of RQ and NRQ schemes over perfect and BSC channels vs. σ₁ (N=100, σ₁=2)

3  最优量化阈值的选取

3.1  渐进性能分析

根据文献[20]中的理论可知，当，GLRT的检测统计量近似地服从

           (12)

式中：a为渐进分布，为自由度(DOFs)为的中心化卡方分布；表示DOFs为r、非中心化参数为λ的非中心化卡方分布。非中心化参数λ可以表示为

          (13)

式中：为费舍尔信息(FI)，通过对求关于的二阶导数，再取负期望得到，即

  (14)

。对于RQ方案，可以表示为

         (15)

对于NRQ方案，FI可以通过计算得到：

       (16)

式中：表示的概率密度函数(PDF)。根据式(12)中提出的GLRT检测器渐进统计特性可知，系统的虚警概率为

            (17)

式中：为Q函数，定义为标准正态分布的右尾概率。通过计算得到系统的检测概率为

           (18)

式中：表示DOFs为n、非中心化参数为λ的非中心化卡方分布的右尾概率。

3.2  一比特量化器的优化准则

通过利用GLRT在大数据情况下的结论^[20]可以看出：当给定虚警概率P_FA时，非中心化参数λ越大，则系统的检测性能越好。由式(13)可知，非中心化参数λ是关于费舍尔信息FI的函数，而FI与量化门限τ_n有关。因此，通过最大化非中心化参数λ，可以得到使GLRT达到最佳性能的量化阈值τ_n。由于{y_n}相互独立，上述优化问题可以分解为N个独立的量化阈值优化问题。因此，最优的量化阈值对于所有的传感器节点是一致的。优化问题可以表示为

，           (19)

式中：分别为由式(15)或(16)表示的RQ或NRQ方案下的变量。图2所示为RQ与NRQ方案在理想/差错信道下的非中心化参数λ与之间的关系，其中表示在备选假设H₁下，量化门限与标准差的比率。从图2可以看到：在无传输差错()和BSC() 2种情况下，基于RQ方案的非中心化参数关于零点对称。而基于NRQ方案的非中心化参数只存在正半轴部分，由于τ_n总是正的(在式(5)中定义)，负半轴的部分可忽略不计。因此，无论在理想信道还是非理想信道下，基于RQ和NRQ方案的最优量化阈值τ^*很容易通过数值搜索的方法得到，所得到的结果如表1所示。与文献[6-78]中零量化阈值τ=0的一比特量化方案相比，虽然本例中的一比特 RQ方案与其结构相同，但在量化阈值是经过优选的。从表1可以看出：在BSC下，基于RQ和NRQ方案的最优量化阈值τ^*相较于无差错信道下的最优量化阈值有所改变，并随着转移概率的改变而调整，且与待检测的未知尺度参数无关。这说明相较于文献[9]和[10]中的方法，本例中基于量化的检测算法是可行的，不受未知参数的影响。

图2  RQ和NRQ方案在理想信道和差错信道下λ与的关系图(N=100)

Fig. 2  λ of RQ and NRQ schemes over perfect and BSC channels versus  (N=100)

表1  在不同下基于RQ和NRQ方案的最优一比特量化器阈值τ^*

Table 1  one-bit quantization of RQ and NRQ schemes with perfect and BSC channels

3.3  未量化的GLRT检测器

在基于RQ和NRQ的一比特GLRT检测算法中，本地传感器节点的原始观测信号被量化成一比特信息，再传输到FC，这样极大地节约了传输数据所需要的带宽。但是与未量化的情况相比，原始信息地大量减少，必然导致系统检测性能的下降，因此，补偿这部分性能损失需要增加本地传感器节点的数量。因此，考虑未量化情况下的GLRT检测方案，其接收到的信号为各个传感器节点未经量化处理的原始观测信号。由于未经过量化，无信息损失，因此，将其作为检测性能的上界。在未量化的GLRT检测器的讨论中，采用与式(1)同样的二元假设检验模型，文献[20]给出在这种检验背景下的MLE为，通过计算得到未量化的GLRT检测器为

     (20)

式中：“NQ”表示数据未量化，直接被传送至FC。根据渐进性能分析理论可知，当本地传感器个数足够大即时，其修正的检测统计量渐进服从如下分布：

         (21)

非中心化参数通过计算可得

           (22)

由式(22)可知：非中心化参数与本地传感器节点数和2个假设H₀和H₁下观测的标准差有关。

4  仿真结果

图3所示为在理想信道和差错信道下，基于RQ和NRQ量化方案的一比特GLRT的检测性能与本地传感器节点个数的关系。未量化的GLRT检测器作为检测性能的上界也一并在仿真中讨论。对于仿真中的最优量化阈值，根据不同的信道环境分别从表1中选取。假设高斯信号x_n的标准差在H₀和H₁下分别为σ₀=1和σ₁=2。BSC的转移概率设为0.1，即。图3中，所有的实线表示理论上的检测概率，“+”号表示通过10⁵独立蒙特卡罗仿真得到的检测概率。从图3可以看出：当检测概率达到P_D=0.9时，未量化的GLRT检测器需要4个本地传感器节点。在理想信道下，要达到相同的检测概率，基于RQ量化方案的一比特GLRT检测器需要约15个本地传感器节点，而基于NRQ量化方案的一比特GLRT检测器仅需要其1/2数量的本地传感器节点数(约为7个)。在BSC下，由于存在传输差错，基于RQ和NRQ量化方案的一比特GLRT的检测性能大幅度衰减。在差错信道情况下，基于NRQ的一比特GLRT检测器在有15个本地传感器节点时，检测性能可达到P_D=0.94左右，而在同样传感器数下，基于RQ的一比特GLRT检测器的检测性能仅达到P_D=0.6左右。基于NRQ量化方案的检测系统在差错信道下的检测性能略微优于在理想信道()下的基于RQ量化方案的检测系统。从图3还可以看出：随着本地传感器数的增大，蒙特卡洛仿真点与理论分析曲线一致，从而证明理论分析的正确性。

图4所示为NRQ量化方案在下的检测性能对比结果。选取4组量化阈值：τ=0.5σ₀，τ=σ₀，τ=2σ₀，τ=2.5σ₀，与本文优选的量化阈值τ^*=1.482 1σ₀进行性能对比。从图4可以看出，这4组非优选的量化阈值会导致不同程度的检测概率降低。

图3  在理想信道和差错信道下基于RQ和NRQ方案与未量化方案的系统性能对比(P_FA=0.1)

Fig. 3  Performance comparisons of RQ and NRQ schemes under different scenarios and un-quantized detector (P_FA=0.1)

图4  NRQ方案在不同量化阈值τ下的系统性能对比(P_FA=0.1)

Fig. 4  Performance comparisons of NRQ schemes with several choices of threshold τ (P_FA=0.1)

5  结论

1) 在无线传感器网络背景下，对基于RQ和NRQ的一比特GLRT检测算法进行了研究。利用在大数据情况下GLRT的渐进性能作为优化准则来构造优化问题。运用常规的极值求解算法得到在不同检测环境下的最优量化器阈值，并利用这些最优量化阈值对系统的检测性能进行了仿真比较。

2) 最优量化阈值提高了融合中心的检测概率，并且其选取不受待检测的未知参数的影响。所提出的方案无论在理想信道还是在差错信道下，基于NRQ量化方案的检测系统性能明显优于基于RQ量化方案的系统性能。

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(编辑  赵俊)

收稿日期：2015-01-13；修回日期：2015-04-20

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(61271263，60772129)(Projects(61271263, 60772129) supported by the National Natural Science Foundation of China)

通信作者：郭黎利，博士，教授，从事数字通信系统和扩频通信技术研究；E-mail：guolili@hrbeu.edu.cn