正交正弦基拟合的SNCK谐波线谱去除方法
周彬1，孙志国1, 2，晏慧强1，郭黎利1
(1. 哈尔滨工程大学 信息与通信工程学院，黑龙江 哈尔滨，150001；
2. 北京交通大学 轨道交通控制与安全国家重点实验室，北京，100044)
摘要：针对正弦型非线性切普键控(sine non-linear chirp keying，SNCK)信号频域谐波线谱成分严重影响其边带抑制能力的问题，提出一种采用正交正弦基拟合去除其谐波线谱的波形优化方法。实验结果表明：SNCK信号经过波形优化后，可有效去除其各次谐波线谱，频域能量集中度得到提高，波形样本互相关系数与原始信号相比有所降低，从而增强了其抗干扰能力。
关键词：通信技术；正弦型非线性切普键控；正交正弦基拟合; 波形优化
中图分类号：TN911 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2013)11-4527-07
SNCK harmonic spectral lines removal scheme based on orthogonal sinusoidal basis fitting
ZHOU Bin1, SUN Zhiguo1, 2, YAN Huiqiang1, GUO Lili1
(1. College of Information and Communication Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China;
2. The State Key Laboratory of Rail Traffic Control and Safety, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China)
Abstract: Because of the harmonic spectral lines of the sine non-linear chirp keying (SNCK) seriously affect the sideband inhibition ability, a new waveform optimization scheme was proposed by using the orthogonal sinusoidal basis fitting method to remove the harmonic spectral lines. The results show that the optimized SNCK waveform successfully removes harmonic spectral lines by the proposed scheme. The high frequency domain energy concentration can be obtained, and the cross correlation coefficient of the waveform simples is lower than the original signal, which enhances the anti-interference ability.
Key words: communication; sine non-linear chirp keying; orthogonal sinusoidal basis fitting; waveform optimization
甚小波形差键控[1](very-minimum waveform difference keying, VWDK)、扩展的二元相移键控[2](extended binary phase shift keying，EBPSK)和甚小线性调频键控[3](very minimum chirp keying，VMCK)是为有效提高频谱利用率而提出的调制技术，这些调制技术已成为该领域的研究热点。文献[4]研究了VWDK信号线谱去除技术；文献[5]对EBPSK信号进行了波形优化；文献[6]研究了VMCK调制波形的功率谱优化方法。上述方法有诸多技术优势，同时也存在一些缺陷：VWDK信号波形过渡不平滑；EBPSK信号存在相位跳变，解调算法较复杂；VMCK信号存在频率跳变、调制参数设置不灵活。针对上述问题，本文作者研究了一种能使信号相位和频率均连续的调制方式 —— 正弦型非线性切普键控[7](sine non-linear chirp keying，SNCK)。目前对该信号的研究包括多方面，如在SNCK信号中引入记忆性来提高其解调性能[8]、基于SNCK正交信号基的多载波并行传输[9]。为进一步提高SNCK信号的边带抑制能力，重点研究去除SNCK信号谐波线谱的波形优化方法。
1 SNCK调制及频域特性
1.1 SNCK调制原理
SNCK调制以正弦型非线性切普信号为载波样本，通过控制频率变化曲线的极性来载荷信息。SNCK已调信号波形样本的频率变化曲线如下[7]：
, 
(1)
式中：
为发送的码元；fc为载波频率；T为码元周期；D为时间-带宽积，即D=TB；B为调频带宽。
根据式(1)可得出b=1和b=-1的SNCK已调信号波形样本频率变化曲线，见图1。
图1 SNCK信号波形样本频率变化曲线
Fig.1 Frequency curves of SNCK signal waveform samples
根据式(1)可得初始相位和码元间隔内相位偏移均为0的SNCK已调信号波形样本：
, (2)
为了保证已调信号相位连续，载波频率应为码元速率的整数倍，即M=Tfc为正整数。由于
，可得D的取值范围为
。
若设s1(t)和s-1(t)的互相关系数为
，则有
(3)
式中，
和
分别为SNCK信号波形样本的能量。经推导可得：
(4)
式中，
为第一类n阶贝塞尔函数。
选取适当的D，可实现SNCK正交调制。为提高SNCK调制的频带利用率，D应尽量小。由式(4)可知，使s1(t)和s-1(t)正交的最小D为
。
1.2 SNCK信号频域特性
SNCK已调信号可表示为
(5)
式中：gn表示第n个信息码元，取值为0和1，且等概率出现。
sSNCK(t)的均值和自相关函数分别为：
(6)
式中：ms表示gn的均值。则有
(7)
可见，sSNCK(t)为周期宽平稳信号[10]，其功率密度谱函数sSNCK(t)可表示为[11]
(8)
式中：
；
。
分析式(8)可知：SNCK信号功率密度谱由连续谱和离散线谱组成，离散线谱表征信号的周期成分。SNCK信号周期成分对应的时域表达式为
(9)
图2所示为SNCK信号频率归一化功率密度曲线，其中，图2(a)和2(c)分别为D=1和
的理论推导结果，图2(b)和2(d)为基于Welch平均周期图法[12]的仿真曲线。仿真条件如下：载波频率为2 kHz，码元速率为1 kb/s，采样频率为32 kHz，
。
图2 SNCK已调信号的功率密度曲线
Fig.2 PSD of SNCK signals
由图2可知，理论推导和仿真结果基本吻合；当时，SNCK信号离散线谱能量较大，使得占用带宽变宽，频域能量集中度偏低；当D减小时，其占用带宽较窄，边带抑制能力较好，但波形样本的相关值变大，使其解调性能下降。在不降低信号抗干扰能力前提下，为了提高信号的边带抑制能力，信号发射前需要经过成型滤波器[13]，增加了发送端的复杂度。
离散线谱表征信号中的周期，它不载荷信息，可以被去除。由于SNCK调制隶属于超窄带调制范畴，需要强功率的载波泄露，这是其固有缺陷，但也是实现与现有调制共带传输的基础[14]，所以，需要保留载波。
2 SNCK谐波线谱去除方法
若直接应用数值分析方法对SNCK信号进行频谱分析，则由于其解析解包含1个双重三角函数积分项，因此，很难计算得到精确解。本节通过波形拟合的方法去除SNCK信号的谐波线谱。
2.1 正交正弦基拟合
波形拟合方法经常用于信号分析[15]，按照傅里叶分析理论，任何曲线都可看成是由大量谐波组合而成，并且可将曲线表示成：
(10)
式中，n为谐波项数，取值根据曲线复杂程度而定；an为第n个谐波分量对应的幅度系数，计算公式为
(11)
经研究发现，在1个码元周期内的SNCK已调信号没有直流分量，则进行拟合时a0=0。为了简化表达式，一般采用正交正弦基进行拟合，即
(12)
的SNCK已调信号波形样本拟合效果如图3所示，仿真条件为：载波频率2 kHz，码元速率1 kb/s，采样频率32 kHz，谐波项数取13。将拟合波形与原波形进行比较，发现正交正弦基可以对SNCK波形样本完全拟合。
图3 正交SNCK信号波形样本拟合
Fig.3 Fitting of orthogonal SNCK signal waveform samples
2.2 SNCK谐波线谱去除
将SNCK信号中的周期成分sc(t)通过正交拟合，展开成正交正弦基之和的形式：
(13)
(14)
式中：fc为信号的载波频率。
由式(2)和式(9)可得：
(15)
当式(14)中n为奇数时，
(16)
分析式(16)积分号内各项，在[0, T]区间内，
关于时间轴上t=T/2点奇对称；
和
关于直线t=T/2偶对称。则积分号内整体表达式关于时间轴上t=T/2点奇对称，则式(16)积分为0，即
; k=0, 1, 2, … (17)
式(13)变为
(18)
式中：
。
通过上述推导可得在保留载波的条件下，去除各次谐波线谱的SNCK已调信号波形样本表达式：
(19)
(20)
(21)
双重三角函数可通过Bessel函数公式[16]展开：
(22)
将式(22)代入式(21)可得：
(23)
式中，
。
2.3 仿真验证
图4所示为去除谐波线谱的SNCK已调信号样本波形。仿真条件为：载波频率2 kHz，码元速率1 kb/s，采样频率32 kHz，。此时M=2。与图3对比，去除谐波线谱后，信号波形不再是恒幅的，但仍保持相位的连续，所以，优化后的SNCK信号频谱不会展宽。
图4 去除谐波线谱的SNCK已调信号样本波形
Fig.4 SNCK signal waveform samples with harmonic spectral lines removed
图5所示为的SNCK信号频率归一化功率密度曲线。优化后的SNCK信号各次谐波线谱已被有效去除，边带抑制性能提高约30dB。
由于优化后的SNCK信号，边带抑制性能较好，在发射端不需要复杂的成型滤波器。经进一步分析，优化后的SNCK信号中不再携带谐波线谱分量，故提高了通信系统的功率利用率。
3 不同情况下的正交性分析
3.1 频域能量集中度
为了定量分析优化后的SNCK信号频域能量集中度，引入衡量参数P，定义为
频带内信号能量与全带信号能量的比值，C为信号频带截取宽度，则
图5 SNCK已调信号的功率密度曲线
Fig.5 PSD of SNCK signals
(24)
式中：S(f)为信号功率谱。根据式(24)可画出的参数P随截取宽度变化的曲线(图6)，其中，Cb=CT为归一化频域截取宽度。
图6 信号频域能量分布图
Fig.6 Frequency domain distribution of signal energy
SNCK信号在Cb=2处存在阶梯型跳变，这是谐波线谱造成的。去除谐波线谱的SNCK信号，阶梯型跳变消失，并且在Cb=0~2范围内，P提高了0.05~0.15。可见，正交正弦基拟合优化去除谐波线谱的方法，提高了SNCK信号的频域能量集中度，有利于实现SNCK信号与现有调制方式信号的共带传输。
3.2 相关性
根据互相关系数表达式(3)，可得去除谐波线谱的，SNCK已调信号波形样本互相关系数为
(25)
式中：
；
。
将式(19)和式(20)代入式(25)，可得
(26)
根据式(4)和式(26)可得SNCK信号互相关系数随D变化的曲线(图7)，其中M=2。可见：当D＞1时，去除谐波线谱的SNCK信号波形样本互相关系数明显比原始SNCK信号的低。
3.3 解调性能
在加性高斯白噪声信道、假定同步的条件下，SNCK信号相关解调误码率(Pe)公式[17]为
(27)
式中：Eb为信号的能量；N0为高斯白噪声单边功率谱密度；为已调信号波形样本归一化相关值；Q(x)为误差补函数。
图7 SNCK已调信号波形样本互相关曲线
Fig.7 Correlation coefficient curve of SNCK signal waveform samples
可见采用相关解调算法的接收机误码率，主要取决于信号波形样本之间的相关性。SNCK已调信号波形样本的相关系数见表1。从表1可知，波形优化使SNCK已调信号波形样本的相关系数减小，说明其解调性能增强。
表1 SNCK已调信号波形样本相关系数
Table 1 Correlation coefficient of SNCK modulated signals
图8所示为D=1和的SNCK信号优化前后的误码率曲线。仿真条件为：加性高斯白噪声信道，假定同步，每个误码率仿真了200 000个信息码元，载波频率2 kHz，码元速率1 kb/s，采样频率32 kHz。从图8可见：该优化方法在去除信号谐波线谱的同时，还可以提升信号抗干扰能力。
进一步分析，经过优化后SNCK信号误码率降低，解调性能得到改善。并且当时，SNCK信号抗干扰能力改善效果比D=1时的更好，但信号波形的幅度也会出现较大的波动，故其抗幅度衰落性能下降。
图8 SNCK信号误码率曲线
Fig.8 BER of SNCK signals
4 结论
(1) 采用一种基于正交正弦基拟合的方法，对SNCK信号进行波形优化，提高了其边带抑制能力。
(2) 该方法可有效去除SNCK信号的各次谐波线谱，提高了信号的频域能量集中度，并对信号的抗干扰能力有所改善，有利于实现SNCK信号与现有调制方式信号的共带传输。
(3) 波形优化后的SNCK信号不再具有恒幅特性，降低了其抗幅度衰落能力。下一步可研究减小信号波形幅度波动的波形优化方法。
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(编辑 赵俊)
收稿日期：2012-11-05；修回日期：2013-01-05
基金项目：国家自然科学基金资助项目(61101141)；轨道交通控制与安全国家重点实验室开放课题基金项目(RCS2011K009)
通信作者：周彬(1985-)，男，河北唐山人，博士研究生，从事现代通信技术及调制解调技术研究；电话：13946035621；E-mail: zhoukkbin@hrbeu.edu.cn
