DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.11.039
基于响应面的新型索拱桥非线性索力优化
胡常福1，李辉辉2，任伟新3，上官兴1
(1. 华东交通大学 土木建筑学院，江西 南昌，330013；
2. 湖南大学 土木工程学院，湖南 长沙，410082；
3. 合肥工业大学 土木与水利工程学院，安徽 合肥，230009)
摘要：提出新型索拱桥非线性索力优化方法。该方法基于均匀设计与二次多项式响应面方法，构造新型索拱桥弯曲应变能与索力的非线性近似函数，并结合牛顿迭代法搜索其最优索力。以跨径为600 m的索拱桥作为算例，分别使用本文方法、线性的影响矩阵法、基于有限元的牛顿迭代优化法及随机搜索迭代优化法对该算例进行非线性索力优化分析，并在主拱圈弯矩优化结果、优化耗费时间及优化迭代次数方面进行比较，以验证本文方法的有效性及适用性。研究结果表明：本文所提的基于均匀设计响应面与牛顿迭代相结合的方法，在新型索拱桥非线性索力优化中有较好的适用性，其弯矩极值比线性的影响矩阵法所得极值小18.42%，弯曲应变能小33.47%，运算时间比基于有限元的牛顿迭代优化法的时间少85.22%，迭代次数比随机搜索优化法的次数少99.35%。
关键词：新型索拱桥；非线性索力优化；均匀设计；响应面法；牛顿迭代法
中图分类号：U441 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2015)11-4267-07
Nonlinear cable force optimization of new type arch bridges with diagonal web cables based on response surface method
HU Changfu1, LI Huihui2, REN Weixin3, SHANGGUAN Xing1
(1. School of Civil Engineering and Architecture, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China;
2. School of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China;
3. School of Civil Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)
Abstract: A nonlinear cable force optimization method for a new type arch bridges with diagonal web cables was proposed, whose approximate nonlinear function between bending strain energy and cable force was obtained by uniform design and quadratic polynomial response surface method. The optimal cable force was obtained by Newton iteration method at the end based on this approximate nonlinear function. A 600 m span arch bridge with diagonal web cables was used as an example to test the effectiveness and applicability of the proposed method, through the comparisons in the main arch ring bending moment optimization results, optimizing time-consuming and optimization iteration between four methods, which includes the proposed method, linear influence matrix method, Newton iteration method based on finite element model, and random search optimization method. The results show that the proposed method based on uniform design response surface method and Newton iteration method is applicable in this new type arch bridges, and the results of proposed method have 18.42% reduction in extreme bending moment and 33.47% reduction in bending strain energy compared to those of the influence matrix method, 85.22% reduction in optimizing time-consuming compared to that of Newton iteration method based on finite element model, and 99.35% reduction in optimization iterations compared to that of random search optimization method.
Key words: new type arch bridge with diagonal web cables; nonlinear cable force optimization; uniform design method; response surface method; Newton iteration method
上承式索拱桥[1]是与普通上承式拱桥有较大不同的一类拱桥结构，它使用斜向拉索将主拱圈与桥面系纵梁连成带斜索的桁式结构，并在两端桥台处将纵梁锚固，以平衡桁式悬拼施工的水平拉力。它是在桁式组合拱桥[2]基础上革新后的桥型，将后者的预应力混凝土刚性拉杆调整为柔性斜拉索，因而对主拱圈内力状况具有可调控的能力，与此相对应的索力优化也成为此类桥型的主要问题之一。任亮等[3]使用零弯矩法对天子山大桥的施工索力进行优化，并使用影响矩阵法对其成桥索力进行优化；刘迎春等[4]使用考虑索力间相互影响的双影响矩阵法，对索拱桥进行索力优化；胡常福等[5]基于影响矩阵基本原理提出实用优化方法，并对索力与拱轴线进行双优化。这些工作均对索拱桥的索力优化发展起了一定作用。由于斜拉索对主拱圈内力的可调控功能，使索拱桥的跨越能力大大增加，初步设计工作表明跨径为600 m的索拱桥方案[6]成立。由于影响矩阵法[7]的基本条件为单位索力增量对受调向量的线性叠加，不适用于几何非线性下索力调整的计算，而在跨径为600 m的索拱桥中，几何非线性效应较明显[8]，因此，必须寻找适合此种情况下的非线性索力调整方法。在桥梁非线性索力优化方面，陶海等[9]在主跨为240 m的斜拉桥索力的优化中，使用基于有限元模型的强次可行序列二次规划法；张建民等[10]在对苏通大桥进行索力优化时，使用基于有限元模型基础上的一阶优化法，取得较好的效果；高立强等[11]在解决梁拱组合桥梁支架施工的接触非线性索力张拉过程计算时，构造初始索力与最终索力关系的割线模量，采用类似非线性有限元平衡迭代的割线求解法；李斐然等[12]在解决弯梁斜跨拱桥的非线性索力优化时，使用基于有限元模型的约束松弛二次规划算法；Sung等[13]在对主跨为118 m的异型斜拉桥进行索力优化时，将弯曲与压缩总应变能作为优化目标，对成桥索力进行优化；Hassan等[14]在对主跨为285.6 m的斜拉桥进行非线性索力优化时，使用基于有限元的遗传算法，取得较好效果；张杨永等[15]在跨径为1 400 m的斜拉桥恒载索力优化时，使用基于有限元的最优梯度法来寻求其最优索力；孙传智等[16]在优化主跨为72 m的系杆拱桥索力时，使用响应面法拟合索力与优化目标的函数关系，并使用非线性规划法进行优化，取得较好的效果。这些非线性索力调整均建立在耗时的非线性有限元基础上进行优化，因而计算成本高，阻碍其进一步工程应用。为解决此问题，本文作者引入均匀设计与二次多项式响应面法，建立索力与弯曲应变能的显示函数关系，再通过牛顿迭代优化法求解其最优索力。以跨径为600 m的索拱桥为例，分别使用本文方法、影响矩阵法、基于有限元的牛顿迭代优化法和随机搜索迭代优化法进行索力优化，在主拱圈弯矩优化结果、优化耗费时间、优化迭代次数方面进行比较。
1 基于响应面的索力优化
1.1 基于均匀设计的响应面法
响应面法(response surface method)最初由Box 等[17]提出，它通过1组经试验设计的样本点回归拟合出响应与参数之间复杂的隐式函数关系，是试验设计与数理统计相结合的方法[18]。常用的含有交叉项的二次多项式响应面为
式中：y为响应；
为n个参数；
为未知系数，共有
个。当对n个参数进行m次试验样本点观测后，可按下式计算未知系数矩阵
，即
式中：为未知系数矩阵，
；
X为由参数样本点构成的矩阵，
；
y为m个试验样本点的系统响应向量，
。评价如式(1)所示的响应面对真实隐函数的拟合程度，可测定系数R2与1的逼近程度来检验。样本点的选取对响应面的构造起到至关重要的作用，理论[19]与实践[20]表明，均匀设计可兼顾响应面精度与试验效率，具体方法可见文献[19-20]。
1.2 基于响应面的牛顿迭代法
若将索力作为响应面的参数，将弯曲应变能作为响应面的响应，即可基于响应面法来构造弯曲应变能与索力之间的近似函数关系，进而可使用优化方法来寻找弯曲应变能最小对应的索力即最优索力。由于此方法不要求假定结构满足线性要求，与结构是否非线性无关，因此，较适合大跨径索拱桥非线性索力优化。在数学优化算法中，同时考虑函数等值线负梯度与曲率方向搜索的牛顿迭代法[21]，迭代一步就能够到达二次函数的极值点及非二次函数的极值点邻近区域，较适合如式(1)所示的二次多项式响应面。
为此，本文提出基于均匀设计的二次多项式响应面与牛顿迭代相结合的优化法，来解决大跨径索拱桥非线性索力优化问题，其基本原理如下。
将如式(1)所示的二次多项式响应面
在
点附近展开成Taylor级数，可得
式中：x为参数向量，
；
为响应面在点的梯度矩阵，
；
为响应面在点的曲率矩阵，
；
当响应面取极值时，其一阶偏导数矩阵
，有
可得到新的迭代搜索点表达式：
即
1.3 基于响应面与牛顿迭代法的索力优化步骤
基于均匀设计的二次多项式响应面与牛顿迭代相结合的索力优化法步骤如下：
1) 建立考虑各种几何非线性的桥梁有限元模型；
2) 使用均匀试验设计理论构造样本点，并计算索力样本点的弯曲应变能；
3) 按求解响应面未知系数，构造二次多项式响应面；
4) 选取索力初始值
，并设定迭代容许误差
；
5) 计算判断是否满足
，若满足，则停止，否则进入下一步；
6) 使用构造第k+1个迭代点；
7) 计算判断是否满足
，若满足，则停止迭代，否则返回步骤6)继续迭代；
8) 输出最优索力。
2 跨径为600 m的索拱桥算例分析
2.1 跨径为600 m的索拱桥方案
索拱桥使用斜拉索将主拱圈与上弦相连，因此，具有斜拉索与柔性主拱圈所共有的几何非线性特点。斜向拉索具有的垂度效应，使索力与主拱圈弯曲应变呈非线性关系；在特大跨径索拱桥中恒载挠度达到米的量级，不仅形成大变形效应，而且与主拱圈及上弦轴力形成巨大的附加弯矩，使桥梁整体呈现几何非线性特点[8]。基于此，索拱桥的索力优化必须考虑几何非线性这个因素。
选一跨径为600 m的索拱桥方案[6]作为算例，以验证本文方法在解决大跨径索拱桥非线性索力优化的有效性与适用性，该桥型方案如图1所示。图1中：K为里程；
为伸缩缝宽度；h为高度；跨径L=600 m；矢高f=150 m。拱轴线为悬索线，立柱间距分别为40，45，50和60 m这4种，桥面系距拱顶为8.5 m；主拱圈采用大直径品型钢管，立柱为内含加劲肋的空钢管，上弦为波形钢腹板工字钢组成的纵横梁体系，行车道板为四钢混凝土(波形钢、钢纤维、钢丝网和钢筋混凝土)连续桥面板，斜拉索由直径为21.8 mm的平行钢丝束组成。
2.2 非线性有限元模型
鉴于ANSYS有限元软件的非线性计算精确性与强大的后处理功能，选用此软件作为本算例的非线性有限元建模平台。选用考虑了大变形效应、大扭转效应与剪切变形效应的beam188非线性梁单元，作为索拱桥的主拱圈、立柱与纵梁构件的单元类型选择；选用能够很好地模拟斜拉索只受拉的力学行为的link10非线性杆单元，辅以多段悬链线法、等效温差法及ANSYS二次开发技术[22]模拟斜拉索不同索力对结构的非线性效应。基于此，建立跨径为600 m的索拱桥的非线性有限元模型，其中包括600个主拱圈单元(每节间主拱圈划分为10个beam188单元)、924个纵梁单元(每节间纵梁划分为10个beam188单元)、180个立柱单元(每个立柱划分为5个beam188单元)及140个拉索单元(每个拉索划分为5个link10单元)。主拱圈与纵梁截面如图2所示。图2中：B为截面宽度；D为截面高度；φ为钢管直径；δ为钢板厚度；y上为截面上缘至形心的距离；y下为截面下缘至形心的距离。其他构件截面见文献[6]，拱脚、1~4号立柱座为固结约束，0号与5号仅设置为竖向约束以考虑此处的伸缩缝效应；荷载为构件自重及作用在纵梁的桥面系自重，其大小为63 kN/m。有限元模型求解时，打开大变形开关与
效应开关即可考虑全部几何非线性，使用弧长法进行求解即能得到考虑全部几何非线性情况下的索拱桥内力与位移。分析单元参数发现，该非线性有限元模型能较好地兼顾结果精度与模型计算效率。
图1 跨径为600 m的索拱桥方案示意图
Fig. 1 Schematic diagram of 600 m span arch bridge with web cables
图2 跨径为600 m的索拱桥构件截面详图
Fig. 2 Diagrams of member section of 600 m span arch bridge with web cables
2.3 非线性索力优化比较
为验证本文方法在索拱桥非线性索力优化分析中的适用性，在上述非线性有限元模型的基础上，分别使用本文方法与线性的影响矩阵法对本桥进行非线性索力优化，并在主拱圈弯矩极值和弯曲应变能方面进行比较。其中，本文方法为使用均匀设计表
[19]设计样本点，经有限元计算后构造主拱圈弯曲应变能与索力的二次多项式响应面，再使用牛顿迭代法寻找主拱圈弯曲应变能最小情况下的最优索力；线性的影响矩阵法为在初始索力为0 kN的线性有限元基础上求得主拱圈初始弯矩及单位索力(10 kN)增量对主拱圈弯矩影响向量，最终使用由矩阵方程求得弯曲应变能最小情况下的最优索力。为使结果具有统一可比性，不调索工况、影响矩阵法与本文方法的初始索力均为0 kN，且最终内力为索力优化后的考虑几何非线性的内力。不同优化方法的内力结果比较如图3与表1所示。
由图3可以看出：不调索工况、影响矩阵及本文方法的内力分布类型基本相同，但影响矩阵法的弯矩极值更大。由表1可以看出：与不调索工况相比，使用线性的影响矩阵法主拱圈最大正弯矩增大6.65%，最大负弯矩增大5.18%，主拱圈弯曲应变能增大16.51%，表明使用线性的影响矩阵法得到的内力结果比不优化工况得到的差；与不调索工况相比，本文方法的主拱圈最大正弯矩降低12.77%，最大负弯矩降低6.92%，主拱圈弯曲应变能降低17.96%；与影响矩阵法相比，本文方法的主拱圈最大正弯矩降低18.42%，最大负弯矩降低11.10%，主拱圈弯曲应变能降低33.47%。由于在超大跨径索拱桥中存在较强的几何非线性效应[8]，而以线性叠加为基础的影响矩阵法只适用于线性结构或几何非线性较小的桥梁结构索力调整计算，在几何非线性较强结构的索力调整则不适用，因此，本文方法比线性的影响矩阵法更适用于索拱桥的非线性索力优化。
为进一步检验本文方法优化迭代的效果，在上述非线性有限元模型的基础上，分别使用本文方法、基于有限元模型的牛顿迭代法及基于响应面模型的随机搜索迭代法对本桥进行非线性索力优化，其中本文方法为使用均匀设计表[19]设计样本点，经有限元计算后构造主拱圈弯曲应变能与索力的二次多项式响应面，再使用牛顿迭代法进行寻找主拱圈弯曲应变能最小情况下的最优索力；基于有限元模型的牛顿迭代法是在每个迭代步骤中，直接调用有限元模型生成梯度矩阵与曲率矩阵的优化方法；基于响应面模型的随机搜索迭代法是在得到主拱圈弯曲应变能与索力响应面的基础上，采用随机搜索法寻找最小弯曲应变能对应的索力。为使结果具有统一可比性，3种方法的初始索力均为0 kN，且均运行在处理器为Intel
CoreTM i3，CPU 530@2.93 GHz，内存为4.00 GB，操作系统为64位的计算机上。3种方法在调用有限元次数、迭代次数和运行时间方面进行比较如表2所示。
图3 2种优化方法内力比较图
Fig. 3 Main arch ring internal forces comparison of two optimization methods
表1 2种优化方法主拱圈内力比较表
Table 1 Main arch ring internal forces comparison of two optimization methods
表2 3种优化方法的主拱圈内力比较
Table 2 Main arch ring internal forces comparison of three optimization methods
由表2可以看出：在调用有限元模型方面，基于有限元模型的牛顿迭代法调用了203次有限元模型，本文方法与基于响应面模型的随机搜索法调用了30次有限元模型，本文方法的调用有限元模型次数比基于有限元的牛顿优化法的模拟次数少85.22%；在迭代运算方面，基于响应面模型的随机搜索法则迭代了620次，本文方法及基于有限元模型的牛顿迭代法进行了4次迭代运算，本文方法的迭代次数比随机搜索法的迭代次数少99.35%；在运行总时间方面，基于有限元模型的牛顿迭代法耗时97 444 s，基于响应面模型的随机搜索法耗时15 020 s，本文方法总耗时为14 404 s，本文方法的总耗时比基于有限元模型的牛顿迭代法少85.22%。因此，响应面模型最节省时间，而牛顿迭代法迭代次数最少。综合响应面与牛顿迭代法优点的本文方法，在调用有限元次数、迭代运算次数及运行总时间方面均具有较好的性能。
3 结论
1) 基于均匀设计的二次多项式响应面与牛顿迭代相结合的本文方法，在索拱桥的非线性索力优化中具有较好的适用性。
2) 由于超大跨径索拱桥具有较强的几何非线性效应，若以线性叠加为基础的影响矩阵法进行调索，则得不到最优索力。
3) 跨径为600 m的索拱桥非线性索力优化结果表明，本文方法所得的弯矩极值与线性的影响矩阵法所得的弯矩极值相比小18.42%，弯曲应变能小33.47%。
4) 本文方法的运算时间比基于有限元的牛顿迭代优化法的运算时间少85.22%，迭代次数比随机搜索迭代优化法少99.35%。
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(编辑 刘锦伟)
收稿日期：2014-12-05；修回日期：2015-02-13
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51478159, 51468019)；江西省科技支撑计划项目(20141BBG70089)；中国铁建科技项目(2011) (Projects(51478159, 51468019) supported by the National Science Foundation of China; Project(20141BBG70089) supported by Science and Technology Plan in Jiangxi Province; Project(2011) supported by China Railway Construction Corporation)
通信作者：胡常福，博士，讲师，从事拱桥力学研究；E-mail: changfu.hu@foxmail.com
