DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.01.041
风荷载作用下中空幕墙玻璃的非线性弯曲
吴晓，杨立军，黄翀
(湖南文理学院 土木建筑学院，湖南 常德，415000)
摘要：采用双模量弹性理论研究外荷载作用下中空幕墙玻璃的非线性弯曲问题，建立幕墙玻璃在外荷载作用下非线性弯曲的变形微分方程。将梁函数作为中空幕墙玻璃的非线性弯曲时挠度函数，用加权残值法求得中空幕墙玻璃非线性弯曲时的中心挠度，并将双模量弹性理论计算结果、单模量弹性理论计算结果与有限元计算结果进行比较。研究结果表明：双模量弹性理论计算结果是可靠的。
关键词：幕墙；玻璃；非线性；弯曲；双模量
中图分类号：TU313 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2015)01-0304-06
Nonlinear bending of hollow glass of curtain wall under uniform loads
WU Xiao, YANG Lijun, HUANG Chong
(College of Architecture and Civil Engineering, University of Arts and Science, Changde 415000, China)
Abstract: The nonlinear bending of hollow glass of curtain wall under uniform load was studied with double modulus elastic theory.The nonlinear bending differential equation of hollow glass of curtain wall was established. Taking the beam function as the nonlinear bending deflection function of hollow glass of curtain wall, the nonlinear bending center deflection of hollow glass was obtained using method of weighted residuals. Then the calculative results were compared with those obtained by finite element and single modulus elasticity theory. The results show that the method above is reliable.
Key words: curtain wall; glass; nonlinearity; bending; double modulus
随着高层建筑的发展和建筑立面的多样化，玻璃幕墙作为建筑师思想和现代技术的载体得到广泛应用[1]。然而，幕墙玻璃的承载力和刚度都很低，在使用过程中常常发生破坏和脱落[2]：因此，需对幕墙玻璃在强风等荷载下的强度和变形进行计算，这是玻璃幕墙设计中的一个重要环节[3]。中空幕墙玻璃是由玻璃面板、型材框架以及相互之间连接并与主体结构相连的结构体系，要承受风荷载、自重、地震、温度变化等作用[4]。对中空幕墙玻璃进行分析的目的是为了揭示此类结构的受力变形规律，为设计这种结构提供理论依据，使其尽可能地符合可靠、适用、经济等诸方面的要求[5-14]。玻璃、陶瓷等材料都具有拉压弹性模量不同的双模量特征，用双模量本构关系对这些材料制成的结构进行计算分析备受人们关注。一些研究者将幕墙玻璃作为各向同性材料来进行研究显然与实际情况不符。张其林[15]认为小变形理论忽略了中面拉力对位移和应力的阻止或抵消效应，因此，对幕墙玻璃中的玻璃面板应采用精确的几何非线性方法进行计算和分析。为此，本文作者采用双模量弹性理论研究风荷载作用下幕墙玻璃的非线性弯曲问题。
1 玻璃幕墙的拉伸区
框支承中空玻璃幕墙有明框玻璃幕墙和隐框玻璃幕墙2种。明框中空玻璃幕墙中空玻璃由铝合金框支承，隐框中空玻璃幕墙由结构胶将中空玻璃固定在铝合金框上。不管是明框玻璃幕墙还是隐框玻璃幕墙，由于边支承不能有效限制中空玻璃的转动，计算时一般将中空玻璃简支支承在铝合金框上处理，四边简支支承的中空幕墙玻璃示意图如图1所示。
图1 中空幕墙玻璃示意图
Fig. 1 Diagram of hollow glass curtain wall
中空幕墙玻璃是由内、外2层玻璃和中间密闭空气层组成，在风压作用下弯曲时，空气层传递压力不传递剪力，所以，内、外2层玻璃将各自独立产生弯曲变形。而玻璃是典型的双模量材料，其弯曲时拉伸区与压缩区的弹性模量不同。由弹性理论可知玻璃面板的弯曲应力表达式为
(1)
式中：下角标j=1表示拉伸区；j=2表示压缩区；Ej为弹性模量；
为泊松比；wi为幕墙玻璃的位移，下角标i=1表示外层幕墙玻璃，i=2表示内层幕墙玻璃。
玻璃面板弯曲时横截面内力应满足以下关系：
(2)
式中：hi为中空幕墙玻璃单层玻璃的厚度，
。将式(2)中2个分式相加可得
(3)
由式(3)可以求得
(4)
2 玻璃幕墙弯曲微分方程
由式(1)可知中空幕墙玻璃单层玻璃的弯矩、扭矩表达式为
(5)
由文献[16-17]，中空幕墙玻璃中间密闭空气层对内层玻璃的压力小于或接近外层玻璃风压。设在风压q(x, y)作用下内、外层幕墙玻璃承受的面荷载为nq(x, y)，n=1时为外层幕墙玻璃的荷载，n＜1时为内层幕墙玻璃的荷载。由弹性理论可知在中空幕墙玻璃单层玻璃在分布荷载作用下，其内力应满足：
(6)
(7)
式中：Nx, Ny和Nxy为中面拉力及剪力。
由弹性理论可以得到中空幕墙玻璃单层玻璃中面内点的应变表达式为
(8)
式中：ui(或vi)为中面内点沿x(或y)方向的位移。由式(8)可以得到相容方程为
(9)
因为Nxi, Nyi和Nxyi均为中空幕墙玻璃单层玻璃引起的中面拉力，由胡克定律可以得到
(10)
令
(11)
将式(5)和(6)代入式(7)，将式(10)和(11)代入式(9)，即可得到中空幕墙玻璃外层幕墙玻璃、内层幕墙玻璃的非线性弯曲微分方程为
(12)
式中：
；
。
若圆形中空幕墙玻璃单层玻璃发生非线性轴对称弯曲变形时，则式(12)可以简化为
(13)
式中：
。
3 幕墙玻璃的非线性弯曲
当风载垂直作用在矩形中空幕墙玻璃单层玻璃上时，设挠度函数
及中面应力函数
分别用梁函数表示为
(14)
式中：u1i，v1i，u2i和v2i均为梁函数；Ai和Bi均为常数。将式(14)代入式(12)，利用伽辽金原理可得到矩形中空幕墙玻璃单层玻璃非线性方程组为
(15)
当风载垂直作用在圆形中空幕墙玻璃单层玻璃上时，可把挠度函数
代入式(13)第2分式求出
，利用伽辽金原理可得
(16)
当矩形中空幕墙玻璃为四边简支时，可设弯曲挠度为
(17)
将式(17)代入式(15)可得矩形中空幕墙玻璃单层玻璃中心挠度Ai与风载nq0之间关系为
(18)
当圆形中空幕墙玻璃周边为简支时，可设弯曲挠度为
(19)
式中：
，
；a为半径；
为圆形周边为简支中空幕墙玻璃单层玻璃中心挠度。将式(19)代入式(13)第2分式中可求得
(20)
将式(19)和(20)代入式(16)可得圆形周边为简支中空幕墙玻璃单层玻璃中心挠度与风载
之间关系为
(21)
当
，
，n=1时，式(18)可化为
(22)
对于在均布荷载q0作用下的四边简支薄方板，当，时，贾春元[18]给出了荷载q0与板中心挠度Ai的关系式为
(23)
分别取1.0，1.2，1.4和1.6，式(22)与式(23)的变量
计算结果误差分别为0.476 8%，0.843 2%，1.221 8%和1.599 6%，说明本文方法是可靠的。
4 算例分析及讨论
为了验证本文计算方法正确性及说明本文方法在实际中的应用，分别用ANSYS和本文方法对以下2个算例进行计算。材料弹性系数见表1。由文献[17]可知，在风吸力的作用下，内层幕墙玻璃外侧面受到的风吸力约为外层幕墙玻璃的70%左右，所以，假设外层幕墙玻璃外侧面承受的面荷载为q0。参阅文献 [17]取内层幕墙玻璃外侧面承受的面荷载为0.7q0，则对中空幕墙玻璃进行设计计算时，内层幕墙玻璃的设计计算是重点。
表1 材料弹性参数
Table 1 Elasticity parameters of material
1) 算例1：用ANSYS、式(18)和(21)计算由材料1组成的均布荷载作用下中空幕墙玻璃为四边简支方形外层玻璃中心挠度和内层玻璃中心挠度、圆形周边简支中空幕墙玻璃外层玻璃中心挠度和内层玻璃中心挠度。设中空幕墙玻璃为四边简支方形的a=b=1 000 mm，圆形周边简支中空幕墙玻璃半径a=500 mm，令方板、圆板的高h=6 mm。材料弹性参数表如表1所示。下层拉伸区由材料2组成的板，材料弹性模量E1=37 GPa，泊松比m1=0.1；上层压缩区由材料3组成的板，材料弹性模量E1=72 GPa，泊松比m2=0.2。有限元单元采用8节点SOLID185单元，该单元具有大变形，大应变能力，采用Large Displacement static analysis求解，计算结果如表2~5所示。
2) 算例2：用ANSYS和式(18)计算由材料1组成的均布荷载q0作用下四边简支方形单层幕墙玻璃中心挠度。设中空幕墙玻璃为四边简支方形的a=b=1 000 mm，h=5 mm。材料弹性参数如表1所示，计算结果见表6。
表2 由本文方法与ANASYS所得四边简支方形中空幕墙玻璃外层玻璃中心挠度A1的比较
Table 2 Comparison of central deflection A1 of outer layer of rectangular mid-air glass plates with simply
supported edges between method of this paper and ANSYS mm
表3 由本文方法与ANSYS所得四边简支方形中空幕墙玻璃内层玻璃中心挠度A2的比较
Table 3 Comparison of central deflection A2 of inner layer of rectangular mid-air glass plates with simply
supported edges between method of this paper and ANSYS mm
表4 由本文方法与ANSYS所得圆形周边简支中空幕墙玻璃外层玻璃中心挠度w01的比较
Table 4 Comparison of central deflection w01 of outer layer of circular mid-air glass plates with simply
supported edges between method of this paper and ANSYS mm
表5 由本文方法与ANSYS所得圆形周边简支中空幕墙玻璃内层玻璃中心挠度w02的比较
Table 5 Comparison of central deflection w02 of inner layer of circular mid-air glass plates with simply
supported edgesbetween method of this paper and ANSYS mm
表6 由本文方法与ANSYS所得四边简支方形玻璃面板中心挠度的比较
Table 6 Comparison of central deflection of rectangular mid-air glass plates composed of material with simply supported edges
between method of this paper and ANSYS mm
由表2~6所示计算结果可以看出：本文方法关于均布荷载作用下的四边简支方形中空玻璃板及圆形周边简支中空玻璃板中心挠度结果与有限元法所得结果较吻合，说明其计算精度较高，在幕墙玻璃设计中采用本文的方法进行计算是可行的；在相同均布荷载作用下，同尺寸的四边简支方形中空幕墙玻璃中心挠度远远小于相同边界条件的实心幕墙玻璃中心挠度，这主要是由于四边简支方形中空幕墙玻璃弯曲刚度大于四边简支方形实心幕墙玻璃的弯曲刚度。另外，玻璃是典型的双模量材料，即具有拉压弹性模量不同的特性，所以，在工程实际中将幕墙玻璃作为单模量材料进行设计计算是不恰当的，应当考虑幕墙玻璃的拉压弹性模量不同的特性。
通常研究板的非线性弯曲变形时多采用摄动法及三角函数法。摄动法计算过程复杂繁琐，三角函数法收敛慢。从以上计算可以看出：本文采用梁函数研究均布荷载作用下中空幕墙玻璃的非线性弯曲问题，不但计算过程简便，而且计算精度高，更适合工程设计人员掌握使用。
5 结论
1) 本文方法即双模量弹性理论的计算结果与有限元法的计算结果较吻合，在幕墙玻璃设计中采用本文的方法进行计算是可行的。
2) 在工程实际中将把璃幕墙作为单模量材料来进行设计计算是不恰当的，应当考虑璃幕墙的拉压弹性模量不同的特性。
3) 采用梁函数研究风荷载作用下中空幕墙玻璃的非线性弯曲问题，不但计算过程简便而且计算精度也高，更适合工程设计人员掌握使用。
参考文献：
[1] Ruoqiang F, Jihong Y, Yue W, et al. Mechanical behavior of glass panels supported by clamping joints in cable net facades[J]. International Journal of Steel Structures, 2012, 12(1): 15-24.
[2] Gang S, Yongzhi Z, Xiaohao S, et al. Influence of damages on static behavior of single-layer cable net supported glass curtain wall: full-scale model test[J]. Frontiers of Architecture and Civil Engineering in China, 2010, 4(3): 383-395.
[3] Yongqi C, Tiezhu C, Liangzhe M, et al. Structural vibration passive control and economic analysis of a high-rise building in Beijing[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2009, 8(4): 561-568.
[4] Yuanqing W, Huanxin Y, Yongjiu S, et al. Bearing capacity of non-linear metallic spiders used in point supported glass facades[J]. International Journal of Steel Structures, 2012, 12(2): 191-204.
[5] 高轩能, 王书鹏. 建筑夹层玻璃在静力及爆炸荷载下的挠度[J]. 硅酸盐学报, 2008, 36(10): 1477-1483.
GAO Xuanneng, WANG Shupeng. Deflection of architectural laminated glasses under static and explosive loads[J]. Journal of the Chinese Ceramic Society, 2008, 36(10): 1477-1483.
[6] 许杰, 吴云龙, 赵芳红, 等. 工程应力分布玻璃研究进展[J]. 硅酸盐学报, 2009, 37(12): 2135-2140.
XU Jie, WU Yunlong, ZHAO Fanghong, et al. Research progress in engineered stress profile glass[J]. Journal of the Chinese Ceramic Society, 2009, 37(12): 2135-2140.
[7] 刘小根, 包亦望, 宋一乐, 等. 夹层玻璃固有频率计算方法与影响因素分析[J]. 硅酸盐通报, 2008, 27(5): 919-923.
LIU Xiaogen, BAO Yiwang, SONG Yile, et al. The calculation method and influence factor to the natural frequency of laminated glass[J]. Journal of the Chinese Ceramic Society, 2008, 27(5): 919-923.
[8] 殷永炜, 张其林, 黄庆文. 点支式中空和夹层玻璃承载性能的试验研究[J]. 建筑结构学报, 2004, 25(1): 93-98.
YIN Yongwei, ZHANG Qilin, HUANG Qingwen. Experimental study on load bearing capacity of point-supported mid-hollow and laminated glasses[J]. Journal of Building Structures, 2004, 25(1): 93-98.
[9] 李磊, 安二峰, 杨军. 浮法玻璃应变率相关的动态本构关系[J]. 建筑材料学报, 2011, 14(2): 202-206.
LI Lei, AN Erfeng, YANG Jun. Strain rate dependent dynamic constitutive equation of float glass[J]. Journal of Building Structures, 2011, 14(2): 202-206.
[10] 石永久, 马赢, 王元清. 点支式夹层玻璃板承载性能的有限差分分析法[J]. 计算力学学报, 2007, 24(5): 664-668.
SHI Yongjiu, MA Ying, WANG Yuanqing. Analysis on loading capacity of point-supported laminated glass unit by FDM[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2007, 24(5): 664-668.
[11] 石永久, 马赢, 王元清. 点支式双层中空玻璃板的变形性能分析[J]. 工业建筑, 2005, 35(2): 20-23.
SHI Yongjiu, MA Ying, WANG Yuanqing. Analysis of deflection properties of point supporting mid-hollow glass[J]. Industrial Construction, 2005, 35(2): 20-23.
[12] 王必利. 利用牛顿环实验测定玻璃的弹性模量[J]. 大学物理实验, 2012, 25(2): 44-46.
WANG Bili. The measurement of glass elastic modulus by using of Newton’s ring experiment[J]. Physical Experiment of College, 2012, 25(2): 44-46.
[13] 童丽萍, 王广国. 高层建筑中空玻璃幕墙的结构分析[J]. 应用力学学报, 2001, 18(2): 134-136.
TONG Liping, WANG Guangguo. Structural analysis for curtain walls of hollow glass in high-rised[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2001, 18(2): 134-136.
[14] 毛起炤, 王启宏, 单俊鸿, 等. 玻璃在拉伸和压缩时粘弹性质的研究[J]. 硅酸盐学报, 1997, 25(1): 18-22.
MAO Qizhao, WANG Qihong, SHAN Junhong, et al. Study on the viscoelastic properties of glass under compression and tension[J]. Journal of the Chinese Ceramic Society, 1997, 25(1): 18-22.
[15] 张其林. 玻璃幕墙结构设计[M]. 上海: 同济大学出版社, 2007: 51-58.
ZHANG Qilin. Glass curtain wall structural design[M]. Shanghai: Tongji University Press, 2007: 51-58.
[16] 顾明, 黄鹏. 双层玻璃幕墙风压分布特性的试验研究[J]. 建筑结构, 2005, 35(6): 68-71.
GU Ming, HUANG Peng. Double glazing experimental study on characteristics of wind pressure distribution[J]. Building Structure, 2005, 35(6): 68-71.
[17] 田宗远, 张丽新. 浅谈双层玻璃幕墙及其风荷载特性[J]. 门窗, 2011, 5(10): 5-7.
TIAN Zhongyuan, ZHANG Lixin. Introduction the double glass curtain wall and its characteristic of wind load[J]. Doors and Windows, 2011, 5(10): 5-7.
[18] 贾春元. 板的非线性分析[M]. 北京: 科学出版社, 1989: 73.
Jia Chongyuan. Nonlinear analysis on plate[M]. Beijing: Science Press, 1989: 73.
(编辑 陈灿华)
收稿日期：2014-01-12；修回日期：2014-03-21
基金项目(Foundation item)：湖南省“十二五”重点建设学科资助项目(湘教发2011[76]) (Project(XJF 2011[76]) supported by “Twelfth Five Year Plan” for the Construct Program of the Key Disciplines in Hunan Province)
通信作者：吴晓，教授，从事结构振动理论研究；E-mail: wx2005220@163.com
