节能砌块隐形密框墙板的弹性常数及刚度计算

董建曦¹，钱江¹，李升才²

(1. 同济大学 结构工程与防灾研究所，上海，200092；

2. 华侨大学 土木工程学院，福建 泉州，362021)

摘要：为了解决节能砌块隐形密框墙板材性复杂、弹性常数不易确定的问题，在6片比例为1/2的隐形密框墙板拟静力水平加载试验以及数值模拟的基础上，通过对墙板特殊构造的分析，利用复合材料力学的知识，按照截面上混凝土含量不变的原则，介绍单向纤维加强方法，在此基础上，将节能砌块隐形密框墙板等效为正交各向异性的双向纤维加强复合材料，建立墙板的复合材料力学模型；提出墙板等效弹性常数的理论计算公式；进而将墙板简化为各向同性的计算模型，给出墙板弹性常数的实用计算公式，为节能砌块隐形密框墙板的实用弹性刚度计算公式提供必要的参数。将理论计算与试验结果进行对比分析，对墙体的弹性抗侧刚度的计算公式进行修正，提出适合于节能砌块隐形密框墙板的弹性抗侧刚度的计算公式。研究结果表明：由等效复合材料力学简化模型推导的弹性常数及刚度计算公式具有一定的理论依据和实用价值，能够满足实际工程计算需要。

关键词：节能砌块隐形密框墙板；纤维加强复合材料；力学模型；弹性常数；抗侧刚度

中图分类号：TU312，TU317            文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2013)03-1144-08

Calculating formulas of elastic constants and lateral rigidity of energy-saving block and invisible multi-ribbed frame wall

DONG Jianxi¹, QIAN Jiang¹, LI Shengcai²

(1. Institute of Structural Engineering and Disaster Prevention, Tongji University, Shanghai 200092, China;

2. College of Civil Engineering, Huaqiao University, Quanzhou 362021, China)

Abstract: Due to the complexity of constitute materials, the elastic constants of energy–saving block & invisible multi-ribbed frame wall slabs are difficult to define. To solve this problem, based on Quasi-static horizontal loading test and numerical simulation of six 1/2-scaled energy–saving block & invisible multi-ribbed frame walls, unidirectional fiber-reinforced method was introduced and prototype slab equals to orthotropically bi-directional fiber-reinforced slab applying composite material mechanics, according to the rule that the equivalent concrete section area of the latter remains the same as that of the former through fiber strengthening in horizontal and vertical directions. A mechanical model of equivalent slab was established. Meanwhile, the theoretical calculating formulas of equivalent elastic constants were derived. Then, the walls were modeled using an isotropy calculation model, and practical design formulas for elastic constants were given, which provide necessary parameters for the practical design formula for elastic lateral rigidity. The formula of elastic lateral rigidity was calibrated using test results, and the practical design formula for elastic lateral rigidity for energy–saving block & invisible multi-ribbed frame walls was established. The results show that the proposed formulas can meet the requirement of engineering calculation.

Key words: energy-saving block & invisible multi-ribbed frame wall; fiber-reinforced composite material; mechanical model; elastic constants; lateral rigidity

节能砌块隐形密框墙板结构体系具有密度低、抗震性能好、节能效果佳等优点，其发展和应用顺应了我国墙体材料改革的需要，是一种较理想的新型结构体系^[1]。该体系中的基本承重构件——节能砌块隐形密框墙板是由密布的钢筋混凝土肋梁、肋柱及嵌固于其中的加气混凝土砌块构成。在水平荷载作用下，砌块与框格共同工作，一方面，块体受到框格的约束，另一方面，框格又受到块体的反约束，两者相互支持、相互补充，充分发挥各自特点^[2]。在此，加气混凝土砌块突破了以往只作为围护或保温用途的局限，而成为受力构件的一部分，也就是说，在复合墙板中，加气混凝土砌块集受力、围护和保温3种功能于一体。关于墙板复合材料力学模型方面的研究不多，文献[3-4]对密肋复合墙板的复合材料力学模型进行了探讨；文献[5-8]对复合材料的弹性常数的确定进行了探讨。节能砌块隐形密框墙板是一种全新的复合墙板，既充分利用了加气混凝土砌块的轻质、保温性能，又利用了混凝土高强度、高弹模的特点，形成一种特殊的复合材料，它既体现了材料在功能上的复合，又体现了在结构上的复合。该墙板作为节能砌块隐形密框结构的主要承力构件，对其结构反应特性有重要影响；同时，建立合理的节能砌块隐形密框墙板简化力学模型也将对研究整个结构的力学性能具有重要意义。因此，本文作者在节能砌块隐形密框墙板的受力性能试验研究^[2]以及数值模拟^[9-10]的基础上，进一步探讨节能砌块隐形密框墙板的简化力学模型，提出了墙板在弹性阶段的复合材料等效力学简化模型，并给出了适用于节能砌块隐形密框墙板的等效弹性常数及抗侧刚度的实用计算公式，以便为节能砌块隐形密框墙板结构体系采用工程软件进行结构设计以及工程应用提供依据。

1  试验及数值模拟概况

为了研究影响节能砌块隐形密框墙板刚度及承载力的主要因素，对6片不同配筋形式的比例为1/2的模型墙板进行了拟静力加载试验以及扩充的数值模拟。文献[9]针对曾进行过试验的6榀节能砌块隐形密框墙板进行了非线性有限元分析，研究了该类墙板的破坏形态、承载力及钢筋应力的分布；文献[10]针对文献[9]建立的节能砌块隐形密框墙板非线性有限元模型，通过参数化分析，研究剪跨比、轴压比和钢筋配筋量对墙体承载力以及刚度的影响。试验及数值模拟结果表明：随着剪跨比的增加，墙板刚度下降幅度越大，墙板的极限承载力逐渐降低至趋于稳定；随着轴压比的增加，墙板3个阶段的刚度以及墙板的极限承载力都有所增加；随着配筋量的增加，墙板刚度略有提高，但增幅有限，墙板的极限承载力有不同幅度提高。这是因为：从一般墙板的破坏过程来看，当剪跨比由小到大增加时，构件的破坏形态从混凝土抗压强度控制的斜压型转变为剪压区的斜裂缝骨料咬合控制的剪压型，当剪跨比更大时，再转变为混凝土抗拉强度控制的斜拉型，为受弯控制破坏；而轴压应力的存在，使砌块内出现预压应力，抵消了砌块内的部分拉应力，从而推迟墙板的开裂，提高了墙板的刚度；开裂后，轴压力可增大裂缝间的摩擦，使得承载力提高。

2  复合材料计算模型的建立

在弹性阶段，由于隐形密框复合墙板中加气混凝土砌块的存在，增强了由肋梁肋柱形成的框格的承载能力；另一方面，加气混凝土砌块形成的墙板中，由于加入了高强度、高弹模的混凝土框格，减小了砌块的变形，提高了墙板的承载能力。在这方面，隐形密框复合墙板与复合材料中的纤维增强复合材料类 似^[11-13]，加气混凝土砌块相当于基体，混凝土肋梁肋柱相当于增强纤维。由于肋梁、肋柱的尺寸远远小于墙板的尺寸，按照混凝土在墙板截面上含量不变的原则，将混凝土肋梁、肋柱均匀化为许多细小纤维均匀地分布在由加气混凝土砌块构成的基体内，从而将墙板等效为一种正交各向异性的纤维增强复合材料，如图1所示。

图1  将原型墙板等效为正交各向异性纤维加强材料

Fig.1  Equaling prototype wall to wall made of orthotropic fiber-reinforced composite materials

2.1  基本假定

(1) 在弹性阶段，肋梁、肋柱内钢筋应变很小，故不计钢筋对墙板的贡献。

(2) 等效前由肋梁、肋柱组成的框格与加气混凝土砌块变形协调，等效后砌块基体与混凝土纤维变形协调。

2.2  弹性常数的计算

2.2.1  单向纤维加强

只考虑肋柱或者肋梁的加强作用，并取图2中所示的代表性体积单元，记沿纤维方向为1方向，面内垂直于纤维方向为2方向，计算沿纤维方向的弹性模量E₁、横向弹性模量E₂、剪切模量G₁₂；1方向和2方向的泊松比分别为μ₂₁和μ₁₂。

图2  单向纤维加强模型

Fig.2  Model of single fiber strengthening

(1) 纵向弹性模量E₁。1方向受力体积单元如图3(a)所示。令σ_f和σ_m分别为纤维和基体中平均应力^[14-15]，A_f和A_m分别为纤维和基体的横截面积，φ_f和φ_m分别为沿1方向单向纤维加强时纤维和基体的体积分数。

据假设可知：ε₁=△l/l，ε₁为纤维和基体共同的轴向应变，如两者都处于弹性状态，则应力为

，           (1)

式中：E_f和E_m分别为纤维和基体的弹性模量。

作用在复合材料体积单元上的合力P为：

           (2)

将式(1)代入式(2)，并引入，则有

              (3)

引入

，，       (4)

则得：

      (5)

这是纤维方向宏观弹性模量E₁的混合率表达式。

(2) 横向弹模E₂。在材料力学分析方法中，假定纤维和基体承受相等的横向应力^[15-16]，2方向受力体积单元如图3(b)所示。

，，和作用的横向尺寸分别近似为和，B为单元宽度。总的横向变形为，即得：

            (6)

这是垂直纤维方向宏观弹性模量E₂的混合率表达式。

图3  受力体积单元

Fig.3  Volume unit forced

(3) μ₁₂和μ₂₁的确定。μ₂₁为轴向泊松比，其定义为而其余应力全为0时的横向应变与轴向应变的负比值，即，横向变形表示为：。

又，用分析E₂的方法，和近似计算如下：

；   (7)

将上述公式组合除以和B得：

      (8)

式中，和分别为纤维和基体的泊松比。

(4) G₁₂的确定。单层材料平面内剪切模量G₁₂由假设纤维和基体内的剪应力相等^[6-9]来确定，受力和变形如图4所示。

由假设得：，。

其中：G_f和G_m分别为纤维和基体的剪切模量；和分别为纤维和基体的剪切应变。

图4  剪切体积单元示意图

Fig.4  Schematic diagram of shear volume unit

假设剪应力与剪应变呈线性关系，总的剪切变形表示为：。近似地由组成，且，，经简化得：

    (9)

最后得：

     (10)

2.2.2  双向纤维加强

节能砌块隐形密框墙板不是由单向纤维复合材料构成，而是由双向纤维复合材料构成。墙板是由密布的钢筋混凝土肋梁、肋柱及嵌固于其中的加气混凝土砌块构成，墙板刚度主要由肋柱提供，肋梁与砌块都看作对肋柱的加强作用，在对墙板刚度的分析中不能将肋梁肋柱及砌块分开考虑，但在实际分析中，要以单向纤维复合材料的分析作为基础。

节能砌块隐形密框墙板中，把加气混凝土砌块看作基体材料，把混凝土肋梁肋柱看作增强纤维，从而将墙板等效为一种正交各向异性的纤维增强复合材料。本文采用双向纤维加强实现这一等效，即用肋梁肋柱同时进行纤维加强，计算沿纤维方向的弹性模量E₁、横向弹性模量E₂和剪切模量G₁₂。双向纤维加强模型见图5。

图5  双向纤维二相体加强模型

Fig.5  Model of Bidirectional fiber strengthening

(1) 墙板纵向弹性模量。本文取代表性体积单元，在单元里既有纵向又有横向纤维，需要对此转化成易计算的形式。因为在梁柱交点处的混凝土纤维主要由肋柱承担，而肋梁起加强作用，所以在转化后的计算模型中，梁柱交点处的混凝土纤维全部分配给肋柱方向的纤维，把砌块按肋梁肋柱体积比分配给肋梁肋柱，作为它们的加强体，1方向二相体模型如图6(a)所示。其中，x为混凝土纤维中肋梁纤维所占的体积比，(1-x)为混凝土纤维中肋柱纤维所占的体积比。

由单向纤维复合材料力学分析，对于x部分弹性模量：

对于(1-x)部分弹性模量：

二相体模型1方向的弹性模量E ₁为x部分及(1-x)部分的各自弹性模量的并联组合而成。二相体模型1方向受单位应力σ₁作用，沿力方向模型整体伸长△l，x部分伸长△l_x，而(1-x)部分伸长△l_1-x，如图6(b)所示。

图6  1方向二相体模型及受力图

Fig.6  Two-phase body model and forcing along direction 1

               (11)

           (12)

           (13)

          (14)

    (15)

(2) 墙板横向弹模。2方向二相体模型见图7(a)。由单向纤维复合材料力学分析，对于x部分弹性模量：

对于(1-x)部分弹性模量：

二相体模型2方向的弹性模量E₂为模型x及(1-x)部分的各自弹性模量的串联组合而成。二相体模型2方向受单位应力σ₂作用，沿力方向模型整体应变为ε₂，x部分所受应力为σ_x，而(1-x)部分所受应力为σ_1-x，如图7(b)所示。

           (16)

      (17)

           (18)

 (19)

图7  2方向二相体模型和受力图

Fig.7  Two-phase body model and forcing along direction 2

 (3) 纵横向剪切模量。2个方向剪切二相体模型见图8(a)。由单向纤维复合材料力学分析，x及(1-x)部分的剪切模量分别为：

二相体模型纵横向剪切模量G₁₂为模型中x及(1-x)部分的剪切模量组合而成。二相体模型受单位剪应力τ作用，模型各部分所受剪应力相等，模型总剪切变形为，x部分所受剪应变为，而(1-x)部分所受剪应变为，如图8(b)所示。

              (20)

          (21)

         (22)

       (23)

         (24)

图8  1方向和2方向剪切二相体模型和受力图

Fig.8  Two-phase body models and forcing along direction 1 and 2

3  正交各向异性材料弹性刚度公式

3.1  简化模型及其刚度计算

正交各向异性材料在偏离主轴方向(偏轴方向)受拉、压时会产生剪切应变，受剪时会产生和。但其在主轴方向受拉、压不会产生剪切应变，受剪时不产生和。而墙板的受力方向是沿主轴，因此不会产生拉剪耦合现象，同时正交各向异性材料与各向同性材料一样，某个方向的内力只产生这个方向应力，而不引起其他方向的应力，因此，也不产生弹性交叉现象。同时，由试验所得变形曲线可知，节能砌块隐形密框墙板的侧向变形包括侧向弯曲变形与侧向剪切变形2部分，故刚度公式仍可采用匀质墙板的刚度公式^[17]，则隐形密框复合墙板在弹性阶段的刚度公式为：

         (25)

式中：H为墙板高度；A为墙板横截面面积；I为墙板横截面惯性矩；E为墙板弹性模量；G为墙板剪切模量；为轴压比，，0.3≤≤0.6 (当＜0.3时，取=0.3，当＞0.6时，取=0.6)；A_c为墙体验算截面肋柱混凝土面积之和；为截面剪应力不均匀系数，截面形式为I形，故取，为腹板的截面面积。

按以上公式计算复合材料等效法的弹性抗侧刚度，并将理论计算值与节能砌块隐形密框墙体试验的6片墙体开裂前刚度试验值进行对比，墙体开裂前刚度试验值按下式计算：

              (26)

式中：为正向水平开裂荷载；为反向水平开裂荷载；为正向水平开裂荷载对应的位移；为反向水平开裂荷载对应的位移。

3.1.1  弹性模量E

将节能砌块隐形密框墙板等效为二相体纤维增强的正交各向异性复合材料为墙板的刚度计算提供了理论依据。但正交各向异性材料的力学性能比较复杂，若能将墙板简化为各向同性材料，就可使计算过程大为简化。在此，本文对已有工作进行改进，取二相体模型2个方向的弹性模量平均值。给出简化的各向同性计算模型，其弹性常数与正交各向异性模型主轴方向的弹性常数接近。

弹性模量E的取值为

                (27)

式中：E₁为二相体模型1方向的弹性模量；E₂为二相体模型2方向的弹性模量。

3.1.2  剪切模量G₁₂

采用二相体模型的公式计算剪切模量：

          (28)

3.2  计算值与实测值对比

利用上述公式对各墙板(共6片)开裂前的刚度进行了计算，计算结果见表1。从表1可以看出：计算结果普遍比试验值偏高，平均看来，试验值为理论值的85%，这是由于在墙板可见裂缝发生之前，节能砌块隐形密框墙板的微裂缝已经有较多发展，因此，必须对式(25)进行修正，引入微裂缝影响系数，取，则节能砌块隐形密框墙体在弹性阶段的抗侧刚度公式为

         (29)

表1  弹性抗侧刚度理论计算值与试验值对比

Table 1  Comparison between theoretical calculation values and measuring values of elastic lateral rigidity

结果表明：由双向等效复合材料力学简化模型推导的弹性常数及刚度计算公式具有一定的理论依据和实用价值，其中双向纤维单层复合材料模型计算简洁、模型直观，且具有一定的精度，能够满足实际工程计算需要。

4  结论

(1) 在弹性阶段，可以将节能砌块隐形密框墙板视为一种以轻质砌块为基体，混凝土肋梁、肋柱、外框为增强纤维的复合材料等效弹性板。

(2) 结合节能砌块隐形密框墙板试验及数值模拟的研究成果，利用复合材料力学的知识，按照截面上混凝土含量不变的原则，先介绍了单向纤维加强方法，在此基础上，将节能砌块隐形密框墙板等效为正交各向异性的双向纤维加强复合材料，建立了墙板的复合材料力学模型；然后，提出适于工程计算的各向同性墙板简化材料模型，并给出了墙板弹性常数实用计算公式，为节能砌块隐形密框墙板的实用弹性刚度计算公式提供了必要的参数。

(3) 由双向纤维单层复合材料模型推导得出的墙体简化材料模型具有一定的理论依据和实用价值，计算简洁、模型直观，而且具有一定的精度，满足实际工程计算需要。

参考文献：

[1] LI Shengcai, ZENG Zhixing. Research on an energy-saving block & invisible multi-ribbed frame structure[C]//Proceedings of the Third Specialty Conference on the Conceptual Approach to Structural Design. Singapore, 2005: 119-124.

[2] 董建曦, 李升才, 李立峰. 节能砌块隐形密框墙体受力性能分析[J]. 华侨大学学报: 自然科学版, 2009, 30(1): 85-88.

DONG Jianxi, LI Shengcai, LI Lifeng. Analyses of force transferring performance of energy-saving block & invisible multi-ribbed frame walls[J]. Journal of Huaqiao University: Science Nature, 2009, 30(1): 85-88.

[3] 田英侠, 陈平, 姚谦峰. 密肋复合墙板等效弹性常数计算方法研究[J]. 工业建筑, 2003, 33(1): 10-12.

TIAN Yingxia, CHEN Ping, YAO Qianfeng. Study on calculating formulas of equivalent elastic constants of multi-ribbed wall slab[J]. Industrial Construction, 2003, 33(1): 10-12.

[4] 田英侠. 密肋复合墙板受力性能试验研究与理论分析[D]. 西安: 西安建筑科技大学土木工程学院, 2002: 64-72.

TIAN Yingxia. Experimental study and theoretical analysis on mechanics performance of multi-ribbed slab wall[D]. Xi’an: Xi’an University of Architecture and Technology. School of Civil Engineering, 2002: 64-72.

[5] SHAN Huizu, CHOU Tsuwei. Transverse elastic moduli of unidirectional fiber composites with fiber/matrix interfacial debonding[J]. Composites Science and Technology, 1995, 53(4): 383-391.

[6] 王震鸣, 游绍建. 单向复合材料弹性常数微观力学分析的探讨[J]. 复合材料学报, 1987, 4(4): 72-80.

WANG Zhenming, YOU Shaojian. Discuss of micromechanics analysis on elastic constants of unidirectional composites[J]. Acta Materiae Compositae Sinica, 1987, 4(4): 72-80.

[7] Spencer A. The transverse module of fiber composite material[J]. Composites Science and Technology, 1986, 27(2): 93-109.

[8] 傅绍云, 李世红, 田晓滨, 等. 纤维增强复合材料的弹性应力分析[J]. 复合材料学报, 1995, 12(2): 102-107.

FU Shaoyun, LI Shihong, TIAN Xiaobin, et al. Analyses of elastic stresses of fiber-reinforced composites[J]. Acta Materiae Compositae Sinica, 1995, 12(2): 102-107.

[9] 董建曦, 李升才, 钱江, 等. 节能砌块隐形密框墙体非线性有限元分析[J]. 结构工程师, 2010, 26(3): 72-77.

DONG Jianxi, LI Shengcai, QIAN Jiang, et al. Nonlinear FEM analysis for energy-saving block and invisible multi-ribbed frame wall[J]. Structural Engineers, 2010, 26(3): 72-77.

[10] 董建曦, 李升才, 钱江, 等. 节能砌块隐形密框墙体受力性能理论分析[J]. 中南大学学报: 自然科学版, 2011, 42(6): 1797-1804.

DONG Jianxi, LI Shengcai, QIAN Jiang, et al. Theory analysis for force transferring performance of energy-saving block and invisible multi-ribbed frame wall[J]. Journal of Central South University: Science and Technology, 2011, 42(6): 1797-1804.

[11] 王振鸣. 复合材料力学和复合材料结构力学[M]. 北京: 机械工业出版社, 1991: 23-30.

WANG Zhen-ming. Mechanics of composite materials and composite structures[M]. Beijing: China Machine Press, 1991: 23-30.

[12] 周履, 范赋群. 复合材料力学[M]. 北京: 高等教育出版社, 1991: 35-42.

ZHOU Lü, FAN Fuqun. Mechanics of composite materials[M]. Beijing: Higher Education Press, 1991: 35-42.

[13] 沈观林. 复合材料力学[M]. 北京: 清华大学出版社, 1994: 29-39.

SHEN Guanlin. Mechanics of composite materials[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 1994: 29-39.

[14] 王秉权, 杨荫萍. 单向纤维增强复合材料弹性常数的试验研究[J]. 复合材料学报, 1986, 3(2): 82-89, 111.

WANG Bingquan, YANG Yinping. Experimental determination of elastic constants for unidirectional composites[J]. Acta Materiae Compositae Sinica, 1986, 3(2): 82-89, 111.

[15] 胡钜才. 连续纤维单向增强复合材料单层板弹性特性计算新式[J]. 应用力学学报, 1985, 2(2): 53-66, 133

HU Jucai. The new formulae for prediction of elastic properties of an unidirectional composite lamina[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 1985, 2(2): 53-66, 133.

[16] 区涣文, 徐稳林, 冼定国. 等效介质理论用于单向纤维增强复合材料弹性性能的数值计算[J]. 复合材料学报, 1994, 11(3): 50-55.

QU Huanwen, XU Wenlin, XIAN Dingguo. Numerical calculations of elastic properties of unidirectional fiber reinforced composites based on effective medium theory[J]. Acta Materiae Compositae Sinica, 1994, 11(3): 50-55.

[17] 赵冬, 姚谦峰, 陈平. 密肋轻型框架结构刚度计算[J]. 西安建筑科技大学学报, 1999, 31(3): 18-21.

ZHAO Dong, YAO Qianfeng, CHEN Ping. Lateral rigidity calculation of multi-ribbed wall slab with light-weight outer frame[J]. Journal of Xi’an University of Architecture and Technology, 1999, 31(3): 18-21.

(编辑  赵俊)

收稿日期：2012-03-16；修回日期：2012-06-08

基金项目：福建省自然科学基金资助项目(E0540004)；国家重点基础研究发展规划(“973”计划)项目(2007CB714202)

通信作者：董建曦(1981-)，男，山西长治人，博士研究生，从事砌体结构抗震性能研究；电话：15002127084；E-mail: 81jxdong@tongji.edu.cn