DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.09.022

球面阵列基线测向算法的误差分析

司伟建，赵嫔姣，刘鲁涛

(哈尔滨工程大学 信息与通信工程学院，黑龙江 哈尔滨，150001)

摘要：针对传统立体基线测向算法中阵元摆放形式单一和天线盘体积受限等问题，提出球面阵列基线测向算法。首先根据简单的几何理论推导出辐射信号入射到不同基线得到的相位差公式，然后采用记忆梯度法求解3个相位差公式构成的非线性方程，得到辐射信号的来波方向。最后通过推导与化简基于球坐标下天线阵列的测向误差公式，从理论上证明球面3根天线阵列被一平面截得的圆为球大圆时测向误差最小，进而提出天线阵列的最佳摆放形式。研究结果表明：与同类算法相比，该算法中阵元位置由平面扩展到空间，摆放更加灵活，使得多模制导的导引头中基线空间位置关系不受限制；所提算法的测向性能(测向均方误差和解模糊概率)良好，对通道不一致系统具有较强的鲁棒性。

关键词：球面阵列基线法；测向性能；记忆梯度法

中图分类号：TN911             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2015)09-3317-08

Direction finding error of spatial baseline algorithm based on spherical array

SI Weijian, ZHAO Pinjiao, LIU Lutao

(College of Information and Communication Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Abstract: To deal with the scenario that the placement form of antennas is single and the placement space of antennas is finite, which is common in traditional spatial baseline algorithm, a novel algorithm based on spherical array was proposed. Firstly, the phase difference expressions of incident signal impinging on the different antennas were deduced on the basis of simple geometric theory. Then, nonlinear equations consisting of three phase-error formulas were solved by taking advantages of the memory gradient method, and the direction of arrival (DOA) of the incident signal was obtained. Finally, through derivation and simplification of error formulas of azimuth angle and elevation angle in the spherical coordinates, it was proved that when three antenna arrays were placed in the biggest circle, the direction-finding error was the miminum, thus the best format of antenna arrays in the proposed algorithm could be given. Compared with other similar existing algorithms, the arrays in the proposed algorithm could be placed in three-dimensional space instead of two-dimensional plane, which eliminates the limitation that baselines must be coplanar in the seeker of multimode guidance. The simulation results demonstrate the effectiveness and better direction-finding performance of the proposed algorithm when considering the root mean square error and solving ambiguity probability. Moreover, the proposed algorithm is robust to channel inconsistency.

Key words: spherical array baseline algorithm; direction-finding performance; memory gradient method

反辐射导弹(anti-radar missile, ARM)主要以防空系统中的无线电辐射源为目标，重点打击、摧毁防空系统雷达^[1]。在现代战争中多采用多模制导技术，在天线盘体积受限的情况下天线可能无法共面排列，因此，要求天线阵列具有更加灵活的摆放形式。被动测向^[2]目前主要有2类方法：空间谱估计法^[3]和干涉仪测向法^[4]。空间谱估计算法中比较典型的算法有波束形成(capon beam forming, CBF)^[5]法、Capon最小方差(minimum variance method, MVM)^[6]法、经典MUSIC(multiple signal classification method)算法^[7]、ESPRIT(estimation of signal parameters via rotational invariance techniques)算法^[8]、加权子空间拟合法(weighted subspace fitting ,WSF)^[9]等。与空间谱估计法相比，干涉仪测向法具有实时性好、运算量小、灵敏度高等优点，但相位干涉仪测向方法在基线长度大于辐射信号波长的一半时会产生相位模糊。狄慧等^[10]提出的基于联合到达时间估计的长基线测向算法具有较强的解模糊能力，但是系统复杂度较高。刘满超等^[11]提出四元T形阵列干涉仪测向解模糊方法，该算法通过计算聚类中心实现解模糊，但测向精度不高。在非均匀圆阵天线模型^[12]中，天线间距不受宽频带测向中高频段信号波长的限制^[13]，故其测向精度高，但该算法使得多模制导的导引头中基线空间位置关系被约束在1个平面内，故在实际应用中难以实现。为此，本文作者提出一种球面阵列基线测向算法，实现阵元摆放形式从二维的平面阵列到三维的空间阵列的转变，从而使阵元摆放形式更加灵活，使得多模制导的导引头中基线空间位置关系不受限制。

1  测向原理

空间笛卡尔坐标系测向系统如图1所示，其中X轴垂直向上，Y轴水平向右，Z轴代表天线视轴方向。射线为入射信号，将在空间直角坐标系内进行投影：在XOY平面内投影与X轴的夹角定义为方位角，记为；与XOY面的夹角定义为仰角，记为；在YOZ平面内的投影与Z轴夹角定义为航向角，记为；在XOZ平面内投影与Z轴夹角定义为俯仰角，记为。这4个角具有如下关系：

              (1)

              (2)

任意基线空间分布如图2所示，3根天线阵元位于空间笛卡尔坐标系中，空间位置坐标为(x_i, y_i, z_i) (i=1, 2, 3)，入射信号的载波波长记为λ。假设不存在相位的多值模糊问题，根据简单的几何关系推导出辐射信号入射到天线1，2和3得到不同的相位差：

   (3)

    (4)

   (5)

图1  入射信号模型

Fig. 1  Incident signal model

图2  任意基线空间分布

Fig. 2  Distribution of arbitrary baseline

其中：表示天线i和天线j之间的相位差。实际测向中可能存在辐射信号频率较高的情况，使得天线物理尺寸无法满足小于辐射信号的半波长，在这种情况下，天线接收的辐射信号的相位差会存在多值模糊问题。式(3)~(5)改写为

    (6)

    (7)

    (8)

其中：k_i(i=1, 2, 3)为任意整数。由于式(6)~(8)中任意一式可由另外2式的线性组合来表示，即三者是相关的，故通过3式中任意2式联立的方法无法求解出和的数值解。因此，本文采用记忆梯度法^[14]对关于和的非线性方程组进行求解。将式(6)和(7)联立构造新的函数，有

      (9)

其中：和分别简记为和，且有，。记忆梯度法将对非线性方程组的求解转换成无约束极小化问题：

               (10)

其中：；表示矩阵2范数的平方。假设＞0(＜0时，后面的推导仍成立)，则

式(10)的无约束极小化问题的最优解为式(9)所示非线性方程组的近似最优解。的梯度记为：

     (11)

其中：为的雅可比矩阵；为梯度算子。设式(7)的初始值为，根据的连续性，采用迭代法求解式(10)的最优解，迭代方程为

       (12)

其中：由Armijo步长决定且；

    (13)

；为1个定值，其取值范围为(0,1)。通过上述迭代方法求解出式(10)的最优解，进而求解式(9)的近似最优解，即求解来波方向和，根据式(1)和式(2)可以求出和。采用记忆梯度法求解非线性方程组，无需求解雅克比矩阵的逆矩阵，计算量小^[14]。

2  球面阵列测向误差推导

3根天线分布在球表面的任意位置，如图3所示。在对测向误差进行理论推导时，假设天线基线长度小于半波长。分别对式(6)和式(7)两边变量和求偏导数后联立求解可得：

图3  球面基线空间分布

Fig. 3  Distribution of spherical baseline

 (14)

 (15)

其中：和分别表示基线1-2和1-3的方位角测向误差和仰角测向误差。由文献[11]，取(R_SN为信噪比)，由于天线1，2和3分布在球体表面上，为了对公式化简，将直角坐标系下的误差公式转化成球坐标系下的误差公式。令，， (i=1, 2, 3)(其中：r为球体半径，为天线、原点的连线与Z轴的夹角，为天线、原点的连线在XOY平面的投影与X轴正方向之间的夹角，且满足：r＞0，(-90°, 90°)，(-180°, 180°) (其中沿逆时针方向为正方向))，则式(14)和(15)可化简为

  (16)

      (17)

由文献[15]可得：同一平面内3根天线摆放成等边三角形阵列时测向误差最小。本文以此作为前提，研究空间位置不同的3根天线构成的等边阵列的测向性能。球面上3根天线构成的平面对球体的截面为圆，依据截面圆的大小将截面圆分成2类：球大圆和球小圆。其中，截面圆周长最大的圆为球大圆，其余为球小圆，如图4所示。图中只有A，B和C 3根天线所在平面为球大圆平面，其余全为球小圆平面。由于对下半球面阵元的研究与上半球面的原理相同，这里以上半球面为例研究空间位置对测向性能的影响。

假设在X轴与上半球表面的交点处固定1根天线，记为天线1，满足90°，0°。同时，在上半球表面上以X轴为对称轴取2个对称点，在这2个对称点处摆放2根天线，分别记作天线2和天线3，满足，；，。其中：x和y均表示区间范围内任意一个角度，且满足  (0°, 90°)，(0°, 180°)。将，，，，和代入式(16)和(17)，经过化简得

图4  球大圆平面和球小圆平面

Fig. 4  Big-circle and small-circle planes

 (18)

    (19)

其中：。定义线段AB的距离为AB的模，记为。可得到，若满足测向误差最小，则满足。经整理得

    (20)

令，代入式(20)可化简得

               (21)

将式(21)进行三角变换，根据x，y和m三者之间的关系可得

            (22)

由于天线2和3与Z轴的夹角(0°, 90°)，从而得到＞0。改写式(22)，得

           (23)

式(23)成立需满足条件：

            (24)

解得

           (25)

将式(23)进行三角变换，得

         (26)

假设天线2在右半球面，天线2与原点连线在XOY面投影与X轴的夹角y的取值范围为(0°, 180°)。

方位角的测向误差由方位角、仰角以及(即m)确定。对于任意一组的取值，让变量m在取值范围内进行循环，求得使取得最小值的m，进而求出x和y。

当方位角测向误差达到最小值时，方位角、仰角与x关系如图5所示。为了直观地进行观   察，将方位角测向误差达到最小值时对应的空间位置坐标x划分成5个区间段：[65°, 70°)，[70°, 75°)，[75°, 80°)，[80°, 85°)和[85°, 90°]。统计属于各区间段内的所含空间位置点x的个数，进而求出各区间段内x个数占总个数的百分比。将图5转化成柱状图，如图6所示。

图5  天线方位角、仰角与空间位置关系

Fig. 5  Relationship among azimuth angle, elevation angle and array location

图6  图5中夹角x统计柱状图

Fig. 6  Histogram statistics of angle x in Fig. 5

由图5和图6可知：天线2和原点的连线与Z轴的夹角x取85°~90°时，天线阵列对接近80%的来波方向进行测向时，可使测向误差最小。此时，天线2和3接近赤道面(用平面沿水平方向截1个球体，得到的最大圆所在平面称为赤道面)，该3根天线阵列所在平面构成近似球大圆。为此，提出球面阵列基线测向算法中使得测向误差最小的天线最佳摆放位置，该最佳摆放位置为：沿球面分布3根天线阵列摆放成球大圆等边阵列。

3  五元天线阵列的仿真模型

在实际测向中，天线间距可能大于辐射信号半波长，用由三元天线构成的一组天线阵列进行测向会得到包含模糊多值的解，因此，三元天线阵列无法完成精确测向。若用多元天线构成的多组天线进行测向，则每组天线都会得到一组测向值且各个测向值之间相差较大，真实值即为一定误差范围内各组天线共有的测向值，因此，采用多组天线进行测向可以解决测向模糊问题。但天线数目增加使得各天线间不一致性增加，因此，在实际中，大多采用五元天线阵列进行测向。五元天线阵列测向原理与三元天线阵列的测向原理相同，相当于同时进行两组三元天线阵列测向。从5个阵元中选取1个作为公共阵元，其余4个阵元平均分成2组，2组阵元分别与公共阵元组合按照前面介绍的原理重复进行2次三元天线阵列测向。其中3根天线摆放成球大圆等边三角形阵列以保证测向精度，另外2根天线与公共天线组合以解决测向模糊问题，从而实现精确测向。

在仿真过程中，取阵元所在球的半径r=100 mm，根据前面的结论球面五元天线阵列中选取3根天线阵列摆放成球大圆等边三角形，另外2根天线阵列在公共天线两侧对称摆放。五元天线阵列的坐标分别为：1) ；2) ；3) ；4) ；5) 。这平面五元阵列的各天线坐标见文献[16]。在下面实验中，解模糊概率是指进行100次Monte-Carlo测向统计，将实际测出的角度与理论值进行对比得到测向误差，若100次测向中有68次误差小于设定门限值0.5°^[17]，则认为计算解模糊成功，将解模糊成功次数与测向总次数相比得到解模糊概率。DOA估计结果中航向角和俯仰角的联合均方误差计算式为

      (27)

其中：和分别表示第i次Monte-Carlo实验中航向角和俯仰角的理论值；和分别表示第i次Monte-Carlo实验中航向角和俯仰角的实际测量值；N为相位差平均次数。

实验1  取频率f=12 GHz，快拍数N=30，信噪比R_SN=12 dB。由于本文算法针对不相关信号进行波达方向估计，故选取4组不相关信号(方位角和仰角的点对)入射到阵列，分别为(80°, 24°)，(85°, 120°)，(78°, 258°)和(87°, 298°)。图7所示为本文算法进行100次Monte-Carlo试验的估计结果。

图7  4组不相关信号的方位角和仰角的估计结果

Fig. 7  Estimation results of azimuth angle and elevation angle for 4 groups of uncorrelated signals

从图7可以看出：本文所提算法可以较精确地估计不相关信号的来波方向。估计结果中存在个别估计值与其他试验结果误差较大，但估计结果整体集中，各次试验的误差均在±2°之内，验证了本文所提算法的有效性。

实验2 对比本文提出的球面阵列的立体基线测向算法与文献[16]中的测向算法的测向性能。仿真条件如下：频率f=8 GHz，方位角=60°，仰角=80°，相位差平均次数N=100，信噪比分别为3，6，8和12 dB。2种算法的DOA估计的测向均方误差和解模糊概率随信噪比R_SN的变化分别如图8和图9所示。

由图8和图9可知：在相同信噪比条件下，本文所提算法的均方误差整体小于文献[16]中算法的均方误差，两者之间的差值在信噪比较低的情况下较明显，随着信噪比的增加两者的差值逐渐减小；在相同的信噪比下，本文所提算法的解模糊概率大于文献[16]中算法的解模糊概率。由于在求解来波方向时，本文算法采用记忆梯度法进行多次迭代，故测向精度更高。取信噪比R_SN分别为3，6，8和12 dB。当信噪比为3 dB时，本文所提算法的最大均方误差为0.48°，最小解模糊概率为0.9，解模糊概率随着信噪比的增加而单调递增，最终在信噪比R_SN≥8 dB时解模糊概率为1。

图8  2种算法DOA估计均方误差随信噪比R_SN的变化

Fig. 8  RMSE of DOA estimations versus R_SN for two algorithms

图9  2种算法的DOA解模糊概率随信噪比R_SN的变化曲线

Fig. 9  Ambiguity resolution probability of DOA estimation versus R_SN for two algorithms

实验3 系统存在通道不一致时本文算法与文献[16]中算法的测向性能分析。试验中，天线系统存在3°和10°的通道不一致(即在天线通道间人为加入的附加相位差最大值为3°和10°)，信噪比R_SN=12 dB，相位差平均次数分别取10，30，50，100和200次时，2种算法的DOA估计测向均方误差随相位差平均次数的变化如图10所示，2种算法的DOA估计解模糊概率随相位差平均次数的变化如图11所示。

从图10可以看出：当天线系统通道不一致(在实际测向系统中由于环境温度、湿度、器件、加工工艺等因素所致)和相位差平均次数相同时，本文算法的测向均方误差小于文献[16]中算法的测向均方误差。当相位差平均次数相同时，随着天线系统存在的通道不一致性增加，测向均方误差呈增大趋势；当天线系统存在的通道不一致性相同时，测向均方误差随相位差平均次数的增加而减小。图11中，对比本文算法和文献[16]中算法的解模糊概率随信噪比的变化曲线可以看到：解模糊概率与天线系统存在的通道不一致程度成反比，与相位差平均次数成正比。综上可以看出：当系统存在通道不一致时，本文所提算法测向性能要优于文献[16]中算法测向性能，即本文算法对系统通道不一致有较强的鲁棒性。

图10  2种算法的DOA估计均方误差随相位差平均次数变化

Fig. 10  RMSE of DOA estimation versus snapshots for two algorithms

图11  2种算法的DOA估计解模糊概率随相位差平均次数变化

Fig. 11  Ambiguity resolution probability of DOA estimation versus snapshots for two algorithms

4  结论

1) 针对多模制导的导引头中由于空间位置受限导致基线难以共面的问题，提出了基于球面阵列的立体基线测向算法，该算法中阵元空间位置摆放灵活，使得基线的空间位置关系不受限制。

2) 该算法采用记忆梯度法求解相位差方程组，与其他求解非线性方程组的方法相比，记忆梯度法无需求解雅克比矩阵的逆矩阵，计算量较小。

3) 通过对球面3根天线阵元模型测向误差公式的数学推导，从理论上证明了球面3根天线阵列摆放成球大圆时测向误差最小这一结论，进而给出了立体基线测向算法中3根天线球面阵列的最佳摆放位置。

4) 由于实际测向中存在测向模糊，根据前面3根天线阵元模型的测向原理对5根天线阵元模型测向算法进行仿真与分析，验证了本文所提算法的有效性，且本文测向算法测向性能优于平面基线算法测向性能，本文算法对系统通道不一致有较强的鲁棒性。

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(编辑  陈灿华)

收稿日期：2014-09-12；修回日期：2014-11-29

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(61201410)；中央高校基本科研业务费资助项目(HEUCF130804) (Project(61201410) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(HEUCF130804) supported by the Fundamental Research Funds for the Central University)

通信作者：司伟建，博士，研究员，从事宽带信号处理、检测与识别及高分辨高精度测向技术研究；E-mail:swj0418@263.net