DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2018.10.010

双重螺旋法圆弧刀廓加工齿轮副的齿面啮合特性分析

严宏志^{1, 2}，艾伍轶^{1, 2}，吴聪^{1, 2}，邓辰^{1, 2}，陈义忠^{1, 2}

(1. 中南大学 高性能复杂制造国家重点实验室，湖南 长沙，410083；

2. 中南大学 机电工程学院，湖南 长沙，410083)

摘要：为了预控双重螺旋法加工齿轮副的啮合特性，研究基于圆弧刀廓的双重螺旋法加工齿轮副齿廓修形对齿面接触性能的影响。首先推导采用圆弧刀廓、双重螺旋法加工的齿面方程，基于Ease-off分析圆弧刀廓加工对齿面失配量的影响；采用有限元法进行加载接触分析，得到不同刀廓加工齿轮副的接触位置及形状、传动误差、接触压力，对比分析不同刀廓加工齿轮副啮合性能对安装误差的敏感性。研究结果表明：圆弧刀廓修形可改善接触区位置和形状，避免边沿接触，减小传动误差，提高传动平稳性；显著降低工作与非工作齿面最大接触应力，以及边沿接触对安装误差的敏感性，有利于提高齿轮副承载性能和磨损寿命。

关键词：圆弧刀廓；齿廓修形；Ease-off；啮合性能

中图分类号：TH132.4             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2018)10-2438-09

Meshing characteristics analysis for spiral bevel gears generated by duplex helical method with arc blade profile

YAN Hongzhi^{1, 2}, AI Wuyi^{1, 2}, WU Cong^{1, 2}, DENG Chen^{1, 2}, CHEN Yizhong^{1, 2}

(1. State Key Laboratory for High Performance Complex Manufacturing,Central South University, Changsha 410083, China;

2. School of Mechanical and Electrical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

Abstract: In order to pre-control the meshing performance of spiral bevel gears manufactured by duplex helical method, the influence of contact performance of spiral bevel gears with tooth profile modification based on arc blade profile was studied. Firstly, the tooth surface mathematical equation of spiral bevel gear by duplex helical method with arc blade profile was deduced, and the influence of the mismatch of spiral bevel gears with arc blade profile based on Ease-off topology was analyzed. Secondly, the finite element loading contacts analysis of spiral bevel gear pairs was conducted in different shapes of blade profile, and then the contact area, transmission error and the maximum contact stress were gained. Finally, the alignment error sensitivity generated by two different tool shapes was analyzed by comparison. The results show that the contact area can be improved by using the arc blade profile to avoid the tooth edge contact, and to moderate the wave curves of transmission error instability to raise the operation stability. It can decrease the maximum contact stress and the alignment error sensitivity significantly, showing that modifying tooth profile with arc blade profile is propitious to improve the contact performance and to extend the wear life of gear pair.

Key words: arc blade profile; tooth profile modification; Ease-off; contact performance

理想的齿轮副是共轭接触的，但考虑到齿面的弹性变形、齿轮的制造误差和安装误差等的影响，理论等速比齿轮的平稳性不可能实现，且容易产生偏载，导致齿面边缘接触，因此，齿轮副通常需要进行修形，使其成为点接触齿面，从而能够改善齿面的接触性能，降低误差敏感性，减小振动和噪声^[1]。利用刀具对齿轮副进行修形是一种高效、简便的齿面修形方法，通过设计刀具切削刃的几何形状间接控制修形齿面的几何形貌，以达到减振降噪的目的。双重螺旋法加工齿轮副具有高效、低成本的特点，但是，采用双重螺旋

法加工齿轮副，齿轮的凹凸两面受到同一组机床调整参数的影响，难以保证进行直接修形后凹凸两面同时具有良好的接触特性，而刀具参数对两侧齿面的影响是单独的，预控性、灵活性较好。圆弧刀廓由于其设计简单、制造方便、修形效果显著等特点，是目前除直线刀廓外应用最广的一种刀具廓形，因此，国内外学者对圆弧刀廓修形开展了许多研究，如：STADTFELD^[2]设计了4段刀廓的新型刀具，该刀具可加工高啮合性能的摆线锥齿轮；SIMON^[3]提出了双圆弧刀廓刀具加工弧齿锥齿轮，可降低齿面接触应力；聂少武等^[4]研究了圆弧刀廓对齿面几何形状的影响，并分析了圆弧刀廓加工奥利康齿轮可降低边缘接触；姜宏阳等^[5]构建了修根刀廓，设计并优化了刀具的几何参数；杨宏斌等^[6]设计了带有刀尖和刀根突角的刀具，以此加工的齿轮齿顶和齿根都得到修形。但这些研究都是基于“五刀法”开展的。本文作者针对双重螺旋法不同的切齿原理和特性，采用圆弧刀廓对双重螺旋法加工的弧齿锥齿轮进行修形，并研究其啮合特性，为提高双重螺旋法加工齿轮副啮合性能提供依据。

1  圆弧刀廓的数学模型

在齿轮副中，由于小轮齿数较少，通常基于小轮进行齿面修形^[7-8]。本文选取小轮采用圆弧刀廓进行沿齿廓方向的修形，大轮则依然采用直线刀廓加工。

小轮圆弧刀廓及其产形面见图1。如图1(a)所示，圆弧刀廓由2部分构成，其中，a部分为刀廓的主要工作部分，圆弧半径为R₁，b部分为刀廓展成齿根圆角部分，圆弧半径为ρ₁。图1(a)中坐标系S₀(X₀，Y₀，Z₀)与小轮刀盘固连。图1(b)和(c)所示分别为小轮外、内刀产形面示意图，坐标轴Z₀为刀盘轴线，其中，M₁为小轮工作面参考点，S₀₁为沿参考点处切线从齿根到M₁点的距离。

可将a部分的产形面以矢量的形式表示如下(其中，“-”表示凸面，“+”表示凹面，θ₁为刀盘相位角，α₁为刀具齿形角)：

(1)

其单位法矢为

   (2)

建立如图2所示坐标系，其中，O′是机床中心，O₁为小轮设计交叉点，O_o1为刀盘中心，i₁-j₁平面为机床平面，S₁为径向刀位，q₁为角向刀位，X_B1为床位，X₁为轴向轮位，E₁为垂直轮位，I为刀倾角，J为刀转角，δ_M1为小齿轮轮坯安装角。产形轮的轴向与k₁轴方向相同，用单位矢量k₁=[0 0 1]^T表示。

图1  小轮圆弧刀廓及其产形面

Fig. 1  Generating surface of arc blade profile of pinion

图2  小轮加工坐标系

Fig. 2  Coordinate system to manufacture pinion

将小轮产形面方程位置矢量表示在机床坐标系σ₁中：

       (3)

        (4)

其中：，，，，和为对应的坐标变换矩阵。

小轮交叉点O₁到机床中心O′的位移矢量为

    (5)

床位X_B1会随着加工过程发生变化，与螺旋运动系数相关^[9]。

设产形轮的角速度为1，即，小轮转速为，其中i₀₁为加工小轮时的滚比，则小轮产形轮与工件之间的相对角速度与相对速度分别为：

                (6)

         (7)

其中：H_l为小轮采用双重螺旋法加工时的一阶螺旋运动系数。

最后将小轮的齿面方程表示在以小轮设计交叉点O₁为原点的坐标系中，即可得到小轮的齿面方程：

               (8)

2  齿廓修形量计算

基于圆弧刀廓的修形技术，实质上是在齿顶和齿根同时去除一层材料，相比于原齿面，修形后的齿面将在齿廓方向产生偏差^[10]，去除量用齿面修形量δ_d表示，如图3所示。图3中：p_m为原齿面离散点坐标；n_m为原齿面离散点对应的法矢；为修形后的齿面离散点坐标。齿面修形量表示为

            (9)

图3  齿面修形量示意图

Fig. 3  Schematic diagram of modification value of gear surface

3  算例

3.1  圆弧刀廓对齿面形貌的影响

以1对大轮采用成形法、小轮采用双重螺旋法加工的准双曲面齿轮副为例，大、小轮加工参数见表1。

以小轮采用圆弧刀廓R=1 250 mm建立小轮齿面，通过数值计算，求解齿面偏差，如图5所示。

表1  大小轮加工参数

Table 1  Process parameters of gear and pinion

图4  小轮采用圆弧刀具(R=1 250 mm)

Fig. 4  Pinion using arc blade tool (R=1 250 mm)

由小轮齿面偏差图可以知道：齿顶和齿根部分被削薄，工作面齿顶最大修形量为16 μm，齿根最大修形量为21.74 μm，非工作面齿顶最大修形量为16.78 μm，齿根最大修形量为47.3 μm。

齿面相对修形量(Ease-Off)是修形齿面与理论齿面的法向偏差^[11-12]，反映相配齿轮副的几何形貌特征，是分析齿面接触特性的一个重要依据。下面针对2种方案建立基于小轮齿面的Ease-off图(见图5和6)：

方案一：大、小轮均采用直线刀廓。

方案二：小轮采用圆弧刀廓R=1 250 mm，大轮采用直线刀廓。

比较图5~6可知：

1) 在齿面中点处(设计参考点)，2组齿轮副的偏差值均为0 mm，在中点相邻区域附近，方案二中齿轮副的齿面失配量(Ease-off)较方案一均有所增大，从而加大了齿轮副点啮合共轭的程度。

图5  直线刀廓下齿面Ease-Off图

Fig. 5  Ease-off of tooth surface of direct blade profile

图6  圆弧刀廓R=1 250 mm齿面Ease-off图

Fig. 6  Ease-off of tooth surface with arc blade profile and R=1 250 mm

2) 方案一工作面最大对角失配量差值为93.21 μm，非工作面差值为11.36 μm；方案二工作面最大对角失配量差值为105.39 μm，非工作面为24.97 μm。这说明在啮合过程中，采用圆弧刀廓进行加工的齿轮副的对角接触程度更加明显。

3) 方案二齿廓方向的修形量增加，齿顶和齿根部分得到更多的切削，这将有利于避免齿廓方向的边缘接触。

通过对齿轮副几何形貌分析可知：圆弧刀廓加工齿轮副，对齿廓方向修形具有明显的效果，可改善齿轮副齿面啮合性能。

3.2  有限元加载分析(LTCA)

3.2.1  接触分析有限元建模

利用Creo建立的不同刀廓形状下的螺旋锥齿轮副几何模型，导入ABAQUS进行网格划分后建立有限元模型^[13-14]，如图7所示。

图7  齿轮副有限元网格模型

Fig. 7  Finite element mesh model of gear pair

采用16Cr3NiWMoVNbE作为齿轮材料，其材料性能参数如表2所示。

表2  16Cr3NiWMoVNbE齿轮材料性能参数

Table 2  Material property parameters of gear of 16Cr3NiWMoVNbE

3.2.2  仿真结果与分析

设置小轮转速为600 r/min，大轮负载扭矩为600 N·m。分别对2组齿轮副进行有限元动态啮合仿真，得到齿轮副的传动误差如图8和图9所示。

图8  传动误差(直线刀廓)

Fig. 8  Transmission error(direct blade profile)

图9  传动误差(圆弧刀廓R=1 250 mm)

Fig. 9  Transmission error(arc blade tool R=1 250 mm)

结合图8和图9，2组齿轮副的传动误差初步分析如表3所示。

忽略齿轮副刚进入啮合非稳阶段，通过对比2组齿轮副的传动误差曲线图(图8和图9)可知：

1) 由表3可知：采用直线刀廓加工的齿轮副传动误差均值为-187.96″，峰峰值(P-P)为8.5″；采用圆弧刀廓加工的齿轮副传动误差均值为-173.42″，峰峰值为6.4″。圆弧刀廓加工齿轮副传动误差绝对值和峰峰值减小有利于减小啮合振动，提高平稳性。

表3  传动误差分析

Table 3  Analysis for transmission error

2) 如图9所示，由于采用圆弧刀廓加工齿轮副对齿根和齿顶的修形量不同，造成传动误差存在差异。对比图8和图9可以发现：修形齿面齿顶(h₁)与原齿面齿顶的传动误差波动情况近似，而齿根(h₂)误差波动增大。这是由于齿顶相对于齿根修形量要小，因此，其传动误差波动相对较小。

同时，得到大、小轮工作面、非工作面的表面接触区及接触应力云图，如图10和图11所示。

对比图10和图11可知：

1) 圆弧刀廓加工齿面副的接触区变得狭长，即齿高方向接触区变窄，齿长方向接触区变长，这有利于减少齿面磨损率。

2) 图10中接触区靠近大轮的齿顶部分，靠近小轮的齿根部分，有边缘接触趋势，图11中齿顶、齿根方向上的接触则有明显改善，这表明采用圆弧刀廓修形后，可避免边缘接触。

3) 直线刀廓加工的工作齿面、非工作齿面最大接触应力分别为2 070 MPa和1 523 MPa，圆弧刀廓加工的工作齿面、非工作齿面最大接触应力分别为1 799 MPa和1 465 MPa，最大接触应力分别下降13%和4%。

分别提取不同刀廓加工的大、小轮最大齿面接触应力进行比较，如图12~15所示，同时提取啮入、啮出点齿面最大接触应力如表4所示。由表4可知：圆弧刀廓加工的齿面啮入和啮出的最大接触应力相对直线刀廓齿轮副最大降幅分别为21.02%和25.45%，工作面最大接触应力平均值降幅大于10 %，说明圆弧刀廓加工的齿面可显著减小磨损、冲击和振动。

3.3  圆弧刀廓修形齿面接触应力对齿轮副安装误差敏感性

安装误差敏感性是评价齿面接触质量的一项重要指标，同时也是影响齿轮副啮合性能的关键因素。齿轮传动误差和法向接触力均对小轮安装距误差较为敏感^[15-17]，其次为小轮偏置距误差，在此预设小轮安装距误差△H=0.05 mm，小轮偏置距误差△V=0.025 mm，给定载荷600 Nm时，采用不同圆弧刀廓加工齿轮副，得到其齿面接触区如图16和图17所示。

图10  直线刀廓加工齿面啮合接触区

Fig. 10  Meshing contact area manufactured by direct tool profile

图11  圆弧刀廓加工齿面啮合接触区

Fig. 11  Meshing contact area manufactured by arc tool profile

图12  大轮工作面最大接触力

Fig. 12  The maximal contact force of gear drive side

图13  小轮工作面最大接触力

Fig. 13  The maximal contact force of pattern drive side

图14  大轮非工作面最大接触力

Fig. 14  The maximal contact force of coast drive side

图15  小轮非工作面最大接触力

Fig. 15  The maximal contact force of pattern drive side

表4  两组齿轮副最大接触应力增减幅度

Table 4  Force increase and decrease of maximal contact amplitude of two group gear pairs

比较图10与11(a)和(b)以及图16与图17可知：

1) 在安装误差影响下，直线刀廓加工齿轮副接触区移位到大轮小端边界，齿面高应力区主要分布在靠近齿顶上部，可导致齿顶异常磨损，并增大齿根弯曲强度。

2) 采用圆弧刀廓进行齿廓修形后，齿面接触区得到明显优化，避免了小端边界接触和高应力区分布在强度较小的齿顶，齿面接触应力分布较均匀，最大接触应力有所减少。

图16  △H=0.05 mm，△V=0.025 mm时直线刀廓齿面接触区

Fig. 16  Tooth surface contact with direct tool profile in △H=0.05 mm and △V=0.025 mm

图17  △H=0.05 mm，△V=0.025 mm时圆弧刀廓齿面接触区

Fig. 17  Tooth surface contact with arc tool profile in △H=0.05 mm and △V=0.025 mm

4  结论

1) 研究了基于圆弧刀廓的双重螺旋法加工齿轮副齿廓修形技术，建立了圆弧刀廓加工小轮齿面模型。

2) 圆弧刀廓加工的齿轮副在啮合初始阶段，传动误差减小，这在一定程度上提高了齿轮副传动平稳性。

3) 圆弧刀廓修形有效降低了齿轮副啮入、啮出的齿面接触压力，降低了最大接触应力平均值，提高了齿轮副承载能力，在相同载荷下可减小磨损。

4) 圆弧刀廓加工齿轮副可以有效降低安装误差敏感性，在安装距偏差工况下，可避免引起边缘接触。

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(编辑  杨幼平)

收稿日期：2017-10-31；修回日期：2017-12-28

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51575533)(Project(51575533) supported by the National Natural Science Foundation of China)

通信作者：严宏志，博士，教授，从事复杂曲面数字制造理论与技术研究；E-mail：yhzcsu@163.com