DOI： 10.11817/j.issn.1672-7207.2020.07.011
基于实际影响线的移动车辆过桥动力放大系数计算方法
王宁波,周逸,周德
（中南大学 土木工程学院，湖南 长沙，410075）
摘要:通过分析现有桥梁动力放大系数(DAF)计算方法的特点和不足，提出一种基于实际影响线的DAF计算方法。首先，从移动车辆荷载作用所致的桥梁动力响应中提取桥梁测点实际影响线；然后，引入轮胎-路面接触力分布模型，结合车轴信息并采用影响线叠加重构桥梁准静态响应；最后，提取桥梁最大静力响应并以此计算DAF。开展移动车辆过桥数值仿真，对比研究波峰-波谷法、低通滤波法和本文基于实际影响线DAF提取方法对桥梁最大静力响应及DAF的计算差异。研究结果表明：基于实际影响线重构法提取的桥梁最大静力响应恒定，行车速度和路面状况的改变对车辆作用下桥梁最大静态响应值提取无影响，与实际情况相符；与现有桥梁动力放大系数计算方法相比，本文方法所得DAF更加精确、合理可靠。
关键词:动力放大系数；准静态响应；响应重构；桥梁影响线
中图分类号:TV45 文献标志码:A 开放科学(资源服务)标识码(OSID)
文章编号:1672-7207（2020）07-1853-09
A calculation method for moving vehicle induced bridge dynamic amplification factor based on influence line
WANG Ningbo, ZHOU Yi, ZHOU De
(School of Civil Engineering, Central South University, Changsha 410075, China)
Abstract: The characteristics and disadvantages of the existing bridge dynamic amplification factor(DAF) calculation methods were analyzed, and a new DAF calculation method based on the influence line information of bridge structures was proposed. Firstly, the actual influence line of the measurement point on bridge was extracted from the dynamic response excited by a passing vehicle. Then, a numerical model of the tire-pavement contact force distribution and the axle information of the passing vehicle were introduced in the influence line to reconstruct the quasi-static response of the bridge. Finally,the maximum static response was extracted from the reconstructed curve to calculate the DAF.Numerical simulation of the vehicle-bridge model was conducted to compare the difference of the maximum static responses and the DAF based on the peak-valley method, low-pass filtering method and the proposed method. The results show that the maximum static response obtained by the proposed method in the paper is stable and not affected by the vehicle velocity and road conditions. Compared to the existing bridge DAF calculation methods, the influence line based method proposed in the paper is more accurate, reasonable and reliable.
Key words: dynamic amplification factor; quasi-static response; response reconstruction; bridge influence line
移动车辆荷载引起的桥梁动力放大系数(dynamic amplification factor, DAF，用FDA表示)是与桥梁设计、检测评估、运营管养密切相关的重要参数，精确的FDA取值可同时反映桥梁设计的经济性和安全性。但至目前为止，不同国家的桥梁设计规范对动力放大系数规定均不相同。美国桥梁设计规范(AASHTO)、欧洲规范(CEN)、日本规范(JRA)、韩国规范(KBDS)均是基于桥梁跨径来规定FDA的取值，其中，欧洲规范对于不同车道数桥梁的动力放大系数规定也不相同，日本规范对钢桥、混凝土桥等不同类型桥梁分开规定；中国公路桥涵设计通用规范(MTPRC)基于桥梁固有频率规定FDA取值；加拿大规范(CHBDC)根据车辆轴数确定FDA取值；澳大利亚规范(AS5100)、英国规范(BS5400)则根据车辆荷载类型规定FDA限值[1]。不同国家桥梁设计规范在动力放大系数规定内容和形式上的差异，导致同一桥梁结构按不同规范设计时的FDA不同，为此，众多学者对桥梁FDA设计限值合理性及改进方面进行了大量研究。JUNG等[2]收集256座现有桥梁实测动力放大系数并进行分析研究，结果表明，当前韩国规范(基于桥梁跨径)关于FDA的限值偏低，并针对不同上部结构类型桥梁提出了更保守的基于固有频率的动力放大系数限值确定方法。殷新锋等[3]测试了路面严重破损工况下的FDA，并与不同国家规范的限值进行比较，发现对于路面已经严重恶化的旧桥，通过规范计算出来的动力放大系数并不可靠。HAN等[4]借助健康检测系统所得数据研究典型高速公路中跨桥梁在超重车辆(总质量80 t以上)过桥时的FDA，并与中国MTPRC和美国AASHTO的FDA进行对比，发现在路面平顺性较好的情况下，实测超重车辆引起的FDA基本落在这2个规范的限制范围内；此外，桥梁FDA随路面粗糙度增大而增大，随车辆荷载增大而减小并逐步趋近于1，且车辆直接作用位置处纵梁动力放大系数比远离车辆作用位置处纵梁的动力放大系数小[5]。ZHAO等[6]结合B-WIM系统测试数据研究不同行车工况下桥梁各构件及其整体的FDA，发现丰富的B-WIM数据信息将有助于更准确地提取FDA。结合车-桥耦合振动数值模拟研究不同类型桥梁FDA受车辆类型、行车速度、桥梁跨度、频率、路面粗糙度等因素或多种因素的影响也是广泛关注的热点[7-8]。DENG等[9]基于3维车-桥耦合振动有限元模型模拟计算，研究了行车速度、路面粗糙度对不同跨度混凝土桥FDA的影响，发现不同路面粗糙度对桥梁FDA影响较大。HARRIS等[10]采用多刚体系统车辆模型和简支Euler-Bernoulli梁模型进行车-桥耦合计算，研究车辆悬挂系统阻尼对桥梁FDA的影响，发现在路面平顺性较好情况下车辆悬挂参数造成的影响很小。上述研究均是以桥梁动力放大系数的精确提取为前提，但事实上，关于FDA的计算方法研究较少。桥梁动力放大系数提取的关键是获取精确的最大静力响应，以广泛使用的波峰-波谷法[11]为例，将动态响应最大峰值和相邻波谷值的平均值定义为最大静力响应，该结果受波谷值选择、测试噪声等因素的影响很大。通过对动态信号的滤波处理获取静态响应也是一种常用方法[12]，合理的滤波器可以消除振动干扰并同时保留静态信息，但动态信号和静态信号之间往往存在频率混叠问题，很难彻底地滤波分离，多会导致同一车辆荷载作用下出现不同最大静态响应值的情况。本文作者以桥梁结构实际影响线的准确提取研究为基础，根据实际影响线叠加重构车辆过桥准静态响应的思路，提出一种基于实际影响线的FDA计算方法。结合桥梁实际影响线和车辆荷载信息，重构车辆过桥准静态响应曲线，从而获取最大静态响应值并计算精确FDA。结合车-桥耦合振动数值计算，对比研究波峰-波谷法、低通滤波法和基于实际影响线重构的FDA计算方法之间的差异，验证本文方法的正确性和可行性。
1 既有动力放大系数计算方法分析
FDA表征移动车辆荷载对桥梁的冲击效应，是反映结构动力性能的重要指标。移动车辆过桥时由于受车体振动、路面不平顺等因素的影响，桥梁会产生相较于静载作用下更严重的结构变形，过大的动力放大效应甚至会引起结构损伤。为保证桥梁运营安全，公路桥梁设计规范中将移动车辆的静载效应乘以FDA作为移动车辆总效应，通常FDA被定义为移动荷载作用下桥梁最大动力响应和相应静载作用下最大响应之比：
(1)
式中：ydmax为桥梁最大动力响应；ysmax为相应的静载作用下桥梁最大响应。
1.1 基于波峰-波谷法的DAF计算
目前，公路桥梁试验规范中采用波峰-波谷法对FDA进行计算，测试记录移动车辆荷载过桥引起的桥梁关键点位动力响应时程曲线，确定动力时程曲线响应峰值点和相邻谷值点。将二者均值视为该测点在同一荷载作用下的最大静力响应值
，再根据式(1)计算系数FDA，基于波峰-波谷法的最大静力响应计算如图1所示。
图1 波峰-波谷法示意图
Fig. 1 Illustration of peak-valley method
(2)
式中：ymax为桥梁动力响应时程曲线的响应峰值；ymin为与峰值点相邻的响应谷值。
多数情况下桥梁动力响应时程曲线波形不够理想，采用波峰-波谷法计算桥梁最大静力响应往往带有主观性，与响应峰值相邻左、右波谷值的选择也会导致所得的最大静力响应存在较大差异，因此，同样的试验数据也会得到不同的FDA计算结果。一般地，在不同行车条件下，同一车辆过桥得到的桥梁动力响应曲线不同，应用波峰-波谷法所提取的最大静力响应也存在差异，这不利于对桥梁结构动力性能进行客观评价。
1.2 基于低通滤波法的DAF计算
针对动力放大系数相对较大、影响因素较为复杂的中小跨简支梁桥，李伟钊等[13]基于现代动态信号分析理论，提出对桥梁动力响应曲线进行低通滤波提取桥梁最大静力响应的方法。在该过程中，将移动车辆对桥梁的作用近似为移动常量力和移动简谐力叠加，对桥梁动力响应进行频谱分析并取功率谱第1个主瓣的右谷值为截止频率，相对于截止频率的低频段即为桥梁振动响应中静态分量的频段。通过低通滤波从动力响应中提取相应的静力成分，低通滤波器频响函数H(f)如式(3)所示，其中，fu为低通滤波截止频率。典型的滤波前后桥梁响应时程曲线见图2。
图2 滤波前后桥梁响应曲线
Fig. 2 Bridge response curve before and after filtering
(3)
低通滤波法的实质是通过滤波消除动力响应中波动部分，提取静态趋势项得到最大静力响应。在提取桥梁最大静力时，截止频率的选择至关重要，同一车辆在不同速度、不同路面等级下通过桥梁引起的桥梁动力响应存在差异，这种差异影响截止频率的选取，由此往往导致同一车辆荷载作用下出现不同桥梁最大静力响应，这与实际情况不符。桥梁振动响应的静力部分和波动部分还可能存在频率混叠，通过滤波法消除振动项的同时可能导致静力成分丢失，降低桥梁静力响应幅值，从而影响FDA的计算精度。特别地，对于高速车辆过桥的动力放大问题，移动车辆甚至导致响应静态趋势项放大[14]，在这种情况下，低通滤波法则无法获取准确静力响应。
2 基于影响线的动力放大系数计算方法
基于影响线的FDA计算方法依赖于桥梁结构的实际影响线信息。通过构造桥梁测点影响线模型，结合最小二乘拟合方法，从车辆过桥的动力响应中提取测点实际影响线[15]。结合桥梁实际影响线信息叠加构造车辆过桥的准静态响应曲线，以此提取最大静力响应并计算FDA。
2.1 桥梁实际影响线提取
结合理论分析并采用分段多项式模型描述桥梁测点影响线，将车辆各轴重与桥梁影响线离散矢量乘积所得曲线进行错位线性叠加，以此拟合桥梁测点动力响应曲线。以三轴车辆过桥为例，测点挠度实测响应及拟合曲线如图3所示。图3中，TA1，TA2和TA3分别表示车辆第1至第3轴进桥时间，TC1，TC2和TC3分别表示车辆第1至第3轴出桥时间。
图3 实际影响线拟合提取示意图
Fig. 3 Example of actual influence line extraction
三轴车辆轴质量分别记为m1，m2和m3，桥梁测点挠度影响线离散矢量记为LDI，移动车辆作用下测点响应的拟合曲线离散矢量记为
，
，将实测响应R与拟合值之差的平方和定义为误差函数，则满足如下关系式：
(4)
(5)
式中：LDI为影响线离散处理后的对应向量；c1和c2分别为与车辆1-2和2-3轴轴距相关的零向量长度；K为实测响应采样点或离散点总数；Rk和
分别为与采样点k对应的桥梁实测响应及其拟合值。结合最小二乘原理计算得到桥梁实际影响线，关于桥梁实际影响线计算提取的细节见参考文献[13]。
2.2 基于实际影响线的FDA计算方法
为提高桥梁准静态响应曲线精度，对轮胎-路面接触力分布进行细化，考虑接触力沿接触斑方向非均匀分布，引入VELENIS等[16]提出的梯形分布模型描述轮胎与路面之间的垂直接触力。轮胎-路面接触力分布模型如图4所示，垂直应力在中间区域最大，是1个稳定值。在过渡区中，垂直应力从接触区域边缘由0增加，直至等同于中间区域的应力为止。
图4 轮胎-路面接触力分布模型
Fig. 4 Model of tire-road contact force distribution
图4中，中间区平均应力qc与轮胎类型、充气气压、竖向压力等因素相关，采用RONALD[17]提出的经验公式进行计算。假设各区域应力在轮胎宽度方向均匀分布，轮胎宽度B已知，可计算得出轮胎-路面接触区域中间区接触斑长度Lc、单侧过渡区接触斑长度Le及轮胎接触斑总长度Lj。则轮胎-路面接触力可用沿接触斑长度分布的线荷载表示：
(6)
式中：xt为轮胎接触斑上任一点到接触斑边缘的距离。
考虑梯形轮胎-路面接触力分布模型，假设同一车轴上的轮胎种类相同，且车轴所受的竖向力均匀分布到各个轮胎，则车辆过桥时，桥梁测点处重构的桥梁准静态响应如下[18]：
(7)
式中：n为车轴总轴数；Li为第i轴接触斑总长度；T(i)为第i轴的轮胎个数；fi(xt)表示第i轴轮胎-路面接触线荷载分布函数；x为车辆第1轴轴心位置与桥梁端点的距离；di为车辆第i轴与第1轴之间的距离，d1=0；I(x)表示提取的桥梁测点影响线函数，当x
(0, L)时，I(x)=0。
对于桥面较宽需考虑车辆横向位置影响的工况，应进行多次试验获取车辆荷载作用于不同车道的桥梁测点影响线信息，重构响应时则根据车辆作用位置选取对应的影响线进行叠加计算。
由式(7)可知，当车辆作用于桥上不同位置时，桥梁测点响应可根据实际影响线叠加得到，从而获得移动车辆过桥时桥梁准静态响应，以此提取最大静态响应值用于FDA计算。基于实际影响线的FDA计算定义如下：
(8)
其中：rmax为由桥梁实际影响线重构的准静态响应的最大值，如图5所示。
图5 基于实际影响线的FDA计算方法
Fig. 5 Illustration of FDA calculation method based on actual influence line
3 数值计算
以三轴车辆通过等截面简支梁为例，基于Matlab数值计算平台进行编程计算，建立车-桥耦合时变系统振动方程，分别组建任一时刻多体系统质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵和荷载列阵，采用wilson-θ法积分求解车辆过桥时系统动力响应时程[19]，在此基础上对几种桥梁动力放大系数计算方法及计算结果进行比较研究。选用桥梁模型参数如下：跨径L为16 m，桥梁线密度ρA=1.07×104 kg/m(其中，ρ为桥梁密度，A为桥梁截面面积)，抗弯刚度EI=4.36×109 N·m2(其中，E为弹性模量，I为桥梁截面惯性矩)。假定桥梁结构阻尼系数ζ=0.02。车辆采用图6所示三轴车模型，具体参数见文献[15]。
图6 三轴车模型
Fig. 6 Three-axle vehicle model
3.1 不同行车速度下FDA计算分析
车速变化会导致车辆对桥梁作用力激振频率发生改变，对车桥耦合振动具有较大影响[20]，继而影响桥梁静力响应的提取。为分析车速对桥梁最大静力响应提取的影响，取三轴车模型依次以不同速度匀速通过桥梁，桥面不平度参考国际标准ISO 8608[21]，桥面不平度等级取B级，桥中心线距底边缘0.41 m，数值计算不同行车速度下桥梁动力响应。车辆以不同速度过桥时跨中的挠度响应和应变响应曲线如图7所示。
分别采用波峰-波谷法、低通滤波法、基于实际影响线重构法从不同行车工况下的桥梁动力响应曲线中提取桥梁最大静力响应，并分析计算桥梁最大静力响应理论值。针对数值计算的挠度和应变响应曲线，将3种方法的计算结果与理论结果进行比较，如图8所示。从图8可以看出：基于实际影响线重构法得到的最大静力响应值与理论结果基本一致；低通滤波法计算结果与理论结果相比存在一定偏差，在理论值附近波动；波峰-波谷法提取的桥梁最大静力响应值与理论值偏差较大，其挠度响应和应变响应相对于理论值的误差均比其他方法的大。
采用波峰-波谷法、低通滤波法及本文方法计算的不同车速下桥梁FDA如表1所示。从表1可见：当车辆速度不超过80 km/h时，应用本文方法所得到的桥梁FDA相较理论值最大相对误差为0.1%；采用低通滤波法计算求得的FDA与理论值最大相对误差为-5.24%；采用波峰-波谷法所得FDA最大相对误差达到9.84%，而且一般速度越高，相对误差越大。
图7 不同车速下桥梁动力响应曲线
Fig. 7 Bridge dynamic response curve under different vehicle speeds
图8 不同车速过桥时提取的桥梁最大静力响应
Fig. 8 The extracted maximum static response of bridge under different vehicle speeds
表1 不同速度下FDA计算结果
Table 1 Calculation results of FDA under different speeds
3.2 不同路面平整度下FDA计算分析
路面不平顺是影响桥梁车激振动的主要因素之一，针对国内桥梁常见的路面状况，路面不平度等级分别取A，B，C和D共4个等级。假定路面不平度是平稳各态历经零均值的Guass随机过程，对路面功率谱密度函数进行快速傅里叶逆变换，并经过三角级数迭加计算得到路面不平度纵向分布函数。车辆以20 km/h的速度过桥，分析路面不平度对桥梁最大静力响应提取的影响。不同路面状况下车辆过桥引起的桥梁跨中动力响应如图9所示。
图9 不同路面等级下桥梁动力响应曲线
Fig. 9 Bridge dynamic response curves under different road levels
几种路面不平度等级下采用不同方法提取的桥梁最大静力响应值见表2。从表2可见：采用实际影响线重构法提取的桥梁最大静力响应最大相对误差为0.07%，同时不随桥面等级变化而变化，表现出良好的稳定性；低通滤波法计算结果相对误差随桥面不平度等级变化而变化，在D级桥面下相对误差最大，挠度和应变的计算结果最大相对误差分别为6.5%和5.97%；波峰-波谷法提取的最大静力响应在路面状况恶化严重时相对误差较大，最大相对误差达-10.86%。
表2 不同路面等级最大静力响应计算结果
Table 2 Calculation results of the maximum static response of under different road levels
与表2对应的不同路面状况下桥梁FDA见表3。从表3可见：采用本文方法计算得到的桥梁动力放大系数误差很小，且不受路面状况影响；采用低通滤波法和波峰-波谷法提取的FDA大多精度较低，随桥面状况的恶化，提取的动力放大系数相对理论值的误差逐渐增大。采用实际影响线重构法所得的精确FDA更有利于桥梁设计和评估。
表3 不同路面等级下FDA计算结果
Table 3 Calculation results of FDA under different road levels
3.3 参数分析
上述3种FDA计算方法获取桥梁最大静力响应值的准确性不同，则其计算过程所需参数也不同，如表4所示。
表4 FDA计算方法参数比较
Table 4 Parametric comparison of different FDA calculation methods
动力响应是以上3种方法必需的参数信息；此外，利用波峰-波谷法计算FDA时不再需要其他参数，结合滤波方法计算FDA需已知结构频率(桥梁固有特性)，本文方法则同时依赖于测点影响线(桥梁固有特性)和车轴信息(车辆轴重、轴距)。
综上可以发现：上述3种方法计算桥梁FDA所需参数越多，则结果越准确；采用的参数越少，则计算结果多存在较大偏差。当前土木工程领域信息化进程加快，结合多传感、多信息融合的计算机技术、智能信息处理技术等已融入土木工程的研究。本文提出的基于影响线叠加的桥梁FDA计算方法综合引入桥梁固有特性和车轴信息，能获取准确、真实的FDA，对于处理静、动力行为差异较大的桥梁结构(如高墩桥梁等)具有明显优势。
4 结论
1) 提出了一种基于实际影响线的桥梁动力放大系数FDA计算方法。结合桥梁实际影响线和车轴信息重构移动车辆作用下桥梁准静态响应，以此计算车辆过桥导致的FDA。该方法以桥梁实际影响线精确获取为基础，并要求已知车辆轴重、轴距等信息，从而获取的FDA更加准确。
2) 同一车辆过桥时，基于既有波峰-波谷法和低通滤波法提取的桥梁最大静力响应随行车条件(如车辆速度、路面平顺性等)变化而变化，其计算所得FDA均存在一定误差。据本文方法得到的静力响应值不受行车条件变化的影响，符合实际情况，FDA计算更加合理、可靠。
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（编辑 陈灿华）
收稿日期： 2019 -10 -12; 修回日期： 2019 -12 -22
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51508576, 51478472); 国家重点研发计划项目(2017YFB1201204) (Projects(51508576, 51478472) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(2017YFB1201204) supported by the National Key Research and Development Program of China)
通信作者：周德，博士，讲师，从事桥梁结构理论与应用研究；E-mail: 210026@csu.edu.cn
