封闭差动行星传动系统中心轮动力学浮动量分析

朱增宝^{1, 2}，朱如鹏¹，鲍和云¹，靳广虎¹

(1. 南京航空航天大学 机电学院，江苏 南京，210016；

2. 安徽理工大学 机械工程学院，安徽 淮南，232001)

摘要：基于集中参数振动理论，建立采用中心轮浮动的封闭差动行星传动系统动力学模型。考虑支撑的弹性变形、啮合齿轮副的时变啮合刚度激励和齿轮误差激励。计算系统两级中心轮的浮动量，获得齿轮误差、支撑刚度与系统两级中心轮浮动量间的关系曲线，分析误差、支撑刚度对系统两级中心轮浮动量的影响。研究结果表明：系统两级中心轮浮动量随误差增大而增大；差动级中心轮的浮动量远比封闭级的浮动量大；差动级齿频误差引起的中心轮浮动量远大于偏心误差引起的浮动量，差动级中心轮浮动量对齿频误差比偏心误差敏感；可以适度减小系统两级中心轮的支撑刚度来提高两级中心轮的浮动能力；为实现差动级中心轮较高的浮动能力，差动级中心轮应采用较小的支撑刚度。

关键词：封闭差动行星传动；中心轮；动力学；浮动量

中图分类号：TH132          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2012)02-0497-08

Analysis of dynamic floating displacement of center gear for encased differential planetary train

ZHU Zeng-bao^{1, 2}, ZHU Ru-peng¹, BAO He-yun¹, JIN Guang-hu¹

(1. College of Mechanical and Electrical Engineering,

Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China;

2. College of Mechanical Engineering, Anhui University of Science and Technology, Huainan 232001, China)

Abstract: Based on the vibration theory of the concentrated parameter, a dynamics model which adopted the floating frame of the center gears for the encased differential planetary train was set up. The elastic deformation of the bearings, the time-varying meshing stiffness and the gear errors were considered in the model. The center gears’ floating displacements of the two stages were calculated and some curves of the relationships between the errors (the bearing stiffness) and the center gears’ floating displacements were obtained. The impacts of the errors and bearing stiffness on the center gears’ floating displacements were analyzed. The results show that the center gears’ floating displacements of the two stages change largely with the increase of the errors. The center gear’s floating displacements of the differential stage are much bigger than those of the encased stage. In differential stages, the floating displacements caused by the meshing-frequency error are far greater than those by the run-out errors, and the floating displacements are more sensitive to the meshing-frequency errors than the run-out errors. The center gears’ bearing stiffness of the two stages can be decreased moderately to increase the center gears’ floating displacements. In order to realize the larger floating displacements of the center gears of the differential stage, the center gears’ bearing stiffness of the differential stage should be smaller.

Key words: encased differential planetary train; center gear; dynamic; floating displacement

封闭差动行星传动系统是星型轮系(封闭级)封闭差动行星轮系(差动级)的组合传动机构。在航空发动机主减速器、起重机构和船舶动力传动系统等很多领域得到广泛应用。由于不可避免地存在制造和安装误差以及构件的变形等因素影响，致使行星轮及星轮间的载荷分配不均匀，这是传动系统产生异常的工作情况或出现事故的原因。载荷均衡是发挥封闭差动行星传动优点的重要条件。常用的均载措施是利用中心轮允许的浮动量来满足各误差引起中心轮的位移要求来均衡载荷^[1]。这要求进行浮动量的精确计算，根据最大浮动量预留浮动空间，确保浮动构件的浮动能力。行星传动的动力学及均载特性研究是进行行星传动浮动构件动力学浮动量研究的基础。Kasuba等^[2-6]进行了行星传动动力学研究；Kahraman等^[7-10]进行了行星传动均载特性的理论及实验研究，但对浮动构件浮动量的动力学研究很少。宁凤莲等^[11]用纯几何方法计算了浮动构件的浮动量，但没有考虑传动系统的工况；鲍和云等^[12]采用静力学方法计算了行星传动浮动构件浮动量，但没有考虑阻尼、转速波动和啮合刚度的时变性。上述2种方法所得计算结果与实际结果差别较大。对于封闭差动行星传动系统，浮动构件浮动量的研究未见报道，因此，开展封闭差动行星传动系统动力学浮动量的研究很有必要。在此，本文作者基于集中参数振动理论，采用中心轮浮动结构，建立了封闭差动行星传动系统动力学模型，考虑工况、误差、支撑刚度和时变啮合刚度对浮动量的影响，计算中心轮的浮动量，分析误差、支撑刚度对中心轮浮动量的影响，以便为封闭差动行星传动系统两级误差精度等级的控制和两级中心轮支撑刚度的确定提供理论依据。

1  传动系统的动力学模型

封闭差动行星传动系统简图如图1所示。系统由差动级(太阳轮Z_s1、行星轮Z_pi(i=1，2，…，N)、内齿轮Z_r1、行星架H)和封闭级(太阳轮Z_s2、星轮Z_mj(j=1，2，…，M)、内齿轮Z_r2、输出轴L)相连接而成(其中：N表示行星轮个数，M表示星轮个数)。输入扭矩T_D经差动级太阳轮Z_s1分流到行星架H和内齿轮Z_r1，通过内齿轮Z_r1传至封闭级太阳轮Z_s2，然后，分别由行星架H和封闭级内齿轮Z_r2汇流到输出轴L上。

图2所示为系统的动力学模型，其中：图2(a)所示为差动级动力学模型，采用以行星架转速ω_H旋转的动坐标系；图2(b)所示为封闭级动力学模型，采用固定坐标系。作为封闭差动行星传动系统均载措施之一，差动级和封闭级的中心轮(太阳轮和内齿轮)可以浮动，在各自坐标系中具有横向和纵向位移。行星架、行星轮和星轮没有浮动能力，仅具有扭转自由度。

图1  封闭差动行星传动系统简图

Fig.1  Sketch of encased differential planetary train

图2  封闭差动行星传动系统动力学模型

Fig.2  Dynamic model of encased differential planetary train

图2中，K_HL，K_r2L和K_r1s2分别为连接H与L，Z_r2与L以及Z_r1与Z_s2的扭转刚度；K_s1，K_p，K_r1，K_s2，K_m和K_r2分别为齿轮Z_s1，Z_pi，Z_r1，Z_s2，Z_mj和Z_r2的支撑刚度；K_H为行星架H在行星轮公转半径r_H上的等效切向刚度。

封闭差动行星传动系统共有(14+N+M)个自由度，其广义位移列向量X表示为

；     (1)

(i=1，2，…，N；j=1，2，…，M)

式中：x_s1，x_pi，x_r1，x_s2，x_mj和x_r2分别为齿轮Z_s1，Z_pi，Z_r1，Z_s2，Z_mj和Z_r2沿基圆扭转的线位移；x_H为行星架H在其半径r_H的线位移；x_L为负载转矩作用在输出轴L与内齿轮Z_r2接触处r_L上的线位移；H_s1和V_s1分别为齿轮Z_s1中心在旋转坐标系中的横向位移；H_r1和V_r1分别为齿轮Z_r1中心在旋转坐标系中的纵向位移；H_s2和V_s2分别为齿轮Z_s2中心在固定坐标系中的横向位移；H_r2和V_r2分别为齿轮Z_r2中心在固定坐标系中的纵向位移。

2  系统的动力学平衡方程

令P_spi为齿轮副Z_s1与Z_pi的弹性啮合力；P_rpi为齿轮副Z_pi与Z_r1的弹性啮合力，则差动级齿轮副弹性啮合力为

 (2)

式中：K_spi为齿轮副Z_s1与Z_pi的时变啮合刚度；K_rpi为齿轮副Z_pi与Z_r1的时变啮合刚度；α₁为齿轮副Z_s1与Z_pi的啮合角；α₂为齿轮副Z_pi与Z_r1的啮合角；e_spi表示偏心误差和齿频误差在齿轮副Z_s1与Z_pi啮合线上的等效位移；e_rpi表示偏心误差和齿频误差在齿轮副Z_pi与Z_r1啮合线上的等效位移；2π(i-1)/N表示第i个行星轮相对于第一个行星轮的位置角。

令P_smj为齿轮副Z_s2与Z_mj的弹性啮合力；P_rmj为齿轮副Z_mj与Z_r2的弹性啮合力，则封闭级齿轮副弹性啮合力为

(3)

式中：j=1，2，…，M；K_smj为齿轮副Z_s2与Z_mj的时变啮合刚度；K_rmj为齿轮副Z_mj与Z_r2的时变啮合刚度；α₃为齿轮副Z_s2与Z_mj的啮合角；α₄为齿轮副Z_mj与Z_r2的啮合角；e_smj表示偏心误差和齿频误差在齿轮副Z_s2与Z_mj啮合线上的等效位移；e_rmj表示偏心误差和齿频误差在齿轮副Z_mj与Z_r2啮合线上的等效位移；2π(j-1)/M表示第j个星轮相对于第1个星轮的位置角。

令D_spi为齿轮副Z_s1与Z_pi的啮合阻尼力；D_rpi为齿轮副Z_pi与Z_r1的啮合阻尼力，则差动级齿轮副啮合阻尼力为

 (4)

式中：C_sp为齿轮副Z_s1与Z_pi的阻尼系数；C_rp为齿轮副Z_pi与Z_r1的阻尼系数。

令D_smj为齿轮副Z_s2与Z_mj的啮合阻尼力；D_rmj为齿轮副Z_mj与Z_r2的啮合阻尼力，则封闭级齿轮副啮合阻尼力为

 (5)

式中：C_sm为齿轮副Z_s2与Z_mj之间的阻尼系数；C_rm为齿轮副Z_mj与Z_r2之间的阻尼系数。

采用中心轮浮动结构，建立如下封闭差动行星传动系统动力学方程：

(6a)

    (6b)

(6c)

(6d)

  (6e)

(6f)

(6g)

(6h)

式中：m_s1，m_p，m_r1，m_s2，m_m和m_r2分别为齿轮Z_s1，Z_pi，Z_r1，Z_s2，Z_mj和Z_r2在各自基圆半径上等效质量；m_H为行星架H在行星轮公转半径r_H上的等效质量；m_L为输出轴L与内齿轮Z_r2接触处r_L上的等效质量；M_s1，M_r1，M_s2和M_r2分别为齿轮Z_s1，Z_r1，Z_s2和Z_r2的质量；P_D为输入转矩T_D在太阳轮Z_s1基圆半径r_s1b上的等效力，P_D=T_D/r_s1b；P_L为负载转矩T_L在输出轴L与内齿轮Z_r2接触处r_L上的等效力；P_L=T_L/r_L。

3  误差等效位移和时变啮合刚度

3.1  误差等效位移

用齿轮偏心误差表示安装和制造误差，认为安装和制造误差包含在齿轮偏心误差中；齿轮传动的齿形制造传递误差用齿频误差来表示。把齿轮的偏心与齿频误差转化到啮合线上，则差动级齿轮偏心与齿频误差在啮合线上等效位移为：

(7)

式中：E_s1，E_pi和E_r1分别表示齿轮Z_s1，Z_pi和Z_r1的偏心误差的幅值；φ_s1，φ_pi和φ_r1分别表示齿轮Z_s1、Z_pi和Z_r1偏心误差的初相位；E_spi和E_rpi分别表示齿轮副Z_s1与Z_pi和Z_pi与Z_r1的齿频误差幅值；φ_spi和φ_rpi分别表示齿轮副Z_s1与Z_pi和Z_pi与Z_r1齿频误差的初相位；ω₁为差动级的啮合齿频；ω_sH，ω_pH和ω_rH分别为齿轮Z_s1，Z_pi和Z_r1相对行星架H的相对角速度。

封闭级齿轮的偏心与齿频误差转化到啮合线上等效位移为

(8)

式中：E_s2，E_mj和E_r2分别表示齿轮Z_s2，Z_mj和Z_r2的偏心误差的幅值；φ_s2，φ_mj和φ_r2分别表示齿轮Z_s2，Z_mj和Z_r2偏心误差的初相位；E_smj和E_rmj分别表示齿轮副Z_s2与Z_mj和Z_mj与Z_r2之间的齿频误差幅值；φ_smj和φ_rmj分别表示齿轮副Z_s2与Z_mj和Z_mj与Z_r2之间齿频误差的初相位；ω₂为封闭级的啮合齿频；ω_s2，ω_m和ω_r2分别为封闭级齿轮Z_s2，Z_mj和Z_r2的角速度。

3.2  直齿轮时变啮合刚度

直齿轮时变啮合刚度k(t)采用Maatar等^[13]推导的公式计算，则

(9)

式中：τ=t/T_m；t为时间；T_m为啮合周期；k₀，A_k，B_k和L_m具体含义见文献[13]；ψ为各个行星轮(星轮)之间啮合相位差，按Parker等^[14]提出的方法计算。

4  浮动量计算

采用傅里叶级数法^[15]求解式6(a)~6(h)获得式(1)广义位移列向量X后进行浮动量计算。因差动级中心轮坐标系以行星架的转速ω_H回转,需将中心轮中心位移坐标转化到固定坐标系上。令X_c1和Y_c1分别为差动级中心轮转化到固定坐标系中的横向位移和纵向位移，则

    (10)

式中：H_c1为差动级中心轮在旋转坐标系中的横向位移；V_c1为差动级中心轮在旋转坐标系中的纵向位移；下标c1代表s1和r1，分别代表差动级的太阳轮和内齿轮。

令D_c1为差动级中心轮在固定坐标系中的浮动量，则

              (11)

封闭级由于星轮无公转，啮合线不动，采用固定坐标系，令D_c2为封闭级中心轮的浮动量，则

             (12)                                          

式中：H_c2为封闭级中心轮在固定坐标系中的横向位移；V_c2为封闭级中心轮在固定坐标系中的纵向位移；下标c2代表s2和r2，分别表示封闭级的太阳轮和内齿轮。

5  浮动量分析

封闭差动行星传动系统主要参数为：差动级模数m₁=7 mm，行星轮个数N=3，太阳轮齿数Z_s1=37，行星轮齿数Z_p=56，内齿轮齿数Z_r1=149，齿宽系数f_d1=1.2；封闭级模数m₂=7 mm，星轮个数M=5，太阳轮齿数Z_s2=71，星轮齿数Z_m=39，内齿轮齿数Z_r2=149,齿宽系数f_d2=0.6；输入轴转速n=3 000 r/min，输入功率P=20 MW。中心轮支撑刚度为3×10⁸ N·m^-1，各齿轮偏心误差为20 μm，齿频误差为8 μm。

差动级中心轮不完全系统周期的浮动轨迹如图3所示，太阳轮浮动量为113.48 μm，内齿轮浮动量为122.41 μm；封闭级中心轮不完全周期的浮动轨迹如图4所示，太阳轮浮动量为37.60 μm，内齿轮浮动量为48.57 μm。由图3和图4可见：太阳轮和内齿轮浮动轨迹相似，差动级中心轮的浮动量大于封闭级中心轮的浮动量。

齿轮误差引起载荷分配不均匀，是造成封闭差动行星传动系统两级中心轮浮动的主要原因。下面研究偏心与齿频误差的变化对系统两级中心轮浮动量的影响。

图3  差动级中心轮浮动轨迹

Fig.3  Floating trajectories of center gear in differential stage

图4  封闭级中心轮浮动轨迹

Fig.4  Floating trajectories of center gear in encased stage

齿频误差不变，差动级太阳轮和内齿轮浮动量随偏心误差变化关系如图5(a)所示，封闭级太阳轮和内齿轮浮动量随偏心误差变化关系如图5(b)所示。由图5可见：系统两级中心轮的浮动量随偏心误差的增加而增大，在偏心误差作用下差动级中心轮的浮动量大于封闭级中心轮的浮动量。

偏心误差不变，差动级太阳轮和内齿轮浮动量随齿频误差变化关系如图6(a)所示，封闭级太阳轮和内齿轮浮动量随齿频误差变化关系如图6(b) 所示。由图6可见：系统两级中心轮的浮动量随齿频误差的增加而增大，在齿频误差作用下差动级中心轮的浮动量大于封闭级中心轮的浮动量。

从以上研究可得出：误差越大，系统两级中心轮浮动量越大，差动级中心轮的浮动量远大于封闭级的浮动量。

误差越大，系统载荷分配越不均衡，需要越大的浮动量来平衡载荷。由行星传动原理知，封闭级太阳轮承担的扭矩为差动级太阳轮承担的扭矩的Z_r1/Z_s1倍，载荷越大越均载^[16]，差动级载荷分配不均远比封闭级的严重。所以，差动级中心轮需要较大的浮动量来平衡载荷。

封闭差动行星传动系统差动级是高速级，转速高，载荷小，载荷不均对齿频误差很敏感，齿频误差对差动级载荷不均的影响远大于偏心误差的影响，需要较大的浮动量来平衡齿频误差造成的载荷不均。对比图5(a)和图6(a)可见：齿频误差对差动级浮动量的影响远比偏心误差的影响大。

中心轮浮动是常用的均载措施，中心轮的浮动量要满足各误差引起的中心轮位移要求。中心轮的浮动能力是通过中心轮柔性支撑产生的，下面研究中心轮支撑刚度对中心轮浮动能力的影响。

图5  偏心误差与中心轮浮动量的变化关系

Fig.5  Relationship between run-out error and floating displacement of center gear

图6  齿频误差与中心轮浮动量的变化关系

Fig.6  Relationship between meshing-frequency error and floating displacement of center gear

差动级中心轮浮动量随支撑刚度变化关系如图7(a)所示，封闭级中心轮浮动量随支撑刚度变化关系如图7(b)所示。由图7可见：系统两级中心轮的浮动量随支撑刚度的增加而减小。故减小中心轮的支撑刚度可以提高系统两级中心轮的浮动能力。

图7  支撑刚度与中心轮浮动量的变化关系

Fig.7  Relationship between bearing stiffness and floating displacement of center gear

通过中心轮的浮动，可以调整各齿轮副啮合线位移分配，使载荷分配均匀。由于差动级不均载严重，差动级中心轮的浮动量较大。采用较小的支撑刚度提高差动级中心轮的浮动量，可以减小差动级的载荷不均现象。

6  结论

(1) 误差越大，系统载荷分配越不均衡，系统两级中心轮浮动量越大。

(2) 差动级载荷不均远比封闭级严重，差动级中心轮的浮动量远比封闭级的浮动量大。

(3) 齿频误差引起的差动级载荷不均远比偏心误差严重，所以，差动级平衡齿频误差引起的载荷不均的浮动量远比平衡偏心误差引起的载荷不均的浮动量大，差动级浮动量对齿频误差比偏心误差敏感。

(4) 中心轮支撑刚度越大浮动量越小，通过中心轮的浮动来实现均载的能力越弱。可以适度减小系统两级中心轮的支撑刚度来提高中心轮的浮动能力。

(5) 为实现差动级中心轮较高的浮动能力，与封闭级相比，差动级中心轮可采用较小的支撑刚度。

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(编辑 陈灿华)

收稿日期：2011-01-15；修回日期：2011-03-18

基金项目：国家自然科学基金资助项目(7150080050)；航空科技创新基金资助项目(08B52004)

通信作者：朱如鹏(1959-)，男，江苏盐城人，教授，博士生导师，从事机械设计与机械传动研究；电话：13915979657；E-mail：rpzhu@nuaa.edu.cn