基坑支护方案灰色多目标决策优选模型的建立与应用

梅年峰¹，罗学东¹，蒋楠¹，范新宇¹，代贞伟²，罗华¹

(1. 中国地质大学(武汉) 工程学院，湖北 武汉，430074；

2. 云南省建筑科学研究院，云南 昆明，650223)

摘要：针对基坑支护方案影响因素的信息不完全性、模糊性以及影响因素与评价指标之间灰色关联性特点，综合应用灰色系统理论和多目标决策理论，以及无限方案多目标决策方法，确定有限方案多目标决策权系数的客观赋权法，建立基坑支护方案的灰色多目标决策优选模型。结合工程实例，对3种不同基坑支护方案进行优选。研究结果表明：拱型水泥土加刚架式钻孔桩空间组合支护方案为最优方案，实际工程采纳及实施效果良好；该决策模型科学、实用，可避免指标权重确定的主观随意性，可为类似工程提供参考。

关键词：基坑支护方案；多目标决策；灰色关联分析；加权法；集值统计

中图分类号：TU 94⁺2        文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2013)05-1982-06

Establishment and application of grey multi-objective decision-making optimization model for foundation pit supporting schemes

MEI Nianfeng¹, LUO Xuedong¹, JIANG Nan¹, FAN Xinyu¹, DAI Zhenwei², LUO Hua¹

(1. Faculty of Engineering, China University of Geosciences, Wuhan 430074, China;

2. Yunnan Institute of Building Research, Kunming 650223, China)

Abstract: According to the characteristics of influencing factor of the support schemes for foundation pit, such as information incompleteness, fuzziness and their grey correlation, grey system theory, multi-objective decision-making theory and objective weighting method which principle is to use the method of unlimited schemes multi-index, were used to determine the weighting coefficient of limited schemes multi-index. Then, the grey multi-objective decision-making optimization model was established. Through the practical engineering, three different supporting schemes were chosen to optimize. The results show that the combination supporting scheme of arch cement-soil and steel bored pile is the best, and the application of project proves it is reasonable. The model is scientifical and effective, and the index weight is accurate and reliable without subjectivities. The model can provide reference for similar project.

Key words: foundation pit supporting schemes; multi-objective decision-making; grey correlation analysis; method of weighting; set-valued statistics

为适应我国国民经济快速发展和市政、民用等工程建设的需要，基坑工程的应用越来越广泛，其规模越来越大、场地条件越来越苛刻、地质条件越来越复杂。在此条件下，如何选择合理的支护方案是需重点考虑的问题。在复杂的基坑工程中，达到同一支护目的的支护方案有很多，而根据不同方案的优缺点进行综合评判，选择一种合理的支护方案直接关系到整个基坑工程的安全与经济，因此，建立合理决策优选模型，实现基坑支护方案的优选显得尤为重要。基坑支护方案的优选实际上是对多方案下多目标的评价与选择，从某种意义上说，基坑支护方案是一个多层次、多目标的复杂系统决策问题。迄今为止，研究人员提出了一系列不同的基坑支护方案优选方法，取得了一定的成效。如张尚根等^[1-2]根据评价指标的模糊性，采用模糊数学理论建立基坑支护方案优选模型。张信贵等^[3]根据系统优化理论，编制深基坑支护系统优化分析程序。王广月^[4]根据评价指标的模糊性及评价方案的层次性，采用模糊数学理论和层次分析理论，建立基坑支护方案优选模型。王广月等^[4-5]为避免指标权重确定的主观性采用信息熵法确定指标权重。阮永芬等^[6]根据各指标的信息不完全性及相互关联性，采用灰色系统理论对方案进行优选。何满潮等^[7-8]采用人工神经网络理论对支护方案进行优选。廖貅武等^[9]基于数学规划的多属性决策理论，提出多属性决策法。冯庆高等^[10]提出了灰色模糊可变决策法、柯宏发等^[11]提出了灰关联投影法等等。总结前人研究成果发现基坑支护方案优选还可从2方面做出改进：一是怎样全面确定影响因素及其之间的关系；二是怎样避免指标权重确定的主观随意性。为此，本文综合考虑基坑支护方案优选中的以下2个方面问题：(1) 支护方案众多影响因素的层次性、模糊性、信息不完全性以及影响因素与评价指标之间灰色关联性；(2) 指标权重的确定。以灰色系统理论与多目标决策理论为基础，运用无限方案多目标决策方法确定有限方案多目标决策权系数的客观赋权法，建立了灰色多目标决策优选模型，并应用于工程实例进行验证分析。

1  灰色多目标决策模型的建立

针对支护方案众多影响因素的层次性、模糊性、信息不完全性、指标权重的难确定性以及影响因素与评价指标之间灰色关联性，基于灰色系统理论，引入无限方案多目标决策方法，推导并建立基坑支护方案的灰色多目标决策模型。

1.1  灰色系统理论

1.1.1  构建指标属性矩阵

设某个基坑工程支护体系有n个可供选择的方案，其方案集为，每个方案有m个指标，其指标集为，将第i个方案的第j个评价指标的属性值记为x_ij (i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m)，则可构成指标属性矩阵。

1.1.2  构建规范化指标属性矩阵

通常，基坑支护方案的评价指标可分为效益型指标和成本型指标，效益型指标属性愈大愈好；成本型指标属性愈小愈好。由于多目标决策目标间的不可公度性和目标间的矛盾性，因此，在决策之前需要将属性矩阵X进行规范化。然而，目标类型的不同，决策规范化方法也将不同。

对于效益型指标^[10]，令

           (1)

对于成本型指标，令

          (2)

利用式(1)和(2)可得规范化属性矩阵。

1.1.3  构建灰关联决策矩阵

根据灰色系统理论^[12]，将规范化处理后的指标集作为方案的比较序列(i=1, 2, …, n)，与理想方案A₀的指标集Y_0j=(y₀₁, y₀₂, …, y_0m)=(1, …, 1) (作为参考序列)进行灰关联分析，可得第i方案的第j指标与理想方案该指标的灰色关联系数：

 (3)

其中：称为分辨系数，它的作用在于调整比较环境的大小。通常，取。通过式(3)对灰关联系数的计算，可构建灰关联决策矩阵。

1.2  灰色多目标决策法原理

1.2.1  无限方案多目标决策法确定权重

设评价指标间的加权向量为w=(w₁, w₂, …, w_m)，其中w_j＞0 (j=1, 2, …, m)，加权向量w满足单位化约束条件：

                 (4)

则由加权法求得各方案的灰关联度为

; i=1, 2, …, n        (5)

可构建灰关联度向量R(w)=(R₁(w), R₂(w), …, R_n(w))^T。根据灰色系统理论可知，R_i(w)总是愈大愈好，为此，构造如下多目标规划模型：

    (6)

显然，这是一个无限方案的多目标决策问题，可用无限方案多目标决策方法求解^[13]。由于各决策方案之间是公平竞争，不存在任何偏好关系，因此，上述无限方案的多目标决策规划模型可用等权的线性加权法综合成如下等价单目标最优化模型：

        (7)

其中：e^T=(1, 1, …, 1)。对此单目标最优化模型，构造Lagrange函数：

        (8)

令，得

               (9)

联立式(7)的第二式和式(9)，求解得：

           (10)

Lagrange函数的海塞矩阵为

            (11)

恒为负定矩阵，故为F(w)的最大值点。将式(10)的第1式展开得：

；j=1, 2, …, m     (12)

易知＞0恒成立，故不会出现不合理的负值加权系数。由于传统的加权向量一般都是满足归一化约束条件而不是单位化约束条件，因此，对单位化加权向量进行归一化处理，即令

               (13)

由此可得：

；j=1, 2, …, m      (14)

归一化处理的结果对决策方案的排序不产生任何影响。

1.2.2  确定方案的优属度

由以上分析可知，将式(14)求得的w_j代入式(5)即可求得各方案与理想方案的灰关联度，定义为灰色多目标决策法的优属度

；i=1, 2, …, n    (15)

式(15)即为灰色多目标决策优选模型。根据优属度u_i进行排序，u_i最大的即为相对最优方案。

2  评价指标属性值的确定

基坑支护方案的评价指标分为定量指标与定性指标。定量指标(如工期、造价等)可以根据其具体值进行规范化处理确定属性值，定性指标可以采用集值统计法^[14]确定其属性值。

设第k个专家对第i个方案的第j个评价指标给出的评价区间为(k=1, 2, …, n)，并n为专家人数，则第i个方案的第j个评价指标x_ij评价指标属性值为

          (16)

3  工程实例分析

3.1  工程概况

晋江市拟建安置小区，占地总面积约为17 858 m²，基坑开挖深度为3.10~4.79 m，局部地段尚需加深。拟建场地南侧为安置区，西侧为世纪大道，其余两侧为已建建筑物。基坑开挖影响的土层主要为杂填土、粉质黏土、淤泥、粉质黏土、中粗砂，土层的物理力学性质如表1所示，开挖土层为杂填土、粉质黏土、淤泥。基坑开挖后整体稳定性较差，需对其进行支护；且基坑开挖范围内的土层含水性和透水性较差，所以，需采取有效的止水措施。

根据基坑工程的特点、场地的工程地质条件、相关的施工经验等，初步考虑3种基坑支护方案：双排桩支护加单排深层搅拌桩防渗幕墙(A₁)、喷锚网支护加单排深层搅拌桩防渗幕墙(A₂)和拱型水泥土加刚架式钻孔桩空间组合支护(A₃)。

3.2  构建综合优化评价模型并确定指标值

构建基坑支护方案的综合优化评价模型是进行基坑支护方案灰色多目标决策的基础。根据基坑工程的实际特点、周边环境、工程地质条件等，从安全可行、环境保护、施工因素、经济合理4个方面构建基坑支护方案的综合优化评价模型^[15]，如图1所示。该模型具有层次性，由目标层、准则层、指标层、方案层组成，共含有12个评价指标。其中：C₁~C₅为效益型指标；C₆~C₁₂为成本型指标。

根据本文确定评价指标属性值的方法，对定量指标，如C₃，C₈，C₉和C₁₂可以通过计算或监测直接量化；对定性指标，如C₁，C₂，C₄，C₅，C₆，C₇，C₁₀和C₁₁采用集值统计法确定其属性值。具体是组织5位专家，根据基坑工程和支护方案的特点，结合现场实际情况，在充分研究资料的基础上，对各定性指标进行独立的区间评估，再由式(16)计算，可得到定性指标的属性值，通过多位专家的区间评估可减少定性指标确定的主观随意性，使量化结果更加合理。则可得到各个方案指标的量化评价属性值，如表2所示。

表1  土层的物理力学性质

Table 1  Physico-mechanical properties of soils

图1  基坑支护方案确定的综合优化评价模型

Fig.1  Comprehensive optimization evaluation model to determine supporting schemes for foundation pit

表2  支护方案评价指标的属性取值

Table 2  Evaluation indices’ attribute values of foundation pit

3.3  方案优选

根据表2建立基坑支护方案评价指标属性矩阵；然后根据式(1)和(2)对各指标进行处理可得到相应的规范化属性矩阵；再根据式(3)计算得到各方案指标的灰色关联系数，构成待选方案的灰关联决策矩阵。

根据式(14)与计算可得各指标的权重w=(0.082, 0.082, 0.087, 0.081, 0.081, 0.083, 0.082, 0.092, 0.084, 0.080, 0.081, 0.085)，可知支护系统的稳定性C₃、侧向变形C₈、工程建设周期C₉、综合造价C₁₂指标的权重相对于其他指标要大，与实际相符。最后根据式(15)，可求得各方案的优属度，计算结果见表3。

表3  方案优属度计算表

Table 3  Membership degree of schemes

由表中3种方案的优属度进行排序可知：第3种方案即拱型水泥土加刚架式钻孔桩空间组合支护为3种方案中的最优方案。该工程为实际工程所采纳，实施效果良好。

4  结论

(1) 无限方案多目标决策法确定有限方案多目标决策权系数的方法，是以加权法为基础，能自动确定各目标间的加权系数，对决策方案和评价目标没有数量要求和限制，决策结果准确、可靠，能避免主观随意性。

(2) 所建模型层次明显，评价指标体系符合基坑工程的实际特点；采用集值统计法避免了定性指标属性值确定的随机误差，使指标量化更加合理。

(3) 灰色多目标决策模型不仅考虑了单因素单属性对方案优选的影响，而且考虑了影响因素间灰色关联的影响。工程实例分析表明：该模型科学、合理，与实际切合，实施效果良好，具有一定的推广和应用价值。

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(编辑  邓履翔)

收稿日期：2012-09-21；修回日期：2012-12-06

基金项目：国家自然科学基金资助项目(41072219)；武汉市科技计划项目(200860423197)

通信作者：罗学东(1971-)，男，湖北麻城人，博士，副教授，从事地下建筑、岩土工程稳定性分析等方面的教学与研究；电话：18986126005；E-mail: lxd328@163.com