简介概要

具有抛物线型强度包络线的双剪双参数统一强度准则改进式及其应用

来源期刊：中国有色金属学报2004年第12期

论文作者：胡小荣

文章页码：2029 - 2034

关键词：双剪双参数统一强度准则；抛物线型强度包络线；巷道围岩；弹塑性分析

Key words：two-parameter twin shear unified failure criterion; parabolic failure envelope; wall rock around tunnel; elasto-plastic analysis

摘要：通过应力莫尔圆分析发现，现有的双剪双参数统一强度准则在形式上可看成是对具有直线型强度包络线的Mohr-Coulomb强度准则的改进，适用于对具有线性强度包络线的岩石作力学分析。对具有抛物线型强度包络线的岩石，通过对现有的双剪双参数统一强度准则作相应的非线性化处理，导出了具有该类型强度包络线的双剪双参数统一强度准则改进式，改进式可用于对承受高压的硬岩和软岩作强度分析。另外，还应用改进式对静水压力条件下圆形巷道围岩作了弹塑性分析。

Abstract: The Mohr circle comparisons show that the two-parameter twin shear unified failure criterion used now has the linear type of the failure envelope as the same as the Mohr-Coulomb strength theory, and it is applicable to the rock with the linear type of the failure envelope. For rock with the parabolic form of the failure envelope, the nonlinear improved expression of the two-parameter twin shear unified failure criterion was given out, and this improved failure criterion could be used to analyze the hard rock bearing high pressure and the soft rock which failure envelopes usually take the form of parabolic. In spite of the above work, the elasto-plastic analysis with this new improved failure criterion is applied to the wall rock around the tunnel with circular cross-section under the static hydraulic pressures.

基金信息：福建省科技三项基金资助项目

中国有色金属学报 2004,(12),2029-2034 DOI:10.19476/j.ysxb.1004.0609.2004.12.010

具有抛物线型强度包络线的双剪双参数统一强度准则改进式及其应用

胡小荣

福州大学土木建筑工程学院福州350002

摘要：

通过应力莫尔圆分析发现 ,现有的双剪双参数统一强度准则在形式上可看成是对具有直线型强度包络线的Mohr Coulomb强度准则的改进 ,适用于对具有线性强度包络线的岩石作力学分析。对具有抛物线型强度包络线的岩石 ,通过对现有的双剪双参数统一强度准则作相应的非线性化处理 ,导出了具有该类型强度包络线的双剪双参数统一强度准则改进式 ,改进式可用于对承受高压的硬岩和软岩作强度分析。另外 ,还应用改进式对静水压力条件下圆形巷道围岩作了弹塑性分析

关键词：

双剪双参数统一强度准则;抛物线型强度包络线;巷道围岩;弹塑性分析;

中图分类号： TU4

作者简介：胡小荣(1964),男,教授,博士.教授;电话:059128306442;Email:jxhxr@fzu.edu.cn;

收稿日期：2004-05-19

基金：福建省教育厅科技三项基金资助项目 (K0 40 0 9);

Improvement of two-parameter twin shear unified failure criterion with parabolic failure envelope and its application in elasto-plastic analysis on wall rock around tunnel

Abstract：

The Mohr circle comparisons show that the two-parameter twin shear unified failure criterion used now has the linear type of the failure envelope as the same as the Mohr-Coulomb strength theory, and it is applicable to the rock with the linear type of the failure envelope. For rock with the parabolic form of the failure envelope, the nonlinear improved expression of the two-parameter twin shear unified failure criterion was given out, and this improved failure criterion could be used to analyze the hard rock bearing high pressure and the soft rock which failure envelopes usually take the form of parabolic. In spite of the above work, the elasto-plastic analysis with this new improved failure criterion is applied to the wall rock around the tunnel with circular cross-section under the static hydraulic pressures.

Keyword：

two-parameter twin shear unified failure criterion; parabolic failure envelope; wall rock around tunnel; elasto-plastic analysis;

Received： 2004-05-19

大量的岩石三轴实验已经证明, 岩石的强度和破坏不仅与最大和最小主应力有关, 还与中间主应力密切相关, 即存在所谓的中间主应力效应 ^{[1,2,3,4,5,6]} 。与单剪类强度准则如Mohr-Coulomb强度准则、 Hoek-Brown强度准则等相比, 俞茂宏等 ^{[7,8,9,10,11]} 提出的双剪双参数统一强度准则可以线性地描述这种实验现象, 并在巷道围岩和压力隧洞的弹塑性分析中得到了一定的应用 ^[12,13,14] 。本文作者的研究分析表明, 现有的双剪双参数统一强度准则在形式上可看成是具有直线型强度包络线的Mohr-Coulomb强度

理论的改进。虽然线性强度包络线具有表达式简单、便于应用的优点, 但对于岩石工程中承受高压的硬岩和软岩而言, 其强度包络线通常为抛物线型, 如果仍采用具有线性强度包络线的破坏准则, 可能会引起较大的计算误差 ^[15] 。为了拓宽双剪双参数统一强度准则的适用范围, 本文作者首先对Mohr-Coulomb强度准则和现有的双剪双参数统一强度准则作了比较, 发现两者的差别只是σ-τ平面上破坏应力莫尔圆的作法有所不同, 而采用的强度包络线则是完全相同的, 且均为直线型。因此, 若要将双剪双参数统一强度准则用于分析具有非线性强度包络线的岩石, 就需根据包络线的形式将现有的双剪双参数统一强度准则作相应的非线性化处理, 从而得出与该类型强度包络线相适应的双剪双参数统一强度准则改进式。本文作者针对抛物线型强度包络线对双剪双参数统一强度准则作了改进, 并将改进式用于对静水压力条件下圆形巷道围岩的弹塑性分析。

1现有双剪双参数统一强度准则分析

现有的双剪双参数统一强度准则表达式为 ^[10,11]

当 $σ_{2} \leq \frac{α σ_{1} + σ_{3}}{1 + α}$ 时,

$α σ_{1} - \frac{b σ_{2} + σ_{3}}{1 + b} = σ_{t} ? ? ? (1)$

当 $σ_{2} \geq \frac{α σ_{1} + σ_{3}}{1 + α}$ 时,

$\frac{α}{1 + b} (σ_{1} + b σ_{2}) - σ_{3} = σ_{t} ? ? ? (2)$

式中 α为材料单轴抗拉抗压强度比; σ_t为材料的单轴抗拉强度; b为取值[0, 1]的参数。对于岩石材料而言, 上式用内聚力C₀和内摩擦角φ表示则为

当 $σ_{2} \leq \frac{σ_{1} + σ_{3}}{2} - \frac{σ_{1} - σ_{3}}{2} \sin φ$ 时,

$σ_{1} (1 - \sin φ) - \frac{b σ_{2} + σ_{3}}{1 + b} (1 + \sin φ) = 2 C_{0} \cos φ ? ? ? (3)$

当 $σ_{2} \geq \frac{σ_{1} + σ_{3}}{2} - \frac{σ_{1} - σ_{3}}{2} \sin φ$ 时,

$\frac{σ_{1} + b σ_{2}}{1 + b} (1 - \sin φ) - σ_{3} (1 + \sin φ) = 2 C_{0} \cos φ ? ? ? (4)$

对于式(3)和(4), 若令

$\begin{array}{l} σ^{'}_{1} = \frac{σ_{1} + b σ_{2}}{1 + b}, \\ σ^{'}_{3} = \frac{b σ_{2} + σ_{3}}{1 + b} ? ? ? (5) \end{array}$

则

当 $σ_{2} \leq \frac{σ_{1} + σ_{3}}{2} - \frac{σ_{1} - σ_{3}}{2} \sin φ$ 时,

σ₁(1-sinφ)-σ′₃(1+sinφ)=2C₀cosφ (6)

当 $σ_{2} \geq \frac{σ_{1} + σ_{3}}{2} - \frac{σ_{1} - σ_{3}}{2} \sin φ$ 时,

σ′₁(1-sinφ)-σ₃(1+sinφ)=2C₀cosφ (7)

由于式(6)和(7)都有类似于以下Mohr-Coulomb强度准则的表达式:

σ₁(1-sinφ)-σ₃(1+sinφ)=2C₀cosφ (8)

因此, 如果将式(8)中的σ₁、 σ₃分别换成式(6)和(7)中的σ′₁、 σ′₃则可看出, 现有的双剪双参数统一强度准则在形式上可看成是对具有直线型强度包络线的Mohr-Coulomb强度理论的改进, 采用的强度包络线仍为直线型, 只是破坏应力莫尔圆的作法有所不同(图1)。

图1 现有双剪双参数统一强度准则所采用的强度包络线和破坏应力莫尔圆

Fig.1 Failure envelope and Mohr circles of two-parameter twin shear unified criterion used now (a)—σ₃≤σ₂≤σ₁+σ₃2-σ₁-σ₃

2sinφ; (b)—σ₁≥σ₂≥σ₁+σ₃2-σ₁-σ₃2sinφ(Circle 1—b=0; Circle 2—b=1/3; Circle 3—b=2/3; Circle 4—b=1)

2具有抛物线型强度包络线的双剪统一强度准则改进式

抛物线型岩石强度包络线如图2所示。

图2 抛物线型岩石强度包络线

Fig.2 Parabolic failure envelope of rock

其一般方程式为 ^[15]

|τ|²=λ(σ+σ_t) (9)

式中 λ为待定正常数, 由实验求出, 若采用单轴压缩实验确定时, 其值为

$λ \approx \frac{σ_{c}^{2}}{2 (σ_{c} + 2 σ_{t})} ? ? ? (10)$

式中 σ_c为材料单轴抗压强度。式(9)的主应力表达式为 ^[15]

$(\frac{σ_{a} - σ_{b}}{2})^{2} = λ (\frac{σ_{a} + σ_{b}}{2}) + B ? ? ? (11)$

式中 σ_a、 σ_b分别为破坏应力莫尔圆与σ轴的交点, 且σ_a>σ_b; $B = λ σ_{t} - \frac{λ^{2}}{4}$ 。对于具有抛物线型强度包络线的Mohr-Coulomb准则改进式而言, 有σ₁=σ_a, σ₃=σ_b。同理, 若将式(11)中的σ_a、 σ_b分别用式(5)中σ′₁、 σ′₃替换并利用双剪双参数统一强度准则中原有的限制条件, 可得出具有抛物线型强度包络线的双剪双参数统一强度准则改进式为

当 $σ_{2} \leq \frac{α σ_{1} + σ_{3}}{1 + α}$ 时,

$\begin{array}{l} [\frac{(1 + b) σ_{1} - b σ_{2} - σ_{3}}{2 (1 + b)}]^{2} = \\ ? λ [\frac{(1 + b) σ_{1} + b σ_{2} + σ_{3}}{2 (1 + b)}] + B ? ? ? (12) \end{array}$

当 $σ_{2} \geq \frac{α σ_{1} + σ_{3}}{1 + α}$ 时,

$\begin{array}{l} [\frac{σ_{1} + b σ_{2} - (1 + b) σ_{3}}{2 (1 + b)}]^{2} = \\ ? λ [\frac{σ_{1} + b σ_{2} + (1 + b) σ_{3}}{2 (1 + b)}] + B ? ? ? (13) \end{array}$

3双剪双参数统一强度准则改进式在巷道围岩弹塑性分析中的应用

为获得解析解, 本文只研究静水压力条件下圆形巷道围岩的弹塑性力学分析问题。

3.1 应力状态分析

静水压力条件下圆形断面巷道围岩的弹塑性力学分析可以看成是平面应变问题, 若采用Mohr-Coulomb强度理论, 就只能考虑到巷道断面上径向应力σ_r和切向应力σ_θ的作用, 而采用双剪双参数统一强度理论, 则可以同时考虑到上述2个应力及巷道围岩轴向应力σ_z的作用。由于σ_r、 σ_θ、 σ_z三者相互正交, 可以认为是3个主应力。假定塑性区围岩体应变ε_V=0, 则塑性区内的径向应力σ $_{r}^{(p)}$ 、切向应力σ $_{θ}^{(p)}$ 和轴向应力σ^(p)_z存在以下关系 ^[12,13] :

$σ_{z}^{(p)} = \frac{1}{2} (σ_{r}^{(p)} + σ_{θ}^{(p)}) ? ? ? (14)$

由于在巷道周边围岩中, 切向应力σ $_{θ}^{(p)}$ 最大, 径向应力σ $_{r}^{(p)}$ 最小, 对于岩石而言, 通常有α<1。因此, 由上式可知, 在塑性区内3个主应力的大小为σ₁=σ $_{θ}^{(p)}$ , σ₂=σ $_{z}^{(p)}$ , σ₃=σ $_{r}^{(p)}$ , 且满足 $σ_{2} \geq \frac{α σ_{1} + σ_{3}}{1 + α}$ 的条件, 故在进行塑性区应力计算时, 应采用强度准则改进式(13)。将式(14)代入式(13)得

$\begin{array}{l} [\frac{(2 + b) (σ_{θ}^{(p)} - σ_{r}^{(p)})}{4 (1 + b)}]^{2} = \\ ? λ [\frac{(2 + b) σ_{θ}^{(p)} + (2 + 3 b) σ_{r}^{(p)}}{4 (1 + b)}] + B ? ? ? (15) \end{array}$

令 $\frac{(2 + b) σ_{θ}^{(p)} + (2 + 3 b) σ_{r}^{(p)}}{4 (1 + b)} = s$ , 则有

$\frac{(2 + b) (σ_{θ}^{(p)} - σ_{r}^{(p)})}{4 (1 + b)} = (λ s + B)^{1 / 2}$

解之得

σ^(p)_r=s-(λs+B)^1/2 (16)

$σ_{θ}^{(p)} = s + \frac{2 + 3 b}{2 + b} (λ s + B)^{1 / 2} ? ? ? (17)$

3.2 塑性区应力

不考虑体积力时, 平面应变问题的平衡方程为

$\frac{? σ_{r}^{(p)}}{? r} + \frac{σ_{r}^{(p)} - σ_{θ}^{(p)}}{r} = 0 ? ? ? (18)$

将式(16)和(17)代入式(18), 得

$\begin{array}{l} [1 - \frac{λ}{2} (λ s + B)^{- 1 / 2}] \frac{d s}{d r} - \\ ? \frac{4 (1 + b) (λ s + B)^{1 / 2}}{(2 + b) r} = 0 \end{array}$

解之得

$\begin{array}{l} r = (λ s + B)^{- \frac{2 + b}{8 (1 + b)}} ? \\ \exp {\frac{2 + b}{2 (1 + b) λ} (λ s + B)^{1 / 2} - \frac{2 + b}{4 (1 + b)} C} ? ? ? (19) \end{array}$

将边界条件: r=r₀, σ^(p)_r=p_i(r₀为巷道半径, p_i为巷道支护力)代入式(16)可得

$s_{0} = p_{i} + \frac{λ}{2} + \sqrt{λ (p_{i} + σ_{t})} ? ? ? (20)$

代入式(19)求出待定常数C, 最后得

$\begin{array}{l} r = r_{0} (\frac{λ s_{0} + B}{λ s + B})^{\frac{2 + b}{8 (1 + b)}} ? \\ \exp {\frac{2 + b}{2 (1 + b) λ} [(λ s + B)^{1 / 2} - (λ s_{0} + B)^{1 / 2}]} ? ? ? (21) \end{array}$

式(21)结合式(14)、 (16)、 (17)即可求出塑性区内应力分布, 其方法是先给定一个s, 再分别由4式求出相应的r、 σ $_{θ}^{(p)}$ 、 σ^(p)_r、 σ^(p)_z。

3.3塑性区半径及巷道周边围岩径向位移

静水压力条件下, 塑性区边界r=R₀处的径向应力σ $_{r, R_{0}}^{(p)}$ 和切向应力σ $_{θ, R_{0}}^{(p)}$ 与原岩应力P存在以下关系 ^[16] :

σ $_{r, R_{0}}^{(p)}$ +σ $_{θ, R_{0}}^{(p)}$ =2P (22)

结合式(16)、 (17)得

$\begin{array}{l} s_{R_{0}} = Ρ + (\frac{b}{2 + b})^{2} \frac{λ}{2} + \\ \frac{b}{2 + b} \sqrt{λ (Ρ + σ_{t}) - \frac{(b + 1) λ^{2}}{(2 + b)^{2}}} ? ? ? (23) \end{array}$

将式(23)代入式(21)得塑性区半径R₀为

$\begin{array}{l} R_{0} = r_{0} (\frac{λ s_{0} + B}{λ s_{R_{0}} + B})^{\frac{2 + b}{8 (1 + b)}} ? \\ \exp {\frac{2 + b}{2 (1 + b) λ} [(λ s_{R_{0}} + B)^{1 / 2} - \\ \begin{array}{l} ? \\ (λ s_{0} + B)^{1 / 2}] \\ ? \end{array}} ? ? ? (24) \end{array}$

将式(20)代入式(24)可得塑性区半径R₀与支护力p_i的关系, 将式(23)代入式(16)、 (17)可得弹塑性区边界处的应力为

$\begin{array}{l} σ_{r, R_{0}}^{(p)} = s_{R_{0}} - (λ s_{R_{0}} + B)^{1 / 2} ? \\ σ_{θ, R_{0}}^{(p)} = s_{R_{0}} + \frac{2 + 3 b}{2 + b} (λ s_{R_{0}} + B)^{1 / 2} \end{array} ? ? ? (25)$

弹塑性区边界处围岩的径向位移为

$u_{R_{0}} = \frac{(Ρ - σ_{r, R_{0}}^{(p)}) R_{0}}{2 G} ? ? ? (26)$

式中 G为剪切模量。若塑性区围岩体应变ε_V=0, 则巷道周边围岩径向位移为

$u = \frac{(Ρ - σ_{r, R_{0}}^{(p)}) R_{0}^{2}}{2 G r_{0}} ? ? ? (27)$

3.4弹性区应力及围岩径向位移

对于r≥R₀处的弹性区围岩, 其应力及径向位移的计算方法和公式不变 ^[16] :

$\begin{array}{l} σ_{θ}^{(e)} = Ρ (1 - \frac{R_{0}^{2}}{r^{2}}) + σ_{R_{0}}^{(p)} \frac{R_{0}^{2}}{r^{2}} \\ σ_{r}^{(e)} = Ρ (1 + \frac{R_{0}^{2}}{r^{2}}) - σ_{R_{0}}^{(p)} \frac{R_{0}^{2}}{r^{2}} \\ u_{r}^{(e)} = \frac{(Ρ - σ_{R_{0}}^{(p)}) R_{0}^{2}}{2 G r} \end{array}} ? ? ? (28)$

3.5结果分析

图3所示为根据如下参数: σ_c=102 MPa, σ_t=43 MPa, P=300 MPa, r₀=2 m所得的计算结果。由图可以看出, 围岩径向应力随着b增大而增大; 切向应力在塑性区随着b增大而增大, 在弹性区随着b增大而减小; 塑性区半径和巷道周边围岩径向位移随着b增大而减小; 弹塑性区边界处的围岩径向应力及切向应力均随着b增大而增大。

4结论

1) 现有的双剪双参数统一强度准则可以看成是对具有直线型强度包络线的Mohr-Coulomb强度准则的改进, 且改进只体现在应力莫尔圆的作法上。

2) 对于强度包络线为非线性的情况, 可根据具体的强度包络线形式, 通过对双剪双参数统一强度准则作相应的非线性化处理得出其改进式。

3) 针对抛物线型强度包络线对现有的双剪双参数统一强度准则作了改进, 并应用强度准则改进式对静水压力条件下的圆形巷道围岩进行了弹塑性分析, 表明巷道围岩的轴向应力和强度准则中的参数b对巷道围岩塑性区半径、应力分布及径向位移等均有影响。

图3 巷道围岩弹塑性分析结果

Fig.3 Elasto-plastic results for wall rock (a)—Influences of b on distribution of stresses acting on wall rock; (b)—Influences of b on p_i—u curve; (c)—Influences of b on radius R₀ of plastic zone and displacement u of wall rock around tunnel (d)—Influences of b on stresses acting on interface between elastic and plastic zones