DOI： 10.11817/j.issn.1672-7207.2020.03.012

考虑驱动摩擦效应的冗余并联机构动力学建模

卢超,秦伟,胡小亮,唐小斌,刘飞,谢志江

（重庆大学 机械传动国家重点实验室，重庆，400044）

摘要:为了对喷管段的型面进行精确控制，设计一种可以实现姿态调整的平面3自由度4-PRR冗余并联机构，根据机构运动特点，利用闭环矢量法求解该机构运动学逆解。在运动学的基础上，结合虚功原理和牛顿-欧拉法2种动力学建模方法建立考虑驱动摩擦效应的动力学模型。首先利用虚功原理和范数最小原则建立不考虑摩擦效应情况下该机构的逆动力学模型，然后基于该动力学模型，结合牛顿-欧拉法建立考虑“库仑+黏性”摩擦效应的动力学模型，利用MATLAB软件对所建立的2种动力学模型进行工程实例仿真，得到2种情况下的驱动力曲线，分析考虑摩擦效应与否的驱动力变化规律。研究结果表明：摩擦效应对驱动力影响显著。

关键词:冗余并联机构；运动学；摩擦效应；动力学

中图分类号:TH112          文献标志码:A

文章编号:1672-7207（2020）03-0678-09

Dynamic modeling of redundant parallel mechanism considering drive friction

LU　Chao, QIN　Wei, HU　Xiaoliang, TANG　Xiaobin, LIU　Fei, XIE　Zhijiang

(State Key Laboratory of Mechanical Transmission, Chongqing University, Chongqing 400044, China)

Abstract: In order to control the profile of the nozzle segment, a planar 3-DOF 4-PRR redundant parallel mechanism was designed to realize attitude adjustment. The closed-loop vector method was used to solve the inverse kinematics of the mechanism. On the basis of kinematics, a dynamic model considering the driving friction effect was established by combining the principle of virtual work and Newton-Eulerian dynamic modeling methods. The principle of virtual work and the principle of minimum norm were used to establish the inverse dynamics model of the mechanism without considering the friction effect. And then the Newton-Eulerian method was combined to establish the "Coulomb+viscosity" friction effect based on the dynamic model. The MATLAB software was used to simulate the two dynamic models. The driving force curves were obtained in two cases, and the variation of driving force considering the friction effect was analyzed. The results show that effect of the friction on driving force is obvious.

Key words: redundant parallel mechanism; kinematics; friction effect; dynamics

在某大型高超声速喷管段中，需要设计一种重载三自由度调整机构来调整其中的型面段，从而实现对喷管型面位姿进行精确控制^[1-3]。冗余驱动并联机构可以提高机构的承载能力与控制精度，获得较好的刚度特性及动态性能^[4-6]。并联机构的动力学可以通过拉格朗日法、牛顿-欧拉法、虚功原理等方法进行分析^[7-13]。这些方法各有优缺点，拉格朗日法和虚功原理适用于理想约束下的动力学模型求解，即不考虑摩擦效应；当需要考虑摩擦效应时，牛顿-欧拉方法是建立动力学模型的有效方法，但求解过程比较复杂。山显雷等^[14]基于牛顿-欧拉法建立了考虑关节摩擦的3SPS+1PS并联机构显式动力学，对比了理论计算与实际测量的驱动力，对并联机构的动力学控制及摩擦补偿提供了理论依据；王庚祥等^[15]利用牛顿-欧拉法建立了考虑“库仑+黏性”摩擦效应的动力学模型，结果表明，当并联机构处于初始阶段和高速运动时其关节摩擦力对该机构驱动力的影响较为明显；李研彪等^[16]在考虑关节摩擦效应的情况下,采用牛顿-欧拉法建立了5-PSS/UPU并联机构的动力学模型，并进行动力学耦合特性分析；SHANG等^[17-18]在工作空间内建立了动力学模型，并提出新的动力学和摩擦自适应补偿方法，该自适应方法能够实时评估动力学和摩擦参数，从而实现自适应动态补偿和摩擦补偿。基于此，本文作者设计一种平面3自由度4-PRR冗余并联机构，并建立考虑驱动副摩擦的动力学模型，采用范数最小原则对滑块驱动力进行优化求解，并提出结合虚功原理和牛顿-欧拉法2种方法建立动力学模型，由最小范数解得到驱动力。将考虑驱动副“库仑+黏性”摩擦效应得到的驱动力与不考虑摩擦效应的驱动力进行对比，得到驱动副摩擦效应对机构的动力学性能影响规律，为此类机构的动态控制与摩擦补偿奠定基础。

1 机构模型描述与运动学逆解

1.1　机构模型描述

喷管段实际应用结构如图1所示，主要由型面动平台、基座及连接2个平台的运动支链构成。机构共有4组8条运动支链，每条分支包含相同的运动部件和运动副，每条支链由1个滑块导轨移动副P和2个转动副R组成，移动副P为驱动副。为防止运动过程中滑块相互干涉，将滑块分别置于不同的导轨上，即8个滑块在4条导轨上运动。

图1　8-PRR并联机构结构简图

Fig. 1　Schematic diagram of 8-PRR parallel mechanism

由于并联机构为1R2T三自由度机构，且关于平面对称，为便于分析，将机构简化为如图2所示的平面4-PRR冗余驱动并联机构。

图2　4-PRR并联机构结构简图

Fig. 2　Schematic diagram of 4-PRR parallel mechanism

在风洞坐标系原点建立定坐标系xOy，在动平台质心O′建立动坐标系x′O′y′。其中，q_i为各移动副中心A_i至y轴的距离，l_i为拉杆长度，e_i为移动副的单位方向矢量，n_i为铰链点B_i到移动副轴线的距离矢量，u_i为拉杆的单位方向矢量，c_i为铰链点C_i到动坐标系原点的距离矢量，i=1, 2, 3, 4，C₁和C₂在x′轴的负方向，C₃和C₄在x′轴的正方向。第i条支链的封闭矢量图如3所示。

图3　PRR支链i封闭矢量图

Fig. 3　Vector diagram of the i th PRR kinematic chain

由图2和图3可知：动平台的位姿可由位置矢量r和旋转矩阵^oR_o′ 描述。动平台绕定坐标系旋转角为θ，则位置矢量r和动坐标系相对于定坐标系的旋转矩阵^oR_o′分别为

(1)

(2)

1.2　运动学逆解

对该冗余并联机构的运动学进行求解，包括位置逆解、滑块速度与加速度、拉杆速度与加速度。

1.2.1　位置逆解　

采用封闭矢量解法求运动学逆解，建立位置封闭矢量方程：

(3)

并联机构的逆解模型为

(4)

由并联机构的结构形式及该机构的结构参数即可得到4条支链驱动滑块的位置逆解表达式。

1.2.2　滑块速度分析　

并联机构有3个自由度，包括沿x，y方向的平动和绕垂直于xoy平面的转动，令动平台速度和加速度分别为：

(5)

(6)

式中：v和w分别为动平台线速度和角速度；和分别为动平台线加速度和角加速度。

将式(3)两侧对时间求导可得：

(7)

将式(7)两侧点乘u_i并简化可得：

(8)

式中：为铰链点C_i 的速度；w_i为拉杆i在定坐标系下的角速度；；为支链i的雅可比矩阵。

滑块速度，机构雅可比矩阵，对于4-PRR并联机构，雅可比矩阵为4×3的矩阵，则滑块速度逆解为

(9)

1.2.3　拉杆速度分析　

将式(7)两侧点乘，并将式(8)代入可得到拉杆的角速度表达式：

(10)

由式(7)，拉杆的质心速度为

(11)

式中：E为单位矩阵；和分别为拉杆的线速度雅克比矩阵和转动角速度雅克比矩阵。

结合式(10)和式(11)得到拉杆质心的线速度以及拉杆的转动角速度：

(12)

其中：J_ivw为拉杆的速度雅可比矩阵。

1.2.4　滑块加速度分析　

将式(7)两侧对时间求导得

(13)

式(13)两侧同时点乘u_i并简化得

(14)

则滑块加速度为

(15)

式中：，。

1.2.5　拉杆角加速度分析　

式(13)两侧同时点乘可得：

(16)

式中：，。

则拉杆角加速度为

(17)

1.2.6　拉杆质心加速度分析　

将式(11)对时间求导并简化得

(18)

则拉杆质心加速度为

(19)

2 机构动力学求解

2.1　无摩擦动力学求解

当不考虑机构驱动摩擦效应时，根据机构质量及其所受外力得到机构的动力学模型如图4所示，图中，m_qi为滑块i的质量；m_li为拉杆i的质量；m_P为动平台的质量；n_e为动平台外力矩；f_e为动平台外力。

图4　4-PRR并联机构动力学模型

Fig. 4　Dynamic model of the 4-PRR parallel manipulator

动力学建模方法主要包括牛顿-欧拉法、凯恩法、拉格朗日功能平衡法以及虚功原理法。当不考虑摩擦力时，虚功原理建模方法在执行效率和算法上效果更好。本文首先采用虚功原理来建立不考虑摩擦力的冗余并联机构动力学模型。

对于动平台，外力、惯性力和重力合力为

(20)

式中：g为重力加速度；^oI_p为动平台在定坐标系下的转动惯量。

对于支链i的拉杆，重力为所受唯一外力，则惯性力和重力合力为

(21)

式中：^oI_li为拉杆在定坐标系下的转动惯量。

对支链i的滑块，只有平动，则作用在滑块上的驱动力、惯性力和重力合力为

(22)

即滑块驱动力，驱动关节驱动力，。

由式(20)~(22)，虚功原理可描述为

(23)

式中：δx_p为动平台的虚位移，δx_p=[δx_p δy_p δθ_p]^T；δx_i为拉杆i的虚位移，δx_i=[δx_i δy_i δθ_i]^T；δq为滑块驱动虚位移；N为导轨对滑块的反作用力。

虚位移δx_p，δx_i与δq满足机构关节的约束，其关系为

(24)

(25)

将式(24)，(25)代入式(23)可得：

(26)

式(26)对任意的δx_P均成立，因此有

(27)

式中：为机构受到的力。

本文的冗余驱动并联机构具有3个自由度，对应4个驱动力输入，J为非方阵，在任何运动状态下，驱动力在理论上都存在无穷多组解，根据范数最小原则可求得其解，

(28)

式中：(J^T)⁺=J(J^TJ)^-1，为矩阵J^T的广义逆矩阵，对于冗余并联机构，范数最小解驱动力一般为最优驱动力解。

2.2　考虑驱动副摩擦动力学建模

摩擦是一种复杂的非线性物理现象，产生于具有相对运动的接触界面之间，很难从机理上获得其准确唯一的数学模型，只能利用复杂的数学模型无限地接近摩擦的真实现象。为简化其仿真过程，采用参数辨识容易、模型结构简单且适用范围相对广泛的摩擦模型“库仑+黏性”摩擦模型，如图5所示。

(29)

式中：v为滑块与基座的相对滑动速度；f_v为黏性摩擦因数；f_c为库仑摩擦因数。

图5　“库仑+黏性”摩擦模型

Fig. 5　“Coulomb + viscous” friction model

基于建立的无驱动摩擦动力学模型，引入驱动关节摩擦的作用建立动力学模型。对该并联机构的单个支链进行受力分析如图6所示，图中，f_Pli为动平台作用于运动支链i的力矢量；f_qili为滑块作用于运动支链i的拉杆的力矢量；N_i为基座作用于运动支链i的滑块的y向力矢量。

图6　PRR支链受力分析

Fig. 6　Force analysis of PRR chain

在对支链i进行受力分析的基础上，对滑块、拉杆进行受力分解，如图7所示，图中，f_qilix和f_qiliy为f_qili在滑块i上沿x和y方向的力矢量；f_Plix和f_Pliy分别为f_Pli在拉杆i上沿x和y方向的力矢量；N_i1和N_i2为f_qilix对考虑长度的滑块i产生的力矩效应与滑块所受正压力的合力矢量。

图7　PRR支链i受力分解

Fig. 7　Force decomposition of the i th PRR chain

由运动学分析可知滑块和拉杆的运动状态在给定动平台运动规律下已知。由图(7)所示受力分解，当不考虑摩擦力时，f_qilix由对滑块在x向采用牛顿方法得到

(30)

拉杆的运动状态只受滑块和动平台的力的影响，当拉杆运动状态已知时，对拉杆采用牛顿欧拉方法得

(31)

式(31)含有4个未知数3个方程，不论是否考虑摩擦力，f_qilix大小、方向都不变。结合式(30)推导出f_qili，故可求得拉杆对滑块的全部作用力。

已知拉杆对滑块的全部作用力，由式(29)可求得支链i上的摩擦力为

(32)

式中：N_i为正压力，，k_AR为滑块径向方向力矩等价系数，k_LR为滑块反径向方向力矩等价系数，M_qi为拉杆对滑块相对于基座产生的力矩，

(33)

由式(28)和式(29)，当考虑摩擦力时，利用驱动力补偿摩擦力得到支链i上实际驱动力F_i为

(34)

即考虑驱动摩擦效应时滑块实际所需驱动力。

3 数值模拟分析

综合分析该风洞试验条件及并联机构的实际要求，并联机构的参数如表1所示。

表1　并联机构结构参数

Table 1　Geometrical parameters of parallel manipulator

作用于动平台的外力N；=103.2 N·m，则在定坐标系中外力为

，

根据滑块导轨选型手册取k_AR=7.56×10^-2，k_LR=4.86×10^-2；根据机构使用环境，“库仑+黏性”摩擦模型中f_c=0.15，f_v=0.05。

根据并联机构在风洞中的状况，选择余弦函数轨迹进行刚体动力学分析，其运动轨迹如下：

式中：t为时间。

利用Matlab编程进行数值计算，由式(9)和式(15)得到滑块的速度与加速度曲线如图8和图9所示。

图8　滑块速度曲线

Fig. 8　Velocity curves of sliders

图9　滑块加速度曲线

Fig. 9　Acceleration curves of sliders

由式(28)和式(33)得到滑块的驱动力曲线如图10所示。

图10　滑块驱动力

Fig. 10　Driving force of sliders

由图10(a)可知：当t=0.50 s时，在考虑摩擦效应状况下，滑块1驱动力发生突变。当t<0.50 s时，滑块1速度沿x正方向，摩擦力沿x负方向，滑块驱动力沿x正方向，摩擦力和驱动力反向成为阻力，故t<0.50 s时，考虑摩擦效应的滑块驱动力大于不考虑摩擦效应的滑块驱动力；反之，当t>0.50 s时，考虑摩擦效应的滑块驱动力小于不考虑摩擦效应的滑块驱动力。

由图10(b)可知：不论是否考虑摩擦效应，滑块2的驱动力规律都与滑块1的相同，滑块1与滑块2的驱动力变化比较明显。

由图10(c)可知：当t=0.32，0.50和0.68 s时，在考虑摩擦效应状况下，滑块3驱动力发生突变。当0

由图10(d)可知：当t=0.50 s时，在考虑摩擦效应状况下，滑块4驱动力发生突变。当0

因此，当考虑驱动副“库仑+黏性”摩擦效应时，滑块驱动力会因摩擦力的变化而变化，摩擦力既可以作为有利力而减小实际驱动力，也可作为阻力而增大实际驱动力。因所选择的模拟轨迹和摩擦模型不同具体的摩擦影响不同。

4 结论

1) 建立了4-PRR冗余并联机构的运动学逆解模型，根据坐标变换和结构特点得到运动学逆解和机构的雅可比矩阵，得到构件的加速度模型，为动力学分析提供了基础。

2) 利用虚功原理构建了机构不考虑“库仑+黏性”摩擦效应的动力学模型，得到范数最小解的滑块驱动力。然后结合牛顿-欧拉方法建立了考虑驱动副“库仑+黏性”摩擦效应的动力学模型。

3) 给定动平台运动规律，利用MATLAB仿真得到各个滑块的速度、加速度变化规律以及考虑驱动副“库仑+黏性”摩擦效应与否的滑块驱动力变化规律，并对速度、驱动力的变化规律进行了分析，驱动副摩擦效应对实际驱动力有显著的影响。

4) 冗余并联机构运动学和考虑驱动副“库仑+黏性”摩擦效应动力学模型建立方法可作为解决此类机构的一般方法，对驱动副摩擦严重或者进行摩擦补偿有一定的实际应用意义。

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（编辑 赵俊）

收稿日期： 2019 -06 -21; 修回日期： 2019 -09 -24

基金项目(Foundation item)： 国家自然科学基金资助项目(U1530138) (Project(U1530138) supported by the National Natural Science Foundation of China)

通信作者： 秦伟，博士，教授，从事机械设计、计算机辅助工程研究；E-mail: 201707021051@cqu.edu.cn