DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.11.030

基于群决策的改进AHP法在桥梁评估中的应用

屈兵，肖汝诚，仲健，林晶

(同济大学 土木工程学院，上海，200092)

摘要：针对传统层次分析法(AHP)的缺陷，提出基于群决策的改进AHP方法，应用到桥梁状态评估中。首先，引入指数区间数标度方法，建立元素为指数区间数的判断矩阵，并建立一套求解指数区间数判断矩阵指标权重的优化算法；然后，引入基于加权集值统计的专家群决策理论，讨论基于判断偏好信息的专家权重计算方法以及判断矩阵的集结，得到专家群体决策矩阵；最后，构建某钢箱梁斜拉桥的综合评估AHP模型，采用本文方法进行指标权重计算，论证方法的可行性与实用性。本文方法弱化了单一专家评判过程中的主观不确定性，为桥梁的管理养护提供了更加科学可信的决策依据。

关键词：层次分析法(AHP)；桥梁评估；指数区间数；权重；群决策；集值统计

中图分类号：TU997             文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2015)11-4204-07

Application of improved AHP and group decision theory in bridge assessment

QU Bing, XIAO Rucheng, ZHONG Jian, LIN Jing

(College of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Abstract: An improved analytic hierarchy process (AHP) method based on the group decision theory was applied to bridge condition assessment for the defects in the traditional AHP. First, exponential-interval scale was introduced to establish judgment matrix whose elements were exponential-interval numbers, and an optimization algorithm of weights computing of the exponential-interval number judgment matrix was given. Then group decision theory on the basis of expert-weighting set-valued statistics was employed. The approaches of confirming expert weights concerning the judgment preference information and the aggregation of the judgment matrix were discussed, to obtain the expert-group decision matrix. Finally, a comprehensive evaluation AHP model for a certain steel box girder cable-stayed bridge was established, and the index weights were calculated, which demonstrates the feasibility and practicability of this method. The method weakens the subjective uncertainty in single-expert judgment, providing a more scientific and reliable decision-making basis for bridge maintenance and management.

Key words: analytic hierarchy process (AHP); bridge assessment; exponential-interval number; weight; group decision; set-valued statistics

桥梁的状态评估是一个涉及多层次、多指标、多因素的复杂决策过程。在评估过程中，由于定性评判的主观性、某些统计方法的局限性以及诸多不可定量描述的外界因素的干扰，使得桥梁的评估存在极大的模糊性与不确定性^[1]。层次分析法(AHP)因其简明直观的原理与广泛的实用性在桥梁评估模型的建立与指标的权重确定中得到了学者的青睐。在JTG H11—2004“公路桥梁养护规范”^[2]、CJJ 99—2009“城市桥梁养护规范”^[3]以及JTG/T H21—2011“公路桥梁技术状况评定标准”^[4]中均有AHP法思想的体现，但规范中对于构件指标权重的规定均为经验性取值或由经验公式算得，对于种类繁多且复杂的桥梁结构而言，这些规定难以以偏概全。传统AHP法采用1~9标度获得判断矩阵，继而求出权重，1~9标度虽然简洁，但主观性较强，容易出现评估结果的逆序、思维与判断矩阵的一致性脱节等问题^[5-6]。为此，不少学者对AHP法进行了改进，提出了如标度、指数标度、分数标度、0.1~0.9标度、区间标度等多种标度体系^[7-10]。吕跃进等^[11]对多种标度进行了系统比较研究，指出指数标度较好地解决了判断矩阵一致性与思维一致性脱节的问题，是一种可靠优良的标度，并对指数标度理论进行了若干改进与完善。而区间标度则实现了标度值从点到空间的扩展，有效量化了问题的不确定    性^[12-13]。但是在桥梁评估领域，大多仍沿用传统基于1~9标度的AHP法，存在一定的粗糙性与不合理性。本文作者将指数标度与区间标度进行有效地结合，提出基于指数区间数标度的AHP方法，建立了一套求解指数区间数矩阵指标权重的优化算法；同时引入群组判断的思想，通过多个专家构造判断矩阵，去除由于个人偏好而产生的判断偏差。将其应用于桥梁结构的评估中，使评估结果更加科学可靠。

1  指数区间数标度方法

1.1  指数标度

韦伯-费希纳定律^[14]认为：心理量是外界刺激量的对数函数，即当刺激强度以几何级数增加时，感觉的强度以算术级数增加。感觉强度S与刺激强度R之间的函数关系为

                (1)

其中：k为韦伯常数。根据此定理，若将指标a_i相对于a_j的重要性程度(假定a_i的重要性大于等于a_j的重要性)等间距地分成9个等级，分别为“同等重要”、“稍微重要”、“明显重要”、“非常重要”、“极端重要”，以及它们的中间程度等级，并用t=0~8的等差整数分别描述这9个等级，那么，指标a_i对a_j的客观重要性比率a_ij与t的关系为

                     (2)

其中：c为相邻两级的重要性程度比率常数；。一般认为，将9作为两因素重要性之比的极限是合适的，即“极端重要”的表述，则由，得到，从而

                  (3)

1.2  指数区间数判断矩阵的建立

指数标度方法可获得与思维判断的一致性，但比较判断结果仍为确定的值。为适应评价过程的模糊性与随机性，采用区间数来量化人们的主观判断，这时判断矩阵中各元素均为指数型区间数。有如下定义：

定义1 称为基于指数标度的区间矩阵(简称指数区间数矩阵)，若满足：

1) ，其中为区间数，和均为指数型标度，，；

2) ；

3) 。

则称为对应的主观感觉判断矩阵，其中，，，。

为使判断的模糊性水平保持一致，统一取中各元素区间宽度为2，即，得到相应的指数区间值为，其中t=0, 1, 2, 3, …, 8。指数区间标度与自然语言描述的对应关系见表1。

表1  指数区间数标度

Table 1  Exponential-interval scale

由表1可知：当重要性等级相差越大时，标度区间的间距越大，标度的不确定度也越大，这符合人的思维判断规律。

1.3  一致性逼近及指标权重计算

实际中，指数区间数矩阵要达到完全的一致性是很困难的，因此通过对进行一致性逼近，求得完全一致的确定型数字判断矩阵，进而求解指标权重。

定义2 设为指数区间数判断矩阵，，称为的最可能值数字矩阵，若满足：

             (4)

设经一致性逼近后的数字矩阵为，在建立一致性逼近优化模型时，考虑以下几条准则：

1) M为满足完全一致性的确定性数字矩阵；

2) 矩阵M与最可能值数字矩阵P (见定义2)的偏差尽可能小；

3) 。

这样，对矩阵模型的一致性逼近转化为最优化计算问题。其中的目标函数用于反映M与P的偏差。引入矩阵各元素区间数的偏差项l_ij，令：

            (5)

式中：i=1, 2, …, n；j=1, 2, …, n。

可以得到矩阵M与P的偏差函数为

      (6)

由于判断矩阵具有互反性，这里只需考虑矩阵的上三角元素(不包含对角线元素)。

显然，越小，一致性逼近矩阵M就越接近最可能值判断矩阵P。这样可构造求解一致性逼近矩阵最优权向量的多目标非线性优化模型：

     (7)

               (8)

式中：i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, n。

求解上述最优问题，可得到最优权重向量。

2  基于群决策的区间数判断矩阵集结

实际评判中，单一专家往往不能充分反映客观事实，因此，需要综合多个专家的意见，这就出现了群体决策的问题。群决策的过程，就是将各专家意见的分歧统一化，极小化群决策结果与个人偏好的不一致的过程^[15-16]。

2.1  基于集值统计的判断矩阵集结模型

集值统计是处理不确定性评价指标的一种有效方式。设评价系统各评判指标集合为X={x₁, x₂, …, x_r, …, x_n}，评审专家集为S={s₁, s₂, …, s_r, …, s_n}。对每一个评判指标()，各专家()给出的区间估计值为(k=1, 2, …, m)，这样可形成一个m维集值统计序列。将这m个区间叠加在一起，并令

，，则m个专家对指标的评判在数轴上形成一个位于区间上的随机分布。区间上任一点u的模糊覆盖率如图1所示。

图1  评价指标值的落影分布

Fig. 1  Drop-shadow distribution of evaluation indices

称为指标的样本落影函数^[17]，反映了数值u包含在各评价区间中的概率。考虑到各专家由于知识水平以及对问题本身的理解不同而产生的评判差异，提出基于专家权重的样本落影函数，有

          (9)

式中：

为第k个专家的权重，。根据式(9)及图1所示的落影分布，可求出随机集的重心位置，并以此作为指标的群决策综合评判值：

           (10)

将式(10)化简整理得

         (11)

式(11)确定的即为指标在考虑了各专家权重后的群决策综合评判值。

2.2  专家权重的确定

专家权重可通过专家构造的判断矩阵间接反映出来，具体表现在专家的个体偏好信息与综合偏好信息的差异上。为定量体现这种差异，定义2个区间数，的偏离度为

         (12)

显然，越大，和的差异程度就越大。特别地，当时，有。

在建立判断矩阵时，设专家对指标的评判区间为，那么全部m个专家对指标r的算术平均评判区间为：

      (13)

将式(13)代入式(11)可得到与的相对偏差 (简写为)为

       (14)

对不同的指标，同一专家评判结果的偏离度是不一样的。一般认为，各专家的主观理性判断存在着一致性的趋势，而不一致性评价矩阵的产生可以认为是由众多的随机干扰共同作用的结果。设专家给出的各指标的评判区间与对应各指标的总体加权评判区间的相对偏差为，对进行如下假设。

当评价指标数量趋于无穷大时，各指标的相对偏差服从均值，方差为的正态分布，即。待评价的n个指标, , …,, …,是来自的一个样本值。

已知参数，可求出的最大似然估计量，将其作为专家的判断与专家群体判断的偏离程度。似然函数为

        (15)

解得的最大似然估计量为

              (16)

反映了专家的判断与专家群体判断的偏离程度的高低。越小，说明专家的评判水平越高，权重也越大；反之亦然。专家的权重可根据下式确定：

               (17)

2.3  专家群体决策矩阵的建立

专家群体决策矩阵的建立步骤如下。

1) 各专家给出主观感觉判断矩阵。由于为互反阵，可只考虑矩阵的上三角元素(不包含对角线元素)，形成总数为的评价指标集值统计序列。

2) 计算各专家权重。并由式(11)求得个指标的群决策综合评判值,,…, ,…, 。

3) 以这个值为中点，得到个区间宽度为2的区间数，记为

              (18)

称为指标的群决策综合评判区间。并将各还原得到群决策感觉判断矩阵。

4) 求得专家群体决策矩阵，其中

                 (19)

c为重要性程度比率常数，文中取。

得到专家群体决策判断矩阵后，便可按照2.2节方法计算各指标的权重。

3  应用实例

以一座钢箱梁斜拉桥的三层AHP评估模型为例，采用本文方法计算评估指标的权重。评估模型如图2所示。

决策者可根据需要对各层次单元进行进一步的分解、综合或修改。如可将“混凝土质量”继续细分为混凝土强度推定值、钢筋锈蚀情况、氯离子含量、混凝土电阻率、混凝土保护层损伤、碳化程度以及表观缺损等。以下仅以第1层的5个指标(索塔、钢箱梁、

斜拉索、墩台基础和附属设施)为例进行计算说明。

图2  钢箱梁斜拉桥状态评估模型

Fig. 2  Condition assessment model of steel box girder cable-stayed bridge

1) 对第1层各指标进行两两比较判断，得到5阶主观感觉判断矩阵。6位专家填写的主观感觉判断矩阵如下。

专家一：

专家二：

专家三：

专家四：

专家五：

专家六：

2) 根据式(17)计算各专家权重，结果见表2。

表2  专家权重

Table 2  Synthetic weights of experts

3) 取矩阵上三角元素，共10个评价指标(记为x₁~x₁₀)，根据式(18)计算出各指标的群决策综合评判区间，结果见表3。

表3  综合评判区间与置信度

Table 3  Comprehensive evaluation interval and confidence

4) 根据式(19)计算专家群体决策矩阵：

5) 计算各指标的权重，结果见表4。

表4  各指标权重

Table 4  Weight of each index

表4中，“AHP权重”为按照本文方法计算的权重；“规范权重”为根据JTG/T H21—2011“公路桥梁技术状况评定标准”^[4]中相关规定得到的斜拉桥构件权重。

由表4可以看到：“AHP权重”中各指标的权重由大到小排列顺序为斜拉索、索塔、钢箱梁、墩台基础、附属设施。上部结构各指标(索塔、钢箱梁与斜拉索)的AHP计算权重均比墩台基础的大，且远大于附属设施的AHP计算权重，这与各专家给出的主观感觉判断矩阵中反映出的指标重要性排序是一致的，说明该桥更加重视对上部结构安全性性能的评价。而“规范权重”中的指标的权重由大到小排序为墩台基础、附属设施、斜拉索、索塔、钢箱梁。墩基与附属设施的权重显著大于“AHP权重”的计算结果，而上部结构各构件权重则较小，这与专家群体对该桥构件的重要性判断是不相符的，原因在于规范中对各类桥型的构件权重规定是一成不变的，显然不能反映出不同桥梁评估时的侧重点与差异性。

本文方法针对实际桥梁，综合了不同专家的意见，并合理量化了判断与思维的一致性与判断的模糊性，因而更具科学性与可靠性。

根据上述方法，可求得AHP模型中其他单元层次的指标权重。

设AHP模型某一层次单元内共m个指标，为该单元中第i个指标的权重，s_i为第i个指标的评价值，那么该单元的评价结果为

              (20)

逐级向上综合，便可得到桥梁的整体评估结果。评价结果的确定与综合可结合变权理论^[18]、模糊理 论^[19]等进行。

4  结论

1) 提出基于指数区间数的不确定型AHP法，建立了一套求解指数区间数判断矩阵指标权重的优化算法，使决策者的思维与判断结果取得一致，弱化了判断中的不确定性。

2) 引入专家的群组判断，提出基于专家权重的集值统计方法，建立了专家群体决策矩阵，避免了单一专家模型评判的不足。

3) 用实例论证了方法的可操作性与实用性。本文方法也适用于其他各类基于AHP方法的综合评估。更多的工程应用与验证将在今后的研究中进一步展开。

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(编辑  杨幼平)

收稿日期：2015-01-07；修回日期：2015-03-31

基金项目(Foundation item)：国家重点基础研究发展规划(973计划)项目(2013CB036300)；国家自然科学基金资助项目(51378387) (Project(2013CB036300) supported by the National Basic Research Development Program (973 Program) of China; Project(51378387) supported by the National Natural Science Foundation of China)

通信作者：屈兵，博士研究生，从事桥梁监测与状态评估研究；E-mail: bingoqu@foxmail.com