DOI: 10.11817/j.ysxb.1004.0609.2020-39494

基于速率温度参数计算7075铝合金蠕变本构方程

李  昂

(核工业理化工程研究院 四所，天津 300180)

摘  要：针对高强铝合金蠕变数据存在幂律失效而难于拟合的问题，采用Monkman-Grant关系式，在经典时间温度参数模型的基础上，推导4种不同形式的速率温度参数模型。根据高强铝合金7075在34.4~148.9 ℃下的蠕变数据，利用多元线性回归方法，计算得出基于不同形式速率温度参数的材料稳态蠕变方程。结合统计检验方法，评价不同模型下蠕变方程的拟合效果。结果表明：在显著性水平5%的条件下，OSD’模型下稳态蠕变速率实测数据与拟合结果的对数差值不满足正态分布。OSD’、LM’模型下拟合数据的对数值无法完全落入理想拟合线双侧96.5%的置信区间内。RMB’、MH’模型下实测与拟合对数值之间的线性相关系数均大于0.994，对应的残差平方和分别为0.2797、0.2800。基于RMB’、MH’模型的蠕变本构方程可以较好地描述7075铝合金在实验条件范围内的稳态蠕变行为。

关键词：速率温度参数；高强铝合金；幂律失效；蠕变本构方程；统计检验

文章编号：1004-0609(2020)-02-0308-08　　     中图分类号：TB31　　     文献标志码：A

Al-Zn-Mg-Cu系(7系)铝合金具有较高的比强度和硬度以及较好的耐腐蚀性能等诸多优点，因而被广泛应用于航空航天、武器装备、核工业等领域^[1-3]。在高应力条件下长期服役的高温部件蠕变变形逐渐累积进而导致部件失效的概率增加，因此，准确预测铝合金部件蠕变变形和寿命对评估相关设备的可靠度和耐温年限具有极其重要的意义。稳态蠕变性能是评价7系铝合金耐温性能的重要考核指标。而蠕变本构方程更是部件蠕变计算的性能基础。关于7系铝合金的蠕变性能，国内外的学者已做出大量研究^[4-8]。JAHROMI等^[4]研究了喷射沉积SS70高强铝合金在120 ℃下的蠕变行为，结果表明当试验应力不小于280 MPa时，该合金的抗蠕变性能优于传统7075合金。WILSHIRE等^[5]发现当实验温度从100 ℃上升至190 ℃时，7010铝合金会发生明显的幂律失效现象，蠕变应力指数从23下降至5。材料发生幂律失效不仅会使蠕变方程的适用范围变窄，同时也会增加蠕变方程的求解难度。SCRIVASTAVA等^[6]采用分段拟合的方法研究了应力水平对7075铝合金蠕变性能的影响程度。LIN等^[8]结合Norton律和θ函数法，建立了7075铝合金蠕变本构模型。由于所用数据的实验条件有限，以上研究方法的适用性及拟合效果有待进一步验证。

时间温度参数法^[9-12]是国际上用于预测材料在较宽实验条件范围内持久寿命的计算方法，遗憾的是该方法无法评估材料的蠕变性能。HEIMERL^[13]在其论文中提出了速率温度参数的概念，但是并未分析速率温度参数的拟合适用性，也没有将其应用于材料稳态蠕变本构方程的求解过程。

本文依据Monkman-Grant关系式^[14]，将经典的RMB、MH、OSD、LM时间温度参数修正为对应形式的速率温度参数。考虑到高强铝合金7075蠕变数据的分散性，利用多元线性回归方法，求解基于不同速率温度参数模型的材料蠕变方程。采用统计检验方法，分析不同形式蠕变方程的拟合适用性，确定铝合金7075的蠕变本构方程。

1  速率温度参数模型的建立

根据空穴富集理论，MACHLIN等^[15]推导出蠕变稳态速率与持久断裂时间呈简单的反比例关系。MONKMAN等^[14]通过数据拟合得出持久时间t_r与稳态蠕变速率之间的经典公式，即：

                             (1)

MONKMAN的计算结果显示对于大部分合金，斜率m的取值范围大约在-0.7~-1之间。

针对传统时间温度参数无法计算稳态蠕变速率的问题，依据Monkman-Grant公式(1)，在时间温度参数的表达式中引入稳态蠕变速率，替代参数中原有的持久时间t_r，将经典时间温度参数中的Restrained- Manson-Brown(RMB)参数^[16]、Manson-Haferd(MH)参数、Orr-Sherby-Dorn(OSD)参数、Larson-Miller(LM)参数修改为速率温度参数形式，修正后的RMB’、MH’、OSD’、LM’速率温度参数表达式如下：

                    (2)

                         (3)

                          (4)

                          (5)

式中：T为温度，K；Q为过程活化能，kJ/mol；R为摩尔气体常数，取值为8.314 J/(mol·K)；代表稳态蠕变速率，1/h；、T_a、q、C均为常数项。当q＞0时，=q，当q≤0时，=0。当q分别等于-1、0、1时，RMB’参数分别退化为LM’参数、OSD’参数及MH’参数。

在确定速率温度参数的系数项之前，还需要确定主曲线的形式。研究中采用“GJB/Z 18A-2005K”^[17]中推荐的四阶的多项式对进行拟合。速率温度参数模型的具体表达式仅以RMB’速率温度参数为例，其他LM’、OSD’及MH’参数模型的对应表达式可以通过表达式中q取相应数值后简化得出。在RMB’速率温度参数模型中，蠕变稳态速率、温度水平T、应力水平应满足如下关系：

  (6)

2  蠕变方程的求解

2.1  材料状态及蠕变数据

以高强铝合金7075作为算例，利用本研究提出的速率温度参数模型，求解基于不同模型下的稳态蠕变拟合方程。7075铝合金的蠕变数据来自文献[18]，该铝合金的成分如表1所列，挤压板的热处理状态为T6态，蠕变试样的取样方向为板内短横向(垂直于挤压板的挤压方向)。计算中使用的有效蠕变数据共28个，分别取自34.4 ℃、99.4 ℃、148.9 ℃的蠕变实验，应力水平处于138~523 MPa的范围内，数据分布见图1。从图1中可以清楚地看出，相同温度下实验应力与7075铝合金稳态蠕变速率的对数值呈非线性关系，即在实验条件范围内，高强铝合金7075存在明显的幂律失效现象。

表1  7075铝合金的成分含量

Table 1  Chemical composition of 7075 aluminum alloy (mass fraction, %)

图1  高强铝合金7075蠕变数据的分布情况

Fig. 1  Distribution of steady state creep rate data of aluminum alloy 7075

将7075铝合金的蠕变数据标示在蠕变速率-持久时间的关系图2中，线性拟合已断裂数据的稳态蠕变速率、持久时间t_r之间的数值关系，拟合线表达式为，线性相关系数= 0.9410，说明高强铝合金7075的稳态蠕变速率与持久时间之间基本满足Monkman-Grant公式。

2.2  蠕变方程的拟合过程

图2  高强铝合金7075稳态蠕变速率与持久时间的关系

Fig. 2  Variation of enduring time with steady creep rate of 7075 alloy

为了保证蠕变拟合方程的准确性，建立与之间残差平方和的优化函数，拟合确定的系数应使残差平方和最小。残差平方和的函数表达式如下：

  (7)

式中：i代表应力水平编号；j代表温度水平编号；n_σ代表在温度为T_j的条件下应力水平的数量；m_T代表在应力为σ_i的条件下温度水平的数量。

在具体的求解过程中，由于T_a仅在MH’、RMB’模型的参数中出现，不妨先将q设定为1，降低T_a对函数表达式(7)求解过程的非线性干扰。如果残差平方和存在最小值，残差平方和对logt_a、a₀、a₁、a₂、a₃、a₄等6个待定系数在对应系数处的偏导数均应等于0。分别推导lgt_a、a₀、a₁、a₂、a₃、a₄等系数在对应系数处的偏导数计算式并整理为6阶的矩阵形式。结合7075铝合金的蠕变数据，利用多元线性回归的方法，确定在q=1的条件下残差平方和最小值为0.2800，对应T_a的最优解为-147.38，如图3所示。然后在[-1,1.5]的范围内搜索q的最优解，使残差平方和最小，具体计算结果见图4。从图4中可以确定残差平方和的最小值0.2797，对应的q值等于1.02，优化后不同形式温度参数模型的其他待定系数项及残差平方和如表2所示。从表2的数据可知，RMB’模型的残差平方和最小，MH’模型的与RMB’模型的计算值相当，OSD’模型的明显大于其他模型的计算值。

图3  不同T_a取值对应蠕变数据残差平方和的变化趋势

Fig. 3  Variation of sum of squared residuals  with T_a values

图4  不同q值条件下蠕变数据残差平方和的变化趋势

Fig. 4  Variation of sum of squared residuals  with q values

表2  不同速率温度参数模型中其他系数优化值及对应的残差平方和

Table 2  Optimized parameters and related SSE  in different models

3  蠕变本构方程的评价

3.1  拟合数据的分散性

在确定蠕变方程的系数项后，采用统计检验的方法分析不同模型下蠕变方程对实测数据的拟合效果。对不同速率温度参数模型下拟合值与实测值之间偏差量的分布进行正态检验。图5所示的理论累积概率函数在正态坐标图上呈直线。RMB’、MH’、LM’模型下的偏差量数据基本分布在理论累积概率函数两侧，近似地服从线性关系，而OSD’模型下部分预测值与实测值之间偏差量较大。

采用Shapiro-Wilk检验法对偏差量的分布进行非参数检验，进一步确认其分布类型。在确认偏差量满足正态分布的前提下，对偏差量数据进行Dixon双侧离群值检验。选择显著性水平为0.05，不同模型对应的统计及判定值如下表3所示。从表中的数据可知，OSD’模型下的拟合值与实测值的对数偏差量数据不服从正态分布，而基于其他模型蠕变方程的偏差量数据服从正态分布且不存在异常值，这说明拟合数据与实测数据之间不会出现明显的偏差。

图5  不同模型下蠕变速率拟合值与实测值的对数偏差量在正态概率图上的分布

Fig. 5  Logarithmic difference distribution of actual measurements and fitted creep data by different models

表3  不同模型下偏差量数据的检验结果

Table 3  Test results of logarithmic difference data by different models

3.2  拟合数据的有效性

为了考察蠕变方程的有效性，建立不同模型下拟合数据与实测数据的回归直线，计算不同速率温度参数模型下拟合与实测数据的对数残差标准差S_A-RLT，确定理想拟合线()双侧96.5%置信区间的边界线，检验不同模型下的预测数据是否完全落入该置信区间内，其中对数残差标准差S_A-RLT的计算式如式(8)所示，双侧96.5%置信区间边界线的表达式如式(9)所示。

   (8)

                   (9)

式中：﹑的单位为h^-1；n_A代表全部数据点的数量。

图6所示分别是RMB’、MH’、OSD’、LM’模型下拟合数据与实测数据的回归直线。从图6中可以看出，RMB’、MH’、LM’模型下拟合数据与实测数据对数值的线性相关系数均大于0.99，OSD’模型的相关系数略小但也在0.98以上。而以上模型拟合直线的斜率均接近于1，与理想拟合线基本重合。

图7所示为不同速率温度参数模型下蠕变方程拟合数据的有效性检验图。从图7中可以看出，与OSD’、LM’模型相比，基于RMB’、MH’模型的拟合值与实测值的吻合程度显然更好，数据点密集地分布在理想拟合线周围且均落入96.5%的置信区间内。而利用OSD’、LM’模型计算的蠕变数据中，(-0.693，-1.198)落于理想拟合线96.5%置信区间之外，该数据对应的实验条件分别为(148.9 ℃，365.4 MPa)。这说明OSD’、LM’模型无法保证实验条件范围内的拟合结果均达到设定的置信度。

综合预测数据分散性及有效性的检验结果，RMB’、MH’模型的蠕变方程可以更好地描述高强铝合金7075在实验条件范围内的稳态蠕变行为。在温度水平34.4~148.9 ℃、应力水平138~523 MPa的范围内，基于RMB’、MH’模型的7075铝合金蠕变本构方程分别如下：

图6  不同模型下蠕变方程拟合数据与实测数据的对比

Fig. 6  Comparison of actual measurements and fitted creep data by different models

图7  不同模型下蠕变方程预测数据的有效性检验

Fig. 7  Effectiveness of fitted results by different rate temperature models

  (10)

  (11)

3.3  蠕变本构方程的验证

为验证7075铝合金稳态蠕变本构方程的正确性，在不同温度水平下开展低应力的蠕变性能实验。根据蠕变方程(10)、(11)，分别在对应温度下建立应力-稳态蠕变速率对数值的预测曲线，并与验证实验数据进行比较，结果如图8所示。图8中同时示出了依据蠕变数据分散性确定的置信度为96.5%的预测区间。从图中可以看出， RMB’和MH’参数模型下的预测曲线基本重合，低应力水平的验证数据均落入对应温度下预测曲线的置信区间内。经计算，RMB’、MH’模型下稳态蠕变速率对数预测值的平均相对误差值分别为2.56%、2.48%，这说明建立的蠕变本构方程可以较好地描述高强铝合金7075在试验温度及应力水平下的稳态蠕变行为，完全满足工程应用的需求。

图8  基于速率温度参数的铝合金7075蠕变性能预测曲线与实验数据的比较

Fig. 8  Comparison of actual measurements and predicted creep data of 7075 by rate temperature parameter models

4  结论

1) 结合时间温度参数及Monkman-Grant关系式，提出了RMB’、MH’、OSD’、LM’等4种速率温度参数模型，并将速率温度参数成功应用于高强铝合金稳态蠕变速率本构方程的求解过程。

2) 采用多元线性回归方法，求解出基于不同速率温度参数模型(RMB’、MH’、OSD’、LM’)的高强铝合金7075稳态蠕变速率拟合方程，对应的残差平方和分别为0.2797、0.2800、0.7049、0.4194。检验结果显示，在显著性水平5%的条件下，OSD’模型下实验数据与拟合结果的对数差值不满足正态分布。OSD’、LM’模型下拟合数据的对数值无法完全落入理想拟合线的96.5%置信区间内，而RMB’、MH’参数模型下的拟合结果均满足以上分散性及有效性的检验要求。

3) 通过高温低应力下的验证实验，实验结果均落入预测曲线96.5%的置信区间内，证明了基于RMB’、MH’参数模型的蠕变本构方程可以较好地描述高强铝合金7075的稳态蠕变行为。

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Derivation of steady creep constitutive equation of 7075 aluminum alloy by rate temperature parameter

LI Ang

(Institute of Physical and Chemical Engineering of Nuclear Industry, Tianjin 300180, China)

Abstract: Based on Monkman-Grant equation and time temperature parameter, four different rate temperature parameter models were proposed to resolve the difficulty of creep data fitting when power-law breakdown appears in high strength aluminum alloy. The 7075 creep data were fitted into different rate temperature parameter models to obtain the steady creep rate equations by multiple linear regression. The effectiveness of model prediction were discussed in comparison of different models by statistical test methods. The results demonstrate that when significance level is 5%, the logarithmic difference distribution of measured and fitted data by OSD’ model do not satisfy normal distribution. The fitted logarithmic creep rate by OSD’ and LM’ models could not completely drop into 96.5% confidence intervals of ideal fitted line. The regression curves are calibrated by logarithmic values of measured and fitted data by RMB’ and MH’ models, which linear correlation coefficients are greater than 0.994. The sum of squared residuals of RMB’ and MH’ models are 0.2797 and 0.2800, respectively. The steady state creep behavior of 7075 aluminum alloy in experimental conditions can be well described by creep constitutive equations of RMB’ and MH’ models.

Key words: rate temperature parameter; high strength aluminum alloy; power-law breakdown; creep constitutive equation; statistical test

Foundation item: Project(CNNC2019YTEP-IPCE01) supported by the Elite Project for Young Talents of China National Nuclear Corporation, China

Received date: 2019-01-25; Accepted date: 2019-06-20

Corresponding author: LI Ang; Tel: +86-22-58231665; E-mail: kenshin0209@sina.com

(编辑  王  超)

基金项目：中核集团青年英才计划菁英项目(CNNC2019YTEP-IPCE01)

收稿日期：2019-01-25；修订日期：2019-06-20

通信作者：李  昂，高级工程师；电话：022-58231665；E-mail：kenshin0209@sina.com