DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2017.01.007
基于同步角的单输入齿轮分流传动系统均载特性分析
潘磊，朱如鹏，靳广虎
(南京航空航天大学 江苏省精密与微细制造技术重点实验室, 江苏 南京，210016)
摘要：针对某单输入齿轮分流传动系统，给出系统存在误差情况下同步角的原理，推导双联轴的扭转变形、齿轮的啮合变形和齿轮的中心位移引起的分流级大齿轮偏转角。在此基础上，研究双联轴的扭转刚度、支撑刚度、阶梯轴的弯曲变形及系统误差对传动系统静态均载特性的影响。研究结果表明：影响分流级大齿轮偏转角的主要因素为双联轴的扭转变形和齿轮的中心位移；减小双联轴的扭转刚度可改善系统的均载性能；阶梯轴的弯曲变形对系统的均载特性有影响；系统的均载特性对双联轴的支撑刚度敏感；并车级综合误差对系统均载特性的影响比分流级综合误差的大。
关键词：齿轮；均载；分流；同步角
中图分类号：TH132.41 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2017)01-0047-07
Load sharing characteristics of single-input gear split torque transmission based on synchronous angle
PAN Lei, ZHU Rupeng, JIN Guanghu
(Jiangsu Key Laboratory of Precision and Micro-Manufacturing Technology,
Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)
Abstract: The solution of solving synchronous angle was given for a single-input cylindrical gear split-torque transmission with gear errors. The defection angles of big gear in split torque stage caused by torsional deformation of duplicate gear shaft, gear engagement distortion and gear center displacement were driven. Impact of torsional stiffness of duplicate gear shaft, bending deformation of step shaft, support stiffness of transmission shaft and comprehensive gear errors on static load-sharing characteristics of system was analyzed after analyzing key influencing factors on the defection angles of big gear in split torque stage. The results show that the key influencing factors on the defection angle of big gear in split torque stage are torsional deformation of duplicate gear shaf and displacement of gear center. The decrease of torsional stiffness of duplicate gear shaft is contributive to the improvement of load sharing. Bending deformation has influence on load sharing. Load sharing is sensitive to support stiffness of duplicate gear shaft. Comprehensive error of synthesized torque stage has larger influence on load sharing than that of split torque stage.
Key words: gear; load sharing; split-torque; synchronous angle
与传统的行星齿轮传动系统相比，齿轮分流传动系统具有功重比大、传动平稳、可靠性高等优点[1-4]。基于这些优势，该传动系统在航空、舰船等领域具有很好的应用前景。齿轮分流传动系统的核心是均载特性，国内外学者针对其均载特性进行了一系列的研究。ISABELLE等[5-6]提出采用弹性扭力轴、矩形弹性垫等弹性装置来优化齿轮分流传动系统的载荷分配。KRANTZ等[7]对单输入齿轮分流传动系统的动力学均载特性进行了分析，研究了系统的振动能量与弹性扭力轴扭转刚度之间的关系。在此之后，KRANTZ等[8-9]提出不使用任何均载装置的设计方法并进行了试验验证，并成功运用于Comanche直升机，但该设计方法对系统的加工和装配精度要求很高。为此，WHITE[4]提出了在双联轴内部嵌套柔性轴的设计方法，该设计方法使系统的均载性能更好。在CH-53K直升机的传动系统中，GMIRYA等[10-11]采用了弹性轴装置，并对其均载性能进行了静态和动态的试验研究。董皓等[12-13]利用集中参数理论，基于变形协调条件对不同结构的齿轮分流传动轮系进行了静力学均载特性的研究，但忽略了轴的弯曲变形。桂永方等[14-15]通过推导双输入齿轮分流传动系统的动力学微分方程，分析了传动轴的扭转刚度及齿侧间隙对传动系统动力学均载特性的影响。目前，如何全面地分析弹性变形和系统误差对分流传动系统均载特性的影响，却鲜有文献报道。本文作者以单输入齿轮分流传动系统为研究对象，给出系统存在偏心误差和安装误差情况下的同步角原理，研究扭转刚度、支撑刚度、弯曲变形及系统误差对传动系统静力学均载特性的影响，为单输入齿轮分流传动系统的均载设计提供一定的依据。
1 同步角的原理
图1所示为单输入齿轮分流传动系统示意图，其工作原理为：扭矩经输入齿轮Zp分配至大齿轮ZLs和ZRs，经小齿轮ZLh和ZRh汇聚至输出大齿轮ZB。其中，齿轮ZLs和ZLh与齿轮ZRs和ZRh通过双联轴联接。
研究表明[8-9]：通过在单输入齿轮分流传动系统齿轮副(Zp和ZRs或Zp和ZLs)之间预留1个齿侧间隙，系统便可获得良好的均载效果。该齿侧间隙可用同步角β来表达，如图2所示。假设输出大齿轮ZB为刚性约束，并给输入小齿轮Zp施加1个顺时针力矩，若所有齿轮都处于啮合状态，则β为0 rad；若某一齿轮对因齿侧间隙不能啮合，则β等于使该分支并车级小齿轮进入啮合时分流级大齿轮需旋转的角度。在上述的顺时针力矩下，若齿侧间隙存在于左分支齿轮副Zp和ZLs，则同步角β为负；若齿侧间隙存在于右分支齿轮副Zp和ZRs，则同步角β为正。
图1 单输入齿轮分流传动系统示意图
Fig. 1 Sketch map of single-input gear split-torque transmission
图2 同步角示意图
Fig. 2 Sketch map of synchronous angle
按照上述定义，同步角β的计算公式为
(1)
式中：
和
分别为齿轮ZLs和ZRs的偏转角，且为左、右分支双联轴上的扭矩TL和TR的函数。
偏转角和是由传动轴的扭转变形、轮齿的啮合变形以及齿轮的中心位移共同作用所引起的。其中，齿轮的中心位移由轴的弯曲变形、轴承的支撑变形、箱体的弹性变形和系统误差组成。和的计算公式为
(2)
式中：
为由齿轮的啮合变形引起的偏转角；
为由双联轴的扭转变形引起的偏转角；
为由分流级齿轮的中心位移引起的齿轮Zp的偏转角；
为并车级齿轮的中心位移引起的齿轮Zih的偏转角；ips为分流级的传动比；下标i分别为L和R。
2 各偏转角的计算方法
2.1 偏转角和的计算方法
是由轮齿的啮合变形引起的齿轮Zis沿圆周方向的转角，的计算公式为
(3)
式中：Knpis和KnBih分别为分流级和并车级齿轮副的平均啮合刚度；rbis和rbih分别为齿轮Zis和Zih的基圆半径。是由双联轴的扭转变形引起的齿轮Zis沿圆周方向的转角，的计算公式为
(4)
式中：Kisih为双联轴的扭转刚度。
在上述计算式中，双联轴的扭转刚度根据材料力学求解，齿轮的平均啮合刚度依照GB/T 3480—1997计算。其中，人字齿轮的平均啮合刚度采用斜齿轮啮合刚度的并联方式计算。
2.2偏转角和的计算方法
图3所示为齿轮Zm和齿轮Zn刚接触时，小齿轮的初始位置角度示意图，此时两齿轮在分度圆处啮合。
图3 小齿轮初始位置角示意图
Fig. 3 Sketch map of initial angle of pinion
图3中：Xmn-Ymn表示固定坐标系，Ymn由刚接触时的大齿轮圆心指向小齿轮圆心；X*mn-Y*mn表示动坐标系，Y*mn始终由大齿轮圆心指向小齿轮圆心。需要说明的是：当下标m表示Zp时，下标n表示ZLs和ZRs；当下标m表示ZLh和ZRh时，下标n表示ZB。
由图3可见齿轮Zm和Zn与坐标轴Xmn的初始夹角分别为：
(5)
(6)
由于(
)和(
)为渐开线齿轮的展角，根据渐开线的性质，式(5)和式(6)可分别简化为：
(7)
(8)
式中：
为齿轮的压力角。
图4所示为当小齿轮承受顺时针转矩时齿轮Zm和齿轮Zn的角度关系图。此时角
和
可表示为
(9)
式中：lmn为齿轮对的原始中心距；umn和vmn分别为齿轮副两中心沿坐标轴Xmn和Ymn的位移差，且有
图4 受载后小齿轮的位置角示意图
Fig.4 Sketch map of angle of pinion under torque
(10)
式中：xm和xn分别为齿轮Zm和Zn的中心因弹性变形沿坐标轴Xmn的位移；ym和yn分别为齿轮Zm和Zn的中心因弹性变形沿坐标轴Ymn的位移；
为齿轮Zm和Zn当量至啮合线的综合误差。
令大齿轮的周向位置角
不变，角
可表示为
(11)
式中：
为坐标轴Xmn与坐标轴X*mn的夹角，且有
(12)
根据渐开线齿轮啮合的特点，A*C*，A*B*和B*C*的长度可表示为
(13)
此时，角
可以表示为
(14)
则小齿轮Zm与坐标轴Xmn的夹角变为
(15)
则小齿轮Zm由齿轮的中心位移产生的沿顺时针方向的偏转角
可表示为
(16)
若小齿轮承受逆时针力矩，需要对上述求解方法做一些修正，将式(8)、式(11)和式(15)分别改为：
(17)
(18)
(19)
则小齿轮Zm由齿轮的中心位移产生的沿逆时针方向的偏转角为
(20)
轴承的支撑刚度依据文献[16-17]求解；箱体的弹性变形取为轴承支撑变形的一半；阶梯轴的弯曲变形利用积分变换法计算；齿轮的等效误差利用简谐函数当量至啮合线上获得[18]，此时，各级各分支的综合误差如式(21)和式(22)所示。
(21)
(22)
式中：ω为齿轮的转速；E和A分别为偏心误差和安装误差的幅值；
和ζ分别为偏心误差和安装误差与方向坐标轴H的初始夹角；θ为齿轮副的中心线与方向坐标轴H的夹角；
为齿轮的压力角；t为时间。
3 传动系统的平衡方程及均载特性分析
3.1 传动系统的平衡方程
由于和均为左、右分支双联轴上的扭矩TL和TR的函数，联立式(1)则可列出平衡方程：
(23)
式中：T为总输入扭矩。
联立求解式(23)即可求得左、右分支双联轴扭矩TL和TR。为便于表达系统的均载特性，以左、右分支双联轴的扭矩与总扭矩的百分比来衡量传动系统均载性能即载荷分配系数。则两分支的载荷分配系数JL和JR可表示为
(24)
系统的载荷分配系数为
(25)
3.2 传动系统的均载特性分析
采用上述分析方法，本文对某单输入齿轮分流传动系统的均载特性进行了计算与分析。传动系统的主要参数如下：输入功率为150 kW，输入转速为3 000 r/min；角σg为160°，角σp为60°；其他参数如表1所示。
表1 单输入齿轮分流传动系统参数
Table 1 Parameters of single-input gear split torque transmission
3.2.1 齿轮ZRs和ZLs偏转角的分布规律研究
图5所示为传动系统各个误差的幅值均为50 μm，同步角β为1.03 mrad[7]时，由齿轮的中心位移、齿轮的啮合变形和双联轴的扭转变形引起齿轮Zis偏转角随时间的变化曲线。
图5 齿轮Zis偏转角随时间的变化曲线
Fig. 5 Change of defection angles of gear Zis with time
由图5可见：影响齿轮Zis偏转角的主要因素为双联轴的扭转变形和齿轮的中心位移，而齿轮的啮合变形引起的偏转角非常小。可见，影响该传动系统均载特性的主要因素为齿轮的中心位移和双联轴的扭转刚度。
3.2.2 双联轴扭转刚度与系统均载特性的关系
图6所示为双联轴扭转刚度与传动系统载荷分配系数的关系曲线。
由图6可见：双联轴扭转刚度对传动系统的载荷分配系数影响很大。通过减小双联轴的扭转刚度可以增大对由中心位移引起的齿轮Zis偏转角的补偿，使由中心位移引起的齿轮Zis偏转角所占的比重降低，从而可以有效地改善系统的均载性能，这也是分流传动系统采用弹性扭力轴的主要原因。
3.2.3 双联轴支撑刚度与系统均载特性的关系
图7所示为双联轴的支撑刚度对传动系统载荷分配系数的影响曲线。
图6 双联轴扭转刚度对系统载荷分配系数的影响
Fig. 6 Impact of torsional stiffness of duplicate gear shaft on load-distribution coefficient
图7 双联轴支撑刚度对系统载荷分配系数的影响
Fig. 7 Impact of bearing stiffness of duplicate gear shaft on load-distribution coefficient
由图7可见：由于双联轴的支撑刚度同时影响2对齿轮的中心位移，双联轴的支撑刚度对传动系统的均载特性影响较大。随着双联轴支撑刚度的不断增大，传动系统的载荷分配系数不断下降。这是因为，随着双联轴支撑刚度的增大，双联轴上齿轮的中心位移减小，由中心位移引起的齿轮Zis偏转角所占的比重降低。
3.2.4 系统误差与系统均载特性的关系
图8所示为分别改变分流级和并车级各误差的幅值时，传动系统载荷分配系数的变化曲线。
图8 系统误差对系统载荷分配系数的影响
Fig. 8 Impact of system error on load-distribution coefficient
由图8可见：随着系统误差幅值的增大，系统的载荷分配系数不断增大。其中，并车级综合误差对系统均载特性的影响比分流级的大，在工程设计时要特别注意并车级的综合误差。
3.2.5 阶梯轴的弯曲变形与系统均载特性的关系
图9所示为阶梯轴的弯曲变形对两分支载荷分配系数的影响曲线。
由图9可见：考虑轴的弯曲变形时，系统两分支最大的载荷分配系数为56.76；不考虑轴的弯曲变形时，系统两分支最大的载荷分配系数为55.13，因此，弯曲变形对传动系统的均载特性有一定的影响。
为进一步分析弯曲变形对系统均载特性的影响，图10所示分别为改变双联轴的扭转刚度和系统误差幅值时，阶梯轴的弯曲变形与系统均载特性之间的变化关系。图10中的纵坐标最大载荷分配系数差值表示：在图9中的时间段内，有弯曲变形传动系统的最大载荷分配系数减去无弯曲变形传动系统的最大载荷分配系数。
由图10可见：随着双联轴扭转刚度和系统综合误差的增大，传动系统的均载特性越差，弯曲变形对传动系统均载特性的影响越敏感。可见，在分析齿轮分流传动系统静力学均载特性时，不应忽略阶梯轴弯曲变形的影响。
图9 弯曲变形对两分支载荷分配系数的影响
Fig. 9 Impact of bending deformation on load-distribution coefficient
图10 弯曲变形与系统载荷分配系数的关系
Fig. 10 Sketch map of relation between bending deformation and load-distribution coefficient
4 结论
1) 给出了传动系统存在误差情况下同步角的原理，推导并计算了双联轴的扭转变形、齿轮的啮合变形和齿轮的中心位移引起齿轮Zis的偏转角。
2) 影响齿轮Zis偏转角的主要因素为双联轴的扭转变形和齿轮的中心位移。
3) 系统的载荷分配系数随着双联轴的扭转刚度和系统综合误差的增大而增大，随着双联轴的支撑刚度的增大而减小。
4) 随着双联轴扭转刚度和综合误差的增大，弯曲变形对系统均载特性的影响越大。
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(编辑 杨幼平)
收稿日期：2016-01-24；修回日期：2016-03-15
基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51375226, 51475226)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(NP2016206) (Projects(51375226, 51475226) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(NP2016206) supported by the Fundamental Research Funds for the Central Universities)
通信作者：朱如鹏，教授，博士生导师，从事机械传动、结构强度、机械CAD及自动化研究；E-mail: rpzhu@nuaa.edu.cn
