溶槽地段隧道地基梁的结构分析与优化设计

夏桂云^{1, 2}，俞茂宏¹

(1. 西安交通大学 航天航空学院，陕西 西安，710049；

2. 长沙理工大学 土木与建筑学院，湖南 长沙，410004)

摘要：介绍隧道遇到溶槽时采用地基梁穿越的结构方案；利用Winkler地基上Timoshenko梁理论分析地基梁的极值内力、位置和变形；比较不同支承长度对地基梁弯矩、剪力分布的影响；提出极值弯矩比相等的支承长度优化目标；分析溶槽地段填充物的基床系数和沉降对地基梁受力的影响。研究结果表明：Winkler地基梁采用Euler梁理论分析时将低估地基的支承作用；2种不同地基介质的交界处是地基梁剪力最不利位置，最大负弯矩发生在支承段且靠近地基介质交界处，最大正弯矩发生在溶槽内；溶槽填充物的沉降显著改变地基梁受力，完全悬空时地基梁最不利正、负弯矩分别改变41.56和37.52倍，最不利正、负剪力分别改变32.67和12.55倍，设计和施工时应重视此问题。

关键词：溶槽；弹性地基梁；剪切变形；支承长度

中图分类号：U452          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2011)02-0476-06

Structural analysis and optimum design for elastic foundation beam of tunnel in water-eroded groove

XIA Gui-yun^{1, 2}, YU Mao-hong¹

(1. School of Aeronautics and Astronautics, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China;

2. School of Civil Engineering and Architecture, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410004, China)

Abstract: Structural scheme of elastic foundation beam for tunnel was introduced to span water-eroded groove, and the theory of Timoshenko beam on Winkler foundation was used to calculate the extreme internal forces, positions and deflections. The influences of different bearing lengths on moments and shear forces for elastic foundation beam were compared. Based on the optimum object of positive moment and negative moment being equal, the optimum bearing length was derived. The influences of foundation modulus of filling material and settlement on internal forces were studied. The results show that Euler beam theory under-estimates the reaction of foundation. The interface of the two different foundation mediums is the most dangerous position of shear for elastic foundation beam. The extreme negative moment occurs near the interface on bearing side. The extreme positive moment occurs in water-eroded groove. Settlements of filling materials change the internal forces of elastic foundation beam. For full hanging state, extreme positive moment and negative moment change 41.56 times and 37.52 times, respectively; extreme positive shear force and negative shear force change 32.67 times and 12.55 times, respectively. So this problem should be noticed during design and construction periods.

Key words: water-eroded groove; elastic foundation beam; shear deflection; bearing length

隧道穿越岩溶地区时可能遇到大型溶槽，穿越溶槽的方法目前主要采取引、堵、越、绕等处治措施^[1]。若溶槽范围广，则采用堵填方式工作量大，堵填效果难以预测，而采用地基梁方式跨越则技术简单、容易实现而被经常采用。刘小兵等^[2]介绍了双跨连拱隧道以设置地基梁方式穿越大型溶槽地段的技术方案，讨论了溶槽地段地基梁的计算模式和作用荷载，研究了受力最不利截面的位置等。张德和^[3]介绍了合肥至芜湖高等级公路试刀山隧道用“管梁”形式穿越溶洞的设计方法和施工工艺。这些研究揭示了隧道用地基梁形式穿越溶槽地段是一种理想的处治措施。隧道以地基梁形式穿越溶槽时，其受力可简化成多种地基介质上弹性地基梁的受弯问题^[4]。Selvadurai^[5]系统总结了弹性地基上Euler梁的计算方法，但主要针对单一地基介质且没有考虑梁的剪切变形影响。Yin^[6]研究了弹性地基上Timoshenko梁的分析模型，并得到了解析解。Calstornik等^[7]推导了变基床系数的弹性地基Timoshenko梁的切线刚度矩阵，指出基础沉降时应考虑梁的剪切变形影响。Cheng等^[8]研究了弹性地基上Timoshenko梁柱问题，分析了轴力的影响。黄义等^[9]研究了弹性地基上梁、板、壳的分析方法，对深梁只进行了自由振动分析。夏桂云等^[10]系统分析了弹性地基上Timoshenko梁的受力问题，建立了解析法、有限元等，但其工作主要以理论研究为主，与工程结合较少。在此，本文作者采用Winkler地基上Timoshenko梁理论研究隧道以地基梁形式穿越溶槽的受力问题，对其受力特点和优化设计进行探讨。

1  溶槽地段弹性地基梁结构形式

当隧道在施工过程中遇到溶槽时，采用地基梁形式穿越。其做法是：先对溶槽进行适当填充，然后，在隧道的边墙(或中墙)基底设置钢筋混凝土地基梁。此地基梁两端搁置在溶槽两端地质条件较好地段(支承段)，中间则处于溶槽的填充物上，为连续跨越不同地基介质的弹性地基梁。

某双连拱隧道以地基梁形式穿越长度约20 m的大型溶槽，为保证隧道安全，设计单位在左、右边墙及中墙基底各设1道矩形断面的钢筋混凝土地基梁，半幅结构如图1所示。

图1  隧道地基梁布置图

Fig.1  Foundation beam scheme for tunnel

2  溶槽地段弹性地基梁分析理论

对于穿越溶槽地段的地基梁，目前一般采用Winkler地基上Euler梁分析理论。由于溶槽段填充物与两端地基的基床系数不同，因此，用解析法求解不方便，在实际中多采用有限元技术。Euler梁理论没有考虑梁的剪切变形影响，不适应短梁，本文采用适应于长/短梁且考虑了剪切变形影响的Timoshenko二广义位移梁通用理论进行分析^[11]。Winkler地基上Timoshenko梁的平衡方程如下^[10]：

       (1)

式中：D(即EI)为梁的抗弯刚度；C(即nGA)为梁的抗剪刚度；K(即k×b)为地基基床系数；q为梁上作用的分布荷载；w为梁的变形。

利用初参数法，可建立Winkler地基上Timoshenko梁的有限元列式，其刚度矩阵、非结点荷载的等效表达式等见文献[10]。

3  溶槽地段弹性地基梁的分析与  比较

以图1所示的工程为背景，对溶槽地段的弹性地基梁进行分析，以了解其受力特性。在此工程的设计方案中，中墙地基梁截面宽2.7 m，高1.0 m；边墙地基梁截面宽1.0 m，高1.0 m；中、边墙地基梁长都设计为30.0 m，梁中段置于溶槽填充物上，两端各留a=5.0 m置于基岩(Ⅳ级围岩)上，溶槽填充物长度b=20.0 m。根据试验测试结果，Ⅳ级围岩基床系数为350 MN/m²，溶槽填充物的基床系数为100 MN/m²，地基梁的弹性模量为E=2.85×10¹⁰ N/m²。在衬砌结构施工过程中，中墙处于很不利的偏压状态，但当衬砌完成后，由于结构对称，中墙的偏压状态消失，边墙的偏压状态反而产生不利影响^[12]，故本文只对边墙地基梁进行分析，其计算简图如图2所示。根据衬砌   结构的计算结果，作用于边墙地基梁的恒载为     2.225 MN/m。

图2  弹性地基梁的计算简图

Fig.2  Computing model of elastic foundation beam

采用考虑剪切变形影响的Timoshenko梁理论与不考虑剪切变形影响的Euler梁理论得到的极值弯矩和剪力及其出现位置、最大变形等计算结果如表1  所示。

表1  边墙地基梁的极值内力、位置和变形比较

Table 1  Extreme forces, positions and deflections for elastic foundation beam of side wall

从表1可以看出：此弹性地基梁仍为初等梁，其剪切变形影响较小，如最大剪力的相对误差只有3.36%，最小弯矩的相对误差只有3.05%，最大变形的相对误差只有0.16%。但是，采用不考虑剪切变形影响的Euler梁理论得到的计算结果比考虑剪切变形的Timoshenko梁理论得到的计算结果都大，这与没有地基支承的梁结构“采用Euler梁理论得到的挠度结果显著偏小”的结论^[11]相反。在弹性地基梁中，不考虑梁的剪切变形影响，将对地基的支承作用估计过小。

4  支承长度的优化分析

对于穿越溶槽地段的弹性地基梁，良好地基上两端支承长度a(如图2所示)如何选择是工程设计中一个比较关心的优化问题，其涉及地基梁的受力和工程造价。保持图2中溶槽长度b不变，改变支承长度a，地基梁的弯矩、剪力随支承长度a的变化如图3和图4所示。

图3  不同支承长度的弯矩M变化图

Fig.3  Moment changing with bearing length

图4  不同支承长度的剪力Q变化图

Fig.4  Shear force changing with bearing length

从图3可以看出：支承长度a对地基梁的弯矩分布有显著影响。在工程设计中，为了减小地基梁的最大正弯矩、最小负弯矩和方便配筋，一般对支承长度进行试算，得到较优的长度。从图3可见：当最大正弯矩与最小负弯矩相等时，结构的弯矩分布比较合理，也便于配筋。定义极值弯矩比(最大正弯矩与最大负弯矩之比的绝对比)R为：

               (2)

其中：M_max和M_min分别为弯矩的最大值和最小值。R随支承长度a的变化如图5所示。

图5  极限弯矩比随支承长度a的变化

Fig.5  Extreme moment ratio R changing with bearing length a

从图5可以看出：当本工程中支承长度a=4.26 m时，R=1.0，此时最大正弯矩与最大负弯矩绝对值相等，全梁段弯矩分布比较均匀，峰值弯矩适中；当a＜4.26 m时，随着a减小，最大正弯矩随之迅速增大，最大负弯矩随之迅速减小；a越小，极值弯矩比R越大；而当a＞4.26 m时，其最大正弯矩随a的增大而缓慢减小，最大负弯矩也缓慢增大，其极值弯矩比R变化幅度较小。可见：基于极值弯矩比R可以优化支承长度a，而且a对R比较敏感。由于2种地基介质上Timoshenko梁的内力解析解比较复杂，本文没有导出a的理论解，实践中可采用适当方法^[13]进行试算，得到合理的支承长度，以改善地基梁的弯矩分布。

5  溶槽填充物对地基梁的影响

溶槽填充物的材质、密实程度等对地基梁的受力有重要影响，地基梁的内力分布与溶槽填充物的基床系数K密切相关。地基梁的弯矩和剪力随溶槽地段填充物基床系数K的变化分别如图6和图7所示。

图6  溶槽地段基床系数K对弯矩分布的影响

Fig.6  Moment distribution changing with bed coefficents on water-eroded groove

图7  溶槽地段基床系数K对剪力分布的影响

Fig.7  Shear force distribution changing with bed coefficents on water-eroded groove

从图6可以看出：当K减小时，最大正、负弯矩的绝对值迅速增加，其中以负弯矩增大趋势更加明显；最大正弯矩的位置随着K的减小逐渐向跨中移动，最后发生在跨中；但最大负弯矩的位置比较稳定，基本发生在支承段靠近地基介质交界处。

从图7可以看出：随着溶槽地段基床系数的减小，地基梁的最不利剪力(最大值、最小值)也迅速增大，但其位置比较固定，都发生在地基介质交界位置；2种不同地基介质交界处是弹性地基梁最容易受剪切破坏的部位。

实践中，若溶槽填充不密实，则填充物发生固结或沉降，将使地基梁悬空^[14]，此时结构内力重新分布。本文考虑地基梁在溶槽段全部悬空这种极端情况，以探讨填充物下沉的最终状态^[15]。地基梁的弯矩和剪力分布如图8和图9所示。

图8  溶槽地段填充物沉降时地基梁弯矩M分布图

Fig.8  Moment distribution of beam for settlement of filling material on water-eroded groove

图9  溶槽地段填充物沉降时地基梁剪力Q分布图

Fig.9  Shear force distribution of beam for settlement of filling material on water-eroded groove

由表1、图8和图9可知：如果地基梁在溶槽段完全悬空，与设计状态值相比，最大正弯矩绝对值为56.488 4 MN?m，扩大41.56倍，最小负弯矩绝对值为63.093 6 MN?m，扩大37.52倍，最大剪力绝对值为21.990 2 MN，扩大32.67倍，最小剪力绝对值为 22.635 2 MN，扩大12.55倍。因此，溶槽的填充效果必须得到保证，否则对地基梁的受力极为不利。

6  结论

(1) 当隧道以弹性地基梁形式穿越溶槽地段时，2种不同地基介质上的弹性地基梁采用考虑剪切变形影响的Timoshenko梁理论计算的结果比不考虑剪切变形影响的Euler梁的结果小，这与普遍认为“Euler梁理论计算的挠度偏小”的结论相反。采用Euler梁理论分析弹性地基梁，将低估地基对梁的支承作用，计算结果偏安全。

(2) 对于2种不同地基介质的弹性地基梁，其介质交界处是梁剪力最不利位置，最容易发生剪切破坏，其弯矩的最不利位置则与梁的结构形式、基床系数等有关。对于常规结构，最大负弯矩发生在靠近地基介质交界的支承段内，最大正弯矩发生在溶槽段内，具体位置应采用适当方法进行分析才能得到。

(3) 基于极值弯矩比R的优化目标，可以得到一个合理的支承长度a，此时地基梁的弯矩分布比较合理，最不利正、负弯矩的绝对值较小。

(4) 溶槽填充物的支承作用对地基梁的受力影响极大，如果出现沉降而使地基梁悬空，会显著改变其受力状态，甚至出现损毁现象，在施工中一定要保证其填充效果，在设计时也应考虑此不利工况，以保证结构的安全与稳定。

参考文献：

[1] 李学东, 程久胜, 马来秋, 等. 朱家岩隧道特大型溶洞处治方案[J]. 中外公路, 2007, 27(5): 179-183.
LI Xue-dong, CHENG Jiu-sheng, MA Lai-qiu, et al. Treating method of especial large void for Zhujiayan Tunnel[J]. Journal of China & Foreign Highway, 2007, 27(5): 179-183.

[2] 刘小兵, 陈宇. 溶槽地段双跨连拱隧道的结构计算与分析[J].中南大学学报: 自然科学版, 2005, 36(3): 517-521.
LIU Xiao-bing, CHEN Yu. Structural calculation and analysis for double arch tunnel in water-eroded groove[J]. Journal of Central South University: Science and Technology, 2005, 36(3): 517-521.

[3] 张德和. 隧道穿越溶洞堆积物的设计与施工[J]. 地下空间, 1999, 19(2): 93-100.
ZHANG De-he. Design and construction of tunnel crossing cavern with accumulations[J]. Under-ground Space, 1999, 19(2): 93-100.

[4] 王毅才. 隧道工程[M]. 北京: 人民交通出版社, 2006: 101-112.
WANG Yi-cai. Tunnel engineering[M]. Beijing: China Communications Press, 2006: 101-112.

[5] Selvadurai A P S. Elastic analysis of soil foundation interaction[M]. London: Elsevier Scientific Publishing Co, 1979: 122-157.

[6] Yin J H. Comparative modeling study of reinforced beam on elastic foundation[J]. Journal of Geotechnical and Geoenviron- mental Engineering, ASCE, 2000, 126(3): 265-271.

[7] Calstornik J, Eisenberger M. Beams on variable Winkler foundation[J]. Journal of Applied Mechanics, ASME , 1986, 53: 925-928.

[8] Cheng F Y, Pantelides C P. Static Timoshenko beam-columns on elastic media[J]. Journal of Structural Engineering, ASCE, 1987, 114(5): 1152-1172.

[9] 黄义, 何芳社. 弹性地基上的梁、板、壳[M]. 北京: 科学出版社, 2005: 42-44.
HUANG Yi, HE Fang-she. Beam, plate and shell on elastic foundation[M]. Beijing: Science Press, 2005: 42-44.

[10] 夏桂云, 李传习. 考虑剪切变形影响的杆系结构理论与应用[M]. 北京: 人民交通出版社, 2008: 92-136.
XIA Gui-yun, LI Chuan-xi. Timoshenko beam theory and its applications for frame structures[M]. Beijing: China Communications Press, 2008: 92-136.

[11] 胡海昌. 弹性力学的变分原理及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 1981: 139-206.
HU Hai-chang. Variational principles in elasticity and its applications[M]. Beijing: Science Press, 1981: 139-206.

[12] 何川, 林刚, 汪会帮. 公路双连拱隧道[M]. 北京: 人民交通出版社, 2006: 21-139.
HE Chuan, LIN Gang, WANG Hui-bang. Double-arched tunnel of highway[M]. Beijing: China Communications Press, 2006: 21-139.

[13] Desai C S, Christian T J. Numerical method in geotechnical engineering[M]. New York: McGraw-Hill Book Co, 1977: 113-184.

[14] Wang M C, Badie A. Effect of underground void on foundation stability[J]. Journal of Geotechnical Engineering, 1985, 111(8): 1008-1019.

[15] 刘之葵, 梁金城, 朱寿增. 岩溶区含溶洞岩石地基稳定性分析[J]. 岩土工程学报, 2003, 25(5): 629-633.
LIU Zhi-kui, LIANG Jing-cheng, ZHU Shou-zeng. Stability analysis of rock foundation with cave in karst area[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2003, 25(5): 629-633.

(编辑 陈灿华)

收稿日期：2009-12-15；修回日期：2010-03-20

基金项目：中国博士后基金资助项目(20080441177)

通信作者：夏桂云(1972-)，男，湖南湘阴人，博士，副教授，从事桥梁与隧道工程的研究；电话：0731-82617746；E-mail：xiagy72@163.com