稀有金属 2000,(03),182-187 DOI:10.13373/j.cnki.cjrm.2000.03.005
扁挤压筒装配应力计算与受力分析
谢水生 张学军
北京有色金属研究总院!北京100088,北京有色金属研究总院!北京100088,南方冶金学院!赣州341000
摘 要:
由于扁挤压筒的形状特点 , 厚壁圆筒的接触应力计算公式不再适用 , 通常采用有限元方法进行分析计算。提出一种求解接触应力的有效方法 , 应用接触体的受力条件和几何条件对弹性刚度矩阵进行矩阵合成与变换 , 可一次性求解边界接触力和节点位移 , 从而获得接触体在装配压力作用下的应力场分布 , 此方法简称矩阵合成变换法。
关键词:
有限元法 ;扁挤压筒 ;装配应力 ;
中图分类号: TG37
收稿日期: 1999-11-03
Analysis and Compute for Shrinkfitting Stress of Rectangular Bore Containers
Abstract:
Due to the shape character of rectangular bore containers, the equation for circular containers is no longer adaptable. Shrinkfitting pressure is usually calculated by FEM. Adopting the method of mixed approach using FEM referred by some paper is timeconsuming and has great workload. A efficient method was provided to deal with contact problems. With the contact force conditions and the compatibility conditions at contact boundaries to synthesize and transform the elastic stiffness matrix applied, the contact force and displacement of node can be solved at the same time, and then the stress distribution can be attainted. This method is called synthesizing and transforming stiffness matrix.
Keyword:
FEM; Rectangular bore containers; Shrinkfitting stress;
Received: 1999-11-03
随着国民经济的发展与工业制造能力的提高, 大型扁宽薄壁铝合金型材大量运用于飞机、 船舶、 车辆等结构件, 以代替传统的铆接结构件和其他组合结构件, 并将在其他部门也得到越来越广泛的应用。 生产大型扁宽薄壁铝合金型材, 其扁挤压筒的研制是关键, 所以研究其内部的应力分布情况, 将有助于问题的解决。 扁挤压筒内孔非圆形, 采用多层筒体装配, 受力情况复杂, 厚壁圆筒计算公式不再适用, 而采用有限元混合法, 求解次数多, 计算较为复杂。 本文从有限元基本方程出发, 采用矩阵合成变换法, 对求解方程进行处理, 不仅减少了计算量, 而且精度高, 程序易实现。
1 扁挤压筒装配压力计算与分析
1.1 扁挤压筒特点
扁挤压筒在工作中承受高温、 高压、 高摩擦, 工作条件十分恶劣。 同时扁挤压筒的内孔有较大的局部应力集中, 所以现有扁挤压筒普遍存在易开裂、 寿命短等问题, 其中主要原因为各层筒体尺寸分配和过盈量取得不合理, 以致于造成装配应力分布不够合理。 所以求解装配应力, 对正确了解和分析扁挤压筒内的应力分布有着非常重要的意义。
1.2 有限元混合法
假设过盈配合面上共有m 个接触点, 先将全部接触点放开, 在内层第j 个接触点上施加一单位力, 进行一次有限元计算, 求出由于j 节点作用单位力而产生的接触面上各节点的位移向量, 设所求的位移向量为u
1 i j
1 i j
(i =1~m ) , 同样方法计算外层筒, 也在相对应的第j 个接触点上施加单位力, 解出的接触面上各节点的位移向量为u
2 i j
2 i j
(i =1~m ) , 然后将内外两层对应接触点的位移值叠加u ij =u
1 i j
1 i j
+u
2 i j
2 i j
(i =1~m , j =1~m ) , 将所求得的系数矩阵u ij , 写成矩阵形式为[u ], 称为柔度矩阵, 其物理意义为在第j 个接触点施加一对单位力时, 第i 个接触点对间产生的间距。 假设过盈配合面上的m 个接触点对上作用的真实接触力为向量N j (j =1~m ) , 过盈量为向量δ j (j =1~m ) , 由此可列出各个接触点对上的变形协调方程:
[u ]{N }={δ } (1)
解方程组, 可得接触力向量{N }。 然后, 再将这组接触力一次性加到相应的接触点上, 并进行有限元分析, 即可得到最后的过盈配合接触问题的结果
[1 ,2 ,3 ]
。 此种方法可以获得较为准确的计算结果, 但是计算量大, 需多次调用有限元方程求解。 下面提出一种利用接触体的受力和几何变形条件对刚度矩阵进行合成变换来求解的方法。
1.3 刚度矩阵合成变换法
该法是先分别将内外筒列出求解方程组, 然后将两筒方程组合并考虑, 这样接触面上一个接触点分为两个节点考虑, 将对应节点所在行、 列按照变形条件、 受力条件作处理后求解。
图1 扁挤压筒及网格划分
设内层总节点数为n 个, 外层总节点数有n ′个, 如图1所示。 内层接触点编号从m ~n , 外层接触点编号从1~m ′。 解除两层筒之间的约束分别在接触点上加力, 对于同一个接触点, 分别作用在内外筒上的节点力大小相同, 方向相反。 通过有限元网格划分, 结构计算分别求出内层、 外层的总刚度矩阵记为[K ]
1 n × n
1 n × n
、 [K ]
2 n ′ × n ′
2 n ′ × n ′
。 内外层各节点位移向量分别用{δ }
1 n
1 n
、 {δ }
2 n ′
2 n ′
表示。 等式右边为载荷列向量内外层分别用{P }
1 n
1 n
、 {P }
2 n ′
2 n ′
表示, 列出相应的有限元基本方程
[4 ,5 ]
如式 (2) 和式 (3) 。
[ Κ 1 1 1 ? Κ 1 1 m ? Κ 1 1 n ? ? ? Κ 1 m 1 ? Κ 1 m m ? Κ 1 m n ? ? ? Κ 1 n 1 ? Κ 1 n m ? Κ 1 n n ] { δ 1 1 ? δ 1 m ? δ 1 n } = { Ρ 1 1 ? Ρ 1 ? ? Ρ 1 n } ? ? ? ( 2 )
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K 1 1 1 ? K 1 m 1 ? K 1 n 1 ? ? ? K 1 1 m ? K 1 m m ? K 1 n m ? ? ? K 1 1 n ? K 1 m n ? K 1 n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? δ 1 1 ? δ 1 m ? δ 1 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? P 1 1 ? P 1 ? ? P 1 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 2 )
[ Κ 2 1 1 ? Κ 2 1 m ′ ? Κ 2 1 n ′ ? ? ? Κ 2 m ′ n ′ ? Κ 2 m ′ m ′ ? Κ 2 m ′ n ′ ? ? ? Κ 2 n ′ n ′ ? Κ 2 n ′ m ′ ? Κ 2 n ′ n ′ ] { δ 2 1 ? δ 2 m ′ ? δ 2 n ′ } = { Ρ 2 1 ? Ρ 2 m ′ ? δ 2 n ′ } ? ? ? ( 3 )
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K 2 1 1 ? K 2 m ′ n ′ ? K 2 n ′ n ′ ? ? ? K 2 1 m ′ ? K 2 m ′ m ′ ? K 2 n ′ m ′ ? ? ? K 2 1 n ′ ? K 2 m ′ n ′ ? K 2 n ′ n ′ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? δ 2 1 ? δ 2 m ′ ? δ 2 n ′ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? P 2 1 ? P 2 m ′ ? δ 2 n ′ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 3 )
式中因位移、 力为矢量, 取X /Y 轴正方向为位移、 受力正方向。
装配接触边界的几何条件: 内层与外层的对应接触点的位移满足等式 (4) 。
-δ
1 m
1 m
+δ
2 1
2 1
=δ , -δ
1 m + 1
1 m + 1
+δ
2 2
2 2
=δ , …, -δ
1 n
1 n
+δ
2 m ′
2 m ′
=δ (4)
装配接触边界的受力条件: 内层与外层对应接触点的受力满足等式 (5) 。
P
1 m
1 m
+P
2 1
2 1
=0, P
1 m + 1
1 m + 1
+P
2 2
2 2
=0, …, P
1 n
1 n
+P
2 m ′
2 m ′
=0 (5)
将两层的刚度矩阵集成一个总刚度矩阵, 内层扩大后的贡献矩阵为
, 外层扩大后的贡献矩阵为
, 则将内外层的贡献矩阵集成为
, 详细表达式见式 (6) 。
利用式 (4) 、 (5) 对矩阵进行变换, 即将K
1 m 1
1 m 1
所在行加到K
1 1 1
1 1 1
所在行, 以下依次类推至K
1 n 1
1 n 1
, 可得到如下矩阵, 即式 (7) 。
将方程中常数项移至方程的右边, 即将δ 与对应行中系数矩阵元素相乘的结果合并后移到对应行的方程右边。 可得式 (8) 。
为了能够同时求解装配力, 把未知数δ
1 m
1 m
~δ
1 n
1 n
的系数合并后, 将式 (8) 右边未知数P
1 m
1 m
~P
1 n
1 n
移至方程左边。 在具体程序实现过程中, 将K
1 1 m
1 1 m
所在列加到K
2 1 1
2 1 1
所在列, 以下类推至K
1 1 n
1 1 n
所在列加到K 2 1m ′ 所在列, 然后将这几列元素置零。 对于未知数P
1 m
1 m
~P
1 n
1 n
将其移至等式的左边, 形成新的求解未知数, 即将其对应的对角线元素置为-1, 这样就由{δ
1 1
1 1
… P
1 m
1 m
… P
1 n
1 n
δ
1 m
1 m
… δ
1 n
1 n
δ
2 m ′ + 1
2 m ′ + 1
… δ1 n′ 构成未知数向量, 计算后即可一次性求出各节点位移和接触力, 导出公式 (9) 。
经过上式计算, 所得的向量{P
1 m
1 m
……P
1 n
1 n
}即为所求的过盈装配力。 在实际计算过程中自由度为2, 每个节点的位移、 受力均有两个自由度方向的值, 以上公式中刚度矩阵元素为2×2的子块, 可表示为[K ij ]=
, 向量{δ }j 为2×1的子块, 其相应元素可由下式计算: {δ }j =
, 向量{P }j 为2×1的子块, 其相应元素可由下式计算: {P }j =
, αj 为对应节点处法向方向与X轴的夹角, δ j 为对应节点的径向位移, P j 为接触点的径向受力。
2 结果与验证
2.1 厚壁圆筒计算结果
为了检验分析公式的正确性下面给出了用上述两种方法计算两层厚壁圆筒的过盈力的计算结果, 计算参数为内筒半径R 1 为110.0 mm, 内筒外半径R 2 为282.5 mm, 外筒外半径R 3 为545 mm, 弹性模量E 为2ⅹ105 MPa, 计算结果如表1。
表 1 厚壁圆筒计算结果 下载原图
表 1 厚壁圆筒计算结果
由表1的数据对比, 可以看出, 两种方法的计算结果相近。 其中本文方法更接近解析解, 并且波动幅度小, 最大误差为0.836%, 足以证明本文方法的可靠性。
2.2 不同尺寸、 过盈量情况下扁筒计算结果
采用本文所提出的矩阵合成变换法计算扁挤压筒在不同尺寸和过盈量下的装配应力, 表2~5列出了相应条件下的计算结果, 材料的弹性模量E =210 MPa, 泊松系数μ =0.3。 为了更好的描述边界几何形状, 选择八节点四边形单元, 共划分56个单元, 接触面上有29个节点。
表 2 675 mm×250 mm扁挤压筒应力计算结果 下载原图
注: 内、 中层与中、 外层接触半径分别为475 mm和1500 mm
表 2 675 mm×250 mm扁挤压筒应力计算结果
表3 675×250 mm扁挤压筒应力计算结果 下载原图
注:内、中层与中、外层接触半径分别为475 mm和1500 mm
表3 675×250 mm扁挤压筒应力计算结果
表4 670×270 mm扁挤压筒应力计算结果 下载原图
注:内、中层与中、外层接触半径分别为475 mm和1500 mm
表4 670×270 mm扁挤压筒应力计算结果
表5 670×270 mm扁挤压筒应力计算结果 下载原图
注:内、中层与中、外层接触半径分别为475 mm和1500 mm
表5 670×270 mm扁挤压筒应力计算结果
从表2可得出在其他参数不变的情况下增大内中层的过盈量将使得装配后最大等效应力增大而工作状态下组合应力减小。 从表2与表3对比来看, 可得出适当的改变内中层的接触半径也可起到改变筒体内应力分布的效果。 而由表2与表3、表4和表5相对比可得出适当的调整内孔的尺寸同样也会影响筒体内的等效应力分布。 由图2可看出, 装配压力不是均匀分布, 沿着边界 (逆时针方向) 装配压力先是下降, 而后又逐渐增大。 边界的第一个端点 (节点1) 处装配压力最大。 图3为扁挤压筒在装配后的等效应力分布图, 可由图看出过盈装配在筒体内产生的装配应力分布不均匀, 其最大应力点出现在内孔圆角附近。 图4是扁挤压筒装配后在内压515 MPa作用下的组合应力分布图, 由图可看出, 扁挤压筒内孔圆角附近有应力集中, 最大为1372 MPa, 而内孔直边区域应力较小。
图2 装配面接触压力分布
图3 装配后等效应力图
图4 装配后组合应力等效应力图
3 结 论
1. 本文提出的方法是对接触体的刚度矩阵进行合成与变换, 然后进行求解, 解法简单, 程序易实现。
2. 采用矩阵合成变换法, 能够有效地解决多层筒体装配应力的计算, 而且计算次数少, 精度高。
3. 通过对扁挤压筒的计算分析可得出扁挤压筒接触面上的装配压力沿着边界并非规则分布, 且内部的应力分布受到各层间过盈量, 接触半径, 以及内孔尺寸等因素的影响, 所以选择合理的优化方法, 通过调整这些参数, 即可使得扁挤压筒内应力分布均匀, 且有效地减小内孔圆角附近的应力集中。
参考文献
[1] 陈万吉 机械工程学报 , 1 981 , 1 7 ( 4 ) :1 8
[2] 刘志强 大型整体壁板用扁挤压筒的有限元优化设计 :[硕士学位论文 ] 北京 :北京科技大学 , 1 996
[3] 谢建新 , 刘静安 锻压技术 , 1 999, 2 4 ( 3) :48
[4] 谢水生 , 王祖唐 金属塑性成型工步的有限元数值模拟 北京 :冶金工业出版社 , 1 997
[5] 吕丽萍 有限元法及其在锻压工程中的应用 西安 :西北工业大学出版社 , 1 989