永磁同步电机的自适应模糊终端滑模速度控制
方一鸣1, 2，于晓1，牛犇1，刘乐1
(1. 燕山大学 工业计算机控制工程河北省重点实验室，河北 秦皇岛，066004；
2. 国家冷轧板带装备及工艺工程技术研究中心，河北 秦皇岛，066004)
摘要：针对永磁同步电机驱动的连铸结晶器振动系统对电机速度的高精度要求，提出一种自适应模糊终端滑模速度跟踪控制方法。采用非奇异终端滑模，并结合趋近律设计速度控制器，不仅提高系统的收敛速度，而且避免传统终端滑模存在的奇异与抖振问题；考虑到负载转矩时变的情况，为增强系统抗负载扰动的能力，同时为消除控制律中的二阶导数项，运用自适应模糊算法对二阶导数项和含有负载转矩的未知函数进行估计。通过Lyapunov稳定性理论证明系统的稳定性。最后的仿真结果表明：该控制方法能够在负载干扰下实现快速准确的速度跟踪控制，控制量的抖振也得到抑制，系统对负载扰动具有较强的鲁棒性。
关键词：永磁同步电机；速度控制；终端滑模；趋近律；自适应模糊控制
中图分类号：TP273 文献标志码：A 文章编号：1672-7207(2013)12-4855-06
Speed control with adaptive fuzzy terminal sliding mode for permanent magnet synchronous motor
FANG Yiming1, 2, YU Xiao1, NIU Ben1, LIU Le1
(1. Key Laboratory of Industrial Computer Control Engineering of Hebei Province,Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China;
2. National Engineering Research Center for Equipment and Technology of Cold Strip Rolling, Qinhuangdao 066004, China)
Abstract: In the system of continuous casting mold oscillation driven by PMSM, the method of adaptive fuzzy terminal sliding mode control was proposed for the high precision requirement of motor speed tracking control. The speed controller was designed by using the non-singular terminal sliding mode and reaching law. And the proposed scheme can not only improve convergence rate, but also eliminate the problem of singular and chattering which exist in the traditional terminal sliding mode. In view of time-varying load torque, adaptive fuzzy algorithm was used to approximate second-order derivative term and unknown function with load torque, which can eliminate second-order derivative term in the control law and improve the ability of system to resist load disturbance. And the stability of system was also proved by the lyapunov stability theory. Finally, the simulation results show that this control method can achieve quick and accurate speed control with load disturbance, the chattering of control output is effectively attenuated, and the system has strong robustness for the load disturbance.
Key words: permanent magnet synchronous motor; speed control; terminal sliding mode; reaching law; adaptive fuzzy
永磁同步电机(PMSM)由于结构紧凑、体积小、质量轻、高功率密度、低转子损耗等优良特性而被广泛应用到各种工业场合。但是，永磁同步电机是一个非线性、强耦合的系统，在实际运行中还存在着参数摄动、负载干扰等不确定性，所以常规的PI控制已经难以满足高性能控制的要求。随着现代控制理论的发展，越来越多的新控制理论被应用到永磁同步电机的控制中，如神经网络控制[1]、模糊控制[2]、自适应控制[3]等。其中，滑模控制因其对参数变化和外部扰动具有强鲁棒性，而日益成为学者们研究的热点[4-11]。近年来，国内外学者就滑模控制在PMSM中的应用进行了大量研究，并取得了许多研究成果[4-6]。贾洪平等[4]将基于趋近律的滑模控制应用到永磁同步电机直接转矩控制中，有效地改善了系统的动、静态运行性能。汪海波等[5]结合趋近律法设计了变参数滑模控制方法并应用到永磁同步电机调速系统中，解决了一般滑模控制中控制量的求取需整定多个参数范围带来的复杂性问题，提高系统的快速性和鲁棒性；陈振等[6]将积分时变滑模引入到永磁同步电机的速度控制器设计中，增强了系统的抗干扰能力。但是，在上述滑模控制下系统的状态在无限时间后到达平衡点，想要获得较快的收敛速度需要增大切换增益，而大的切换增益又会造成严重的抖振。为了解决收敛时间问题，Man等[7]提出了终端滑模控制，它能够使系统状态在有限时间内到达平衡点，但存在奇异问题。Feng等[8]提出的非奇异终端滑模控制从根本上解决了传统终端滑模存在的奇异问题。但运用以上2种终端滑模设计的控制律仍然存在严重的抖振。针对以上问题，Yu等[9]提出了一种连续非奇异终端滑模控制，不仅消除了奇异问题，而且设计的控制律对时间连续，避免了控制的抖振问题。本文作者针对永磁同步电机驱动的连铸结晶器振动系统中的电机速度控制[12]，提出了一种自适应模糊终端滑模控制方法。运用Yu等[9]所提出的终端滑模进行速度控制器的设计；考虑到永磁同步电机驱动连铸结晶器振动中其负载转矩是不断变化的，为了增强系统的鲁棒性，同时为了消除控制律中的二阶导数项，运用自适应模糊算法[13-14]对控制量中二阶导数项和含负载转矩的未知函数进行逼近。通过Lyapunov稳定性理论进行了稳定性分析。最后对PMSM速度控制系统进行了对比仿真研究，通过实验结果的比较，进一步验证了所提方法的有效性。
1 PMSM数学模型
永磁同步电机在两相旋转坐标系(d-q)下的数学模型[5]：
(1)
式中：ud和uq分别为定子电压d和q轴分量；id和iq分别为定子电流d和q轴分量；L为定子绕组等效电感；ψf为转子永磁体产生的磁链；Rs为定子电阻；p为极对数；J为转子转动惯量；B为黏性摩擦因数；TL为负载转矩；ω为转子的角速度。
永磁同步电机在实际驱动连铸结晶器振动中，它的机械负载是不断变化的，所以数学模型中的负载转矩TL是一个未知的函数。
下面将根据永磁同步电机的数学模型，运用终端滑模进行速度控制器的设计，并采用自适应模糊算法对二阶导数项和含有负载转矩的未知函数进行估计。
2 PMSM自适应模糊终端滑模速度控制器设计
2.1 连续非奇异终端滑模
根据文献[9]有非奇异终端滑模面：
(2)
式中：β＞0，1＜γ＜2。式(2)是连续可微的，对其求导可得：
(3)
假设系统的初始状态为x(0)=x0，则状态x将在有限时间内收敛到零，收敛时间为：
(4)
为了实现连续的终端滑模控制，选取快速终端滑模趋近律：
(5)
其中：1＜ρ＜1，k1，k2＞0。
2.2 PMSM终端滑模速度控制器设计
电机速度系统被控对象的表达式为：
(6)
设速度给定信号为ω*，定义速度误差为e=ω*-ω，则由式(6)可得速度误差系统：
(7)
根据前文所提负载转矩TL是时变的，假设其可导，则：
(8)
令x=e，通过选取滑模面(2)，趋近律(5)，根据式(3)和式(8)可得速度控制器的控制律：
(9)
定理1 对于PMSM速度系统(6)，选取滑模面(2)，趋近律(5)，设计控制律(9)，则系统是全局有限时间收敛的。
注1[9] 假定Lyapunov函数V(x)满足不等式：
(10)
其中：δ＞0，
＞0，0＜λ＜1，则系统是全局有限时间收敛的。若初始状态是x0，则其收敛到零的时间为：
(11)
证明：选取Lyapunov函数为
对V1求导得：
其中：
，
。
由式(10)可知系统是全局有限时间收敛的，收敛时间是：
。
2.3 自适应模糊估计
在永磁同步电机驱动连铸结晶器振动中，负载转矩TL是不断变化的，且很难获得，因此
是一个未知的函数；同时为了消除二阶导数项
，简化控制律，运用自适应模糊逻辑系统对进行逼近。
采用如下模糊规则库：
Rj：若x1为
，…，xn为
，则y为Gj
其中：Rj表示第j个模糊规则；j=1，2，…，k是模糊规则数；和Gj是定义的模糊语言值。含有一元模糊化、乘积推理、加权平均反模糊化及隶属函数为高斯函数的模糊系统可以表达为：
(12)
其中：
为可调参数向量；
为模糊基函数向量，
，
为高斯隶属度函数，
，Dx为紧凸集，i=1，2，…，n。
根据万能逼近理论[15]，利用模糊逻辑系统
逼近σ：
(13)
定义
的最优模糊参数向量为：
(14)
所以的最优模糊系统为
，则最小逼近误差为：
(15)
式中：|ε|＜η，η为正数。
考虑到逼近误差和外部干扰的影响，设计非线性补偿项：
(16)
其中：
为η估计值。
对
和η进行自适应估计，自适应律为：
，
(17)
式中：μ1和μ2为正数。
PMSM速度控制器的最终控制律为：
(18)
定理2 对于PMSM速度系统(6)，选取滑模面(2)，趋近律(5)，设计控制律(18)，则系统是全局有限时间收敛的。
证明：选取Lyapunov函数：
(19)
式中：
；
为估计误差。
对其求导，可得：
其中：，。由式(10)可知系统是全局有限时间收敛的。
3 仿真研究
为了验证本文所提算法的有效性，对永磁同步电机速度矢量控制系统进行仿真研究。本文对于永磁同步电机的仿真系统采用的是速度和电流双闭环控制，其中电流环均采用普通的PI控制，速度环分别采用本文所提方法—自适应模糊终端滑模控制、方法2—连续非奇异终端滑模控制和方法3—普通的PI控制。其中，方法2是文献[9]所提出的算法。在不考虑负载转矩时变的情况下运用方法2设计控制律为：
(20)
其中：
；
。
根据文献[12]可知：伺服电机驱动连铸结晶器非正弦/正弦振动时，电机的期望角速度曲线为：
，式中：i为减速器的传动比；
，其中f为连铸结晶器的振动频率，取值范围为0~300次/min；
，其中α为连铸结晶器振动的波形偏斜率，取值范围为-0.4~0.4。
永磁同步电机的参数为：Rs=2.875 Ω，L=0.033 mH，p=3，B=0.002，J=0.011 kg/m2，ψf=0.8 Wb，
。交轴电流限幅为Iqmax=7 A。
模糊逻辑系统采用如下的隶属度函数：
式中：i=1；j=1，2，…，7；[c1，c2，c3，c4，c5，c6，c7]= 
。
本文所设计的控制器的参数为：γ=1.000 1，ρ=0.6，k1=276，k2=900，β=0.006 708，μ1=3 000，μ2=1.8；连续非奇异终端滑模控制器的参数为：γ1=1.08，ρ1=0.5，k11=287，k21=1 000，β1=0.006 9； PI控制器的参数为：kp=15，ki=4.3。
本文分以下2种情况进行仿真：
连铸结晶器非正弦振动时，i=5，f=130，α=0.24，A=0.4，期望的电机角速度为：ω(t)=68.03×[1- 0.4cos(13.61t) rad/s]，电机按给定的正弦信号转动。仿真曲线如图1和2所示，其中ω为期望角速度曲线，ω1，ω2和ω3表示角速度的跟踪曲线；iq1，iq2和iq3表示速度控制器的输出曲线；下标1，2和3分别表示本文方法、方法2和方法3的结果。
图1 本文所提方法与方法2在正弦信号下的响应曲线
Fig. 1 Response curve of proposed algorithm and method 2 for periodic sinusoidal command
图2 本文所提方法与方法3在正弦信号下的响应曲线
Fig. 2 Response curve of proposed algorithm and method 3 for periodic sinusoidal command
(2) 连铸结晶器正弦振动时，i=5，f=130，α=0，A=0，期望的电机角速度为：ω(t)=68.03 rad/s，电机按给定的阶跃信号转动。仿真曲线如图3和4所示。
从图1(a)和图3(a)可以看出：在负载扰动存在的情况下，无论电机给定信号是时变的还是恒定的，相比连续非奇异终端滑模控制，本文所提方法收敛速度更快且无超调，系统具有更好的动静态特性；从图1(b)和图3(b)可以看出：本文所提方法的控制器输出曲线相对比较平滑。由此可以说明本文方法中的自适应模糊估计对负载扰动起到了良好的补偿作用，提高了系统抗负载扰动的能力。
从图2(a)和图4(a)可以看出：无论电机给定信号是时变的还是恒定的，本文所提方法在负载扰动情况下相比较普通PI控制也具有更快的收敛速度；另外，从图2(b)和图4(b)可以看出：本文所提方法的控制器输出曲线的波动也相对较小，并且具有较低的电流幅值，进一步验证了所设计的控制器对负载扰动具有较强的鲁棒性。
另外，从图1(b)~图4(b)中的iq1仿真曲线可以看出，本文方法设计的控制器的输出平滑无抖振。
图3 本文所提方法与方法2在阶跃信号下的响应曲线
Fig. 3 Response curve of proposed algorithm and method 2 for step command
图4 本文所提方法与方法3在阶跃信号下的响应曲线
Fig. 4 Response curve of proposed algorithm and method 3 for step command
4 结论
(1) 运用终端滑模进行速度控制器的设计，提高了系统的收敛速度，能够很好的抑制滑模控制存在的固有抖振现象，使系统具有良好的动静态特性。
(2) 将自适应模糊算法用来处理控制律中的二阶导数项和负载转矩时变引起的不确定性，既避免了控制器中二阶导数项的存在，也增强了系统对负载扰动的鲁棒性，使系统在负载干扰下仍然能够快速准确的跟踪给定信号。
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(编辑 陈爱华)
收稿日期：2013-03-16；修回日期：2013-06-13
基金项目：国家自然科学基金委员会与宝钢集团有限公司联合资助项目(U1260203)；河北省自然科学基金钢铁联合研究基金资助项目(F2013203291)
通信作者：方一鸣(1965-)，男，江苏无锡人，教授，博士生导师，从事自适应鲁棒控制理论与应用、冶金自动化等方向的研究；电话：0335-8057041；E-mail：fyming@ysu.edu.cn
