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在一维空间中, 只有x方向的电场和y方向的磁场及与之相互垂直的电场和磁场构成的在z方向的电磁波的传输, 如图3-8所示.介质参数与场量均与x, y无关, 即/x=0, /y=0, 此时麦克斯韦方程可以简化为 图3-8 一维情况下的电磁波 方程式(3.46), 式(3.47)的FDTD离散形式为: 式中 一维情形Ex, Hy分量空间节点取样如图3-9所示. 图3-9 一维情况下的电磁波维情形Ex, Hy分量空间节点取样......
先考察场随时间变化时离散对时间间隔Δt的要求.麦克斯韦方程是场量对于时间一阶导数的一个方程组.考虑时谐场情形, 即 f(x, y, z, t)=f0exp(iωt) (3.50) 这一稳态解是下面一阶微分方程的解: 用差分近似代替上式左端的一阶导数, 上面方程变为 式中fn=f(x, y, z, nΔt), Δt为时间间隔, 当Δt足够小时, 定义数值增长因子q为......
波动方程的一般式为 同样, 差分近似后将平面波解代入, 上式变为 上式是FDTD中的数值色散关系的一般形式.它表明FDTD计算中波的传播速度与传播方向有关, 这是离散后所引起的各向异性特性. 为了进一步讨论, 设波矢量k=k(sinθcosφ, sinθsinφ, cosθ), 即 上式中(θ, φ)为球坐标下的方位角.假设Δt的选取已经满足式(3.82), 因而有 注意到k=ω/vφ=2π/λ, 上式重写为 为了便于图示, 我们考虑二维情况, 并设Δx=Δy=δ, 于是上式变为 上式表明相速与平面波传播方向有关.图3-10给出了以λ/δ为参变量时相速与光......
时域有限单元法是在Maxwell偏微分方程或其导出的二阶矢量波动方程的基础上, 在空间上进行有限元离散插值, 时间上进行差分近似, 利用伽辽金法或里兹法来实现边值问题求解的一种电磁数值方法, 主要包括以下几个步骤[144-145]: (1)将求解区域进行离散化, 即将求解区域划分成有限单元, 单元的类型根据具体求解问题来确定, 常见的有三角形单元, 四面体单元等; (2)选择合适的插值函数, 根据求解精度的要求和单元类型的选择来确定插值函数, 常用的有节点基函数, 棱边基函数等; (3)计算单元的质量矩阵, 阻尼矩阵和刚度矩阵, 推导有限元e的单元质量矩阵Me, 单元阻尼矩阵Ce和......
我们编制了一维时域有限元程序, 并用一个例子验证上述中心差分算法的数值稳定性条件的正确性. 设计算区域为2 m的真空, 两端截断边界为一阶ABC吸收边界, 单元长度Δx=0.01 m.波源位于中心点, 采用中心频率为900 MHz雷克子波面电流辐射.根据式(5.54)数值稳定性条件计算的最大时间步长为0.019245 ns, 分别采用0.01924 ns和0.01925 ns对该模型进行计算, 其计算结果如图5-8所示: 图5-8 面电流辐射中心差分结果 选择与上述参数相同的剖分参数, 天线主频, 改用Newmark-β法, 并选用时间步长为0.02 ns, 计算得到如图......
在所有的GPR正演算法中, FDTD算法无疑是应用最广泛, 最为成熟的算法, 但FDTD算法也有自身的缺陷: 受CFL稳定性条件的限制, 不能与非结构化网格结合, 时间与空间离散常采用中心差分法, 计算精度有限.为了进一步提高GPR的正演精度, 将有限单元法(FEM)引入到时域GPR正演模拟中. ......
这里采用一个简单的例子, 验证我们编制的双线性插值四边形单元FETD程序的正确性.模拟区域大小为10 m×10 m, 网格最大边长为0.05 m.模拟区域介质属性εr=3.5, μr=1, σ=1 mS/m.激励源为主频100 MHz的雷克子波, 其位置处于模拟区域正中心.时间步长为0.1 ns, 不同时间步的Ez波场如图6-8所示. 图6-8 四边形单元FETD模拟下不同时刻Ez波场 代码6-5二维FETD仿真(四边形单元) FETD_2D_ABC_QUAD 1%文件描述: 二维FETD仿真(四边形单元), 一阶ABC边界, Newmark法 2%激励描述: 雷克子波 ......
这里采用一个简单的例子, 验证我们编制的基于矩形块单元矢量有限元VFETD 3D程序的正确性.模拟区域大小为0.5 m×0.5 m×0.5 m, 网格最大边长为0.01 m.模拟区域介质属性εr=5, μr=1, σ=1 mS/m.激励源为主频900 MHz 的布莱克曼-哈里斯脉冲, 其位置处于模拟区域正中心, 激励源加载在Ex处.时间步长0.01 ns, 不同时间步的Ex如图6-17所示. 图6-17 矢量有限元模拟下不同时刻Ex波场 代码6-10三维VFETD仿真(矩形块单元)VFETD_3D_ABC 1%文件描述: 三维VFETD仿真(矩形块单元矢量有限元), 一阶A......
对于二维标准电磁波标量波动方程, 频率域形式为: Chew & Weedon[159] 提出PML也表示为在拉伸的坐标系中呈现具有复数度量的张量系数.拉伸坐标空间中的偏导数表示为: 根据Berenger PML公式 根据文献[160]可知 式中, εr为背景介质的相对介电常数, μr为背景介质的相对磁导率, , 为真空中的波阻抗, d为PML区域的厚度, m为多项式分布的阶数, R是理论反射系数.因此PML中的电导率σx 可以用下式计算 式中, xl和xr为计算区域x方向的左右边界. 在PML区域, 复数伸展坐标下的波动方程为 将式(6.16......
对于二维TM波(Ez, Hx, Hy), 有如下形式: 式中si=κi+σi/jωε0, i=x, y.将上式关于CFS-PML的变量展开有: 可根据表6-13的时频关系将式(6.178)从频率域变换到时域: 表6-13 时频函数对应关系 式中: 将式(6.183)至式(6.185)代入式(6.182), 进一步展开得: 式中: .表示单位阶跃函数.式中的卷积可以通过递归求值, 而不需要在每一时间步存储场值. 对式(6.186)采用Galerkin法推导得到二维TM情况下的CPML边界的FETD波动方程. 式中, ......
