基于积分法的铝合金厚板深度残余应力分析

廖凯^{1, 2}，吴运新¹，龚海¹

(1. 中南大学 机电工程学院，湖南 长沙，410083；

2. 桂林电子科技大学 教学实践部，广西 桂林 541003)

摘  要：运用第一类线性积分形式建立剥除层残余应力与试样变形之间的关系；通过变形反求应力，还原厚板内部连续的应力变化，推导应力求解积分形式；进行层削法和裂纹柔度法测试实验，比较这2种方法的测试结果的异同。研究结果表明：运用积分法求解得到的残余应力场能较准确地反映厚板内部应力分布特点；积分中核函数决定力学方法解的特征，采用层削法所得结果反映了厚板剥除层内平均应力，采用裂纹柔度法所得结果则反映裂纹处应力的平均值，这2种方法都能较准确地反映厚板内部应力特征。

关键词：积分法；层削法；裂纹柔度法；残余应力

中图分类号：TG146.2          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2010)01-0179-05

Analysis of measuring residual stress depth profiling in aluminum alloy thick plate using integral method

LIAO Kai^{1, 2}, WU Yun-xin¹, GONG Hai¹

(1. School of Mechanical and Electronical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China;

2. Practice and Experiment Station, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541003, China)

Abstract: Relationship between deformation in plate and residual stress in removal layer was established by using the first kind of linear integral, in which deformation inverse determined continuous stress profile through-depth in aluminum alloy thick plate. With removal layer methods and crack compliance method applied in experiment, the difference of the both methods was compared. The results show that the solution of integral method presents distribution character of residual stress in thick plate, and accords with theory analysis. The kernel function of integral controls the feature of experimental methods, i.e., solution of the removal layer method reflects the average stress in removal layers and solution of the crack compliance method reflects the average stress in crack location, therefore, both the methods describing the character of inner stress in plates are comparatively accurate.

Key words: integral method; removal layer method; crack compliance method; residual stress

测试金属表面残余应力的方法有多种，应用广泛的有钻孔法、X线衍射法^[1-2]等。在对金属内部残余应力进行测试的方法中，无损检测技术有中子衍射方法，但这种方法所要求的实验硬件条件在国内还无法实现，因此，在金属内部特别是在板材内部，残余应力的检测均为有损检测，其中层削法和裂纹柔度法最常用^[3-4]。1931年St?blein等采用层剥法对直梁内应力进行了测定^[5]，并推导了应用于方板上的数学模型。而裂纹柔度法是一种较新被研究和应用的测试方法。一些研究者结合有限元法简化了应力因子的计算，用常规方法检测残余应力，如Prime等^[6-9] 利用有限元法计算裂纹柔度系数，推广了裂纹柔度测试级数，并认为所有这类应力有损检测方法的数学模型都可以用第一类Volterra积分来描述并求解。国内王树宏等^[10-13]运用上述求解方法对铝合金厚板全厚度残余应力进行了测试研究。在层削测试方法^[11]的基础上采用一种具有离散法性质的计算方法，这种算法对复杂应力状况缺乏稳定的连续描述能力。为此，本文作者将线性积分形式在层削法和裂纹柔度法数学模型中的应用进行归纳和总结，分析这2种测试方法的建模过程和计算特点，并结合实验，对这2种测试方法的计算结果进行比较和分析。

1  积分法

由于机械加工和采用热处理工艺，铝合金材料不可避免地产生内部残余应力^[14]。残余应力是一种产生于材料内部的自平衡弹性力，测试厚板残余应力的力学方法一般为：沿厚度方向，按一定增量步长(厚度)，通过机械方法剥除或破坏带有应力的厚度层，从而使相邻试件因力平衡状态的改变而变形，用测得的变形反求出剥除层应力。在测试中，由于是用某一点的应变衡量整个厚板的变形，样本的变形量与剥除层待求应力所依据的实体分离，测定并不在同一个区域或同一个点，因此，无法直接通过变形来反求应力。求解方法可用积分法。Schajer等^[15]通过对有损测试方法研究后提出：第一类Volterra积分形式描述这种应力-应变的关系非常有效，即试件剥除后的变形量是剥除层应力与变形对应力敏感函数(核函数)在剥除厚度上的积分。这类求解方法称为积分法，该法用离散实验数据求解得到1条连续变化的应力场分布曲线，其方  程为：

式中：t为剥除层厚度；σ(H)是板厚为H时的初始应力；ε(t)为实测应变；f(H,t)为变形对板厚H处应力的敏感函数即核函数。

1.1  层削法(Removal layer method)

由轧制-淬火厚板热应力形成的对称性特点可知，厚板应力为平面应力，为简化分析，设沿板材厚度z向的残余应力为0，且对称于厚度中性面，σ_z=0，σ_x=σ_x(z)，σ_y=σ_y(z)，1/2厚板切削过程示意图如图1所示。测量时，应变片贴于厚板中心处。

图1  试件层削法力学模型

Fig.1  Mechanical model of removal layer method

式中：v为泊松比。以x向应变为例，残余应力分布力和力矩平衡条件为：

其中：H为板厚。在剥除层深度为t时，应力平衡条件改变，附加力和附加力矩产生的附加应力σ_Fx(t)和σ_Mx(t)与初始应力σ_x(z)叠加，构成新的平衡状态，满足：

由剥除层后附加力和附加弯矩产生变形的实测应变为：

式中：E为弹性模量。则应力-应变积分形式为：­

假设待求残余应力为多项式P，求解出待定系数A_i和B_i即可。

联立式(6)~(7)可以求解待定系数^[16]。假设对式(6)~(7)都以相同阶次多项式近似，则

其中：。待定系数的个数2n小于层削次数，采用最小二乘法求解系数。从式(8)可以看出：当i=1时，A₁和B₁无法求解，可通过力平衡方程反求获得。王树宏等^[10]提出的改进离散型算法，其前提是假设剥除层应力是一个常数，运用叠加原理一一求解对应变形的应力，此法并不是积分法。与积分法获得的残余应力函数不同，该方法求取的是离散应力，需要对数据曲线进行拟合来描述板内应力。但在实践中可以简化计算难度，这对对称光滑的应力场求解很方便。

1.2  裂纹柔度法(Crack compliance method)

该法是在被测物表面引入1条逐渐深入的裂纹，使裂纹处残余应力释放，通过测量裂缝对面处的应变计算残余应力。测试力学方法如图2所示。由于该法既可测试表面应力，也可测试深度方向应力，因此，应变片可以根据需要在不同的地方布置，对深度应力的描述要求应变片贴在板的底面上且底面和裂纹的交点处。此点对残余正应力的响应最大，对残余剪切应力的响应为0。而测试表面应力时，可将片贴在靠近裂纹的上表面处。

图2  试件裂纹柔度法力学模型

Fig.2  Mechanical model of crack compliance method

试件内正应力在裂纹作用下，在距离裂纹s的应变片处产生水平位移u。假设在该位移处有一虚拟力F，可作为沿宽度方向归一化处理的点载荷，则由裂纹产生的应变能为：

其中：和为分别由正应力和虚拟力引起的Ⅰ型应力因子。运用卡氏定理，上表面断裂处水平位移为：

     (10)

Cheng等^[17]给出了求解Ⅰ型应力因子的方法，其中由虚拟点载荷F引起的正应力与位置函数 S(s, z)有关。当求裂纹正下方处的应变时，只需要将S(s, z)替换为S(s, H-z)，并令s=0即可。

      (11)

初始残余应力沿厚度方向应该是对称的且分布曲线光滑，因此，可以用多项式代替应力形式(如式(10))：

       (12)

其中：C_i为裂纹柔度函数。可以结合有限元和矩阵   法^[8]确定柔度矩阵和待定系数。柔度矩阵中的元素是对于深度为t_j的切口处，由假设的多项式函数P_i(x)所导致的应变。由于待定系数(多项式阶次+1)小于切割次数，因此，联立式(12)，运用LSF求解待定系数A_i。

          (13)

联立式(15)和(16)求解得：

       (14)

式中：为有限元模拟中每一次切深在切口对面处产生的应变；为实测应变。

2  实验与分析

从理论建模和实验结果分析可知：由于获得变形的方法以及运用的理论基础存在差异，采用层削法和裂纹柔度法测试残余应力并非都可以得到满意的结果，测试结果存在差异。

2.1  实验方法

为验证上述2种测试方法在不同应力厚板测试中的测试效果及差异性，实验选用7075轧制厚板，热处理工艺为：固溶480 ℃×2 h，20 ℃水淬+24 h自然时效。测试分2组：

(1) 非均匀应力场测试。用长×宽×高为160  mm×160 mm×32 mm的厚板2块，直接于20 ℃水浴淬火。由于受淬火边缘效应的影响，待测厚板在同一深度上平面应力分布不均匀程度和应力较大。

(2) 均匀应力场测试。先将长×宽×高为1 200 mm×220 mm×32 mm的实验厚板用喷水(20 ℃)淬火，残余应力与前者相比较低；再从厚板中部截取   长×宽×高为120 mm×120 mm×32 mm厚板2块，以保证应力在轧制方向和横向比较均匀。对每一组分别进行层削法和裂纹柔度测试实验，在层削法实验中，在LEADWELL V-60A数控加工中心进行铣削。为减小加工应力的影响，铣刀转速为1 000 r/min，进给速度为50 mm/min^[18]。裂纹柔度法时，裂纹引入型号为DK系列线切割机，进给速度为3 mm/min，频率为85 Hz。

非均匀板由于受边缘和二维表面淬火影响，应力沿平面2个方向分布极不均匀，极易形成非均匀应力场，而均匀板由于取自大尺寸板心部，根据圣维南原理，应力沿平面2个方向分布较均匀。为了便于比较，在不影响实验真实性前提下，根据假设，对实验数据沿板厚进行对称化处理。

2.2  结果分析

在力学建模的假设条件中，残余应力沿厚度方向变化，在其他2个方向均匀不变。但无论是均匀板还是非均匀板，平面应力在各个方向上分布都不可能均匀。例如在某一层上，在轧制方向和横向上应力不均匀程度不同。图3(a)所示为非均匀应力厚板在2种测试方法下得到的应力分布曲线，其中2条曲线显示了相同的演变规律，即淬火厚板常见的“外压内拉”分布。比较图3(a)中的2条曲线可以发现：它们的不同之处体现在应力不同，用层削法计算的应力为-180~98 MPa，其范围明显大于裂纹柔度法计算所得的-102~80 MPa；而相同的特征则反映在两者计算结果于厚板中心区域所反映出来的应力梯度变化都很小，这也反映了不同积分计算方法具有相似性。图3(b)所示为均匀应力厚板在2种测试方法下的应力分布曲线，2条曲线吻合程度提高，说明在一定条件下，2种独立的力学测试方法都能描述厚板内应力，具有一定的互换性。

1—层剥法；2—裂纹柔度法

(a) 非均匀板应力测试曲线；(b) 均匀板应力测试曲线

图3  层削法与裂纹柔度法测试结果对比

Fig.3  Comparison of solution between removal layer method and crack compliance method

通过比较测试结果发现：在厚板表面和中心部位应力计算结果存在差异，这种差异可从计算方法和实验综合考虑。除了铣削加工应力远大于电火花加工应力而导致误差外，由于层削法是用若干点的应变平均值这个单一变量描述整个厚板变形程度和状态，而获得的却是剥除层内平均应力，这不可避免地使计算值与真实值偏离；而裂纹柔度法所得应力反映了裂纹处应力的平均值，断裂变形测试受不均匀变形的影响小，用测得的应变反映断裂程度较符合客观现象。因此，前者的实验测试误差大于后者。

此外，这2种方法的力学模型都是建立在忽略了材料各向异性特点、假设材料均匀连续的经典弹性和线弹性断裂力学基础上，与实际情况相比存在差异，这也给计算结果带来了误差。

在求解过程中，由于铣削次数远少于裂纹引入次数，求解线性方程借助最小二乘法处理的多项式系数的阶次就少，因此，表征应力曲线的准确度与后者相比较低，其抗干扰能力弱。

采用层削法时，1次切削深度为2 mm左右，求解结果是整个剥除层的平均应力，并不是某一确切位置上的应力；而采用裂纹柔度法时，虽然可以1次切深0.5~1.0 mm，但受表面复杂应力和板件自重的影响，靠近表面的应力都会出现较大波动，需要进行数学处理。因此，采用这2种方法得到的应力分布曲线都不能准确地反映厚板表面应力，甚至与X线表面应力测试所得的应力不同，而用于描述厚板沿厚度应力场分布非常有效。这是积分法力学测试的特点之一。

3  结论

(1) 积分法适用于厚板残余应力测试方法的数学计算，如层削法、裂纹柔度法、钻孔法等。通常这类通过力学破坏而获得变形，从而反求应力的计算方法，几乎都可以运用积分法建立变形与应力之间的数学 关系。

(2) 层削法可用来描述厚板沿厚度方向的平均残余应力分布，属于应力全部释放型测试方法；裂纹柔度法则用于描述裂纹处沿厚度方向平均残余应力分布，属于应力局部释放型测试方法，这对于描述厚板内部残余应力特征有重要的意义。对内部应力均匀的试件，这2种测试方法所得结果很相近，然而，对不均匀试件的测试结果存在差别。

(3) 虽然厚板深度残余应力的测试和计算方法还需要不断完善、发展，但在现有实验条件下，采用以上2种测试方法从不同角度对厚板内应力场进行描述，仍然是目前评估厚板残余应力的有效方法。

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收稿日期：2008-11-11；修回日期：2009-03-05

基金项目：国家重点基础研究发展计划项目(2005CB623708)

通信作者：吴运新(1964-)，男，广东兴宁人，教授，博士研究生，从事铝材制备残余应力削减、结构动力学建模、智能故障诊断研究；电话：0731-88877840；E-mail: wayunxin@mail.csu.edu.cn

(编辑 陈灿华)