DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2016.09.028

应力旋转条件下软黏土非共轴角计算方法

严佳佳¹，林清辉²，傅了一¹

(1. 浙江大学 滨海和城市岩土工程研究中心，浙江 杭州，310058；

2. 台州职业技术学院 建筑工程学院，浙江 台州，318000)

摘要：基于空心圆柱扭剪仪对软黏土开展主应力纯旋转、往复旋转及旋转同时增加剪应力这3类典型应力旋转路径下的不排水试验，重点分析应力旋转引起的应变增量方向的变化规律及其影响因素。研究结果表明：3类应力旋转路径引起的应变增量方向与主应力方向之间存在显著的非共轴现象；随着主应力轴的连续旋转，非共轴角基本以90°为周期波动变化，当旋转方向反向时，应变增量方向也跟随突变，应力旋转同时增加剪应力，非共轴角有减小的趋势；剪应力水平、应力旋转方向及应力路径对非共轴角的变化规律影响较显著，中主应力系数对非共轴角的影响则很小。基于Gutierrze提出的应力映射方法建立的非共轴角计算方法能较好地模拟应力旋转路径下软黏土非共轴角的变化规律，并能反映剪应力水平、应力旋转方向及应力路径的影响。

关键词：应力轴旋转；软黏土；应变；非共轴

中图分类号：TU443          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2016)09-3117-08

Calculation of non-coaxial angle of soft clay under stress rotation

YAN Jiajia¹, LIN Qinghui², FU Liaoyi¹

(1. Research Center of Coastal and Urban Geotechnical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China;

2. Department of Architecture, Taizhou Vocational & Technical College, Taizhou 318000, China)

Abstract: Three typical series of stress rotation path tests of soft clay with pure principal stress rotation, cyclic principal stress rotation and principal stress rotation combined with shearing were carried out on intact clay using a hollow cylinder apparatus in undrained condition. The direction of the strain increment induced by the principal stress rotation as well as the influence factors were studied in particular. The results show that the obvious deviation between the directions of principal strain increment (non-coaxial) and principal stress is observed in the three series of stress rotation path tests. The non-coaxial angle varies with principal stress rotation with a period of 90°, and the direction of the strain increment changes with the reverse of the principal stress rotation direction. The non-coaxial angle decreases with the increase of shear stress combined with stress rotation. The direction of stress rotation, path and shear stress level have significant impact on the non-coaxial behavior of soft clay, while the influence of the intermediate principal stress parameter is unobvious. The comparison between the calculation and test results indicates that the calculation of non-coaxial angle under stress rotation based on the stress mapping method proposed by Gutierrze can seize the non-coaxial behavior of soft clay subjected to principal stress rotation, and it also can reflect the influence of stress rotation direction, path and shear stress level.

Key words: principal stress rotation; soft clay; strain; non-coaxial

应力方向旋转是岩土工程中普遍存在的一种典型应力路径。在经典塑性理论中基于金属材料的塑性特性，圣维南提出了材料塑性应变增量方向与当前应力方向一致的假设，即圣维南假设。但在很多条件下该假设对岩土材料并不成立。已有大量的试验结果都表明土体塑性应变增量方向与应力方向存在不一致的现象，尤其在主应力轴旋转等复杂非比例加载应力路径条件下主应力和主应变增量方向存在显著的偏差^[1-11]，土体塑性应变增量方向一般介于应力方向和应力增量方向之间。土体材料的共轴性假设一般仅在比例加载条件下近似成立。相对于传统的共轴性假设，将土体的这种塑性应变增量方向与应力方向的不一致性定义为土体的非共轴特性。在应力方向旋转路径下，塑性应变增量方向一般介于应力和应力增量方向之间。合理描述应力旋转条件下土体的变形规律，其关键在于确定应力旋转过程中塑性流动方向，即土体的非共轴塑性流动规律。TSUTSUMI等^[12]的分析表明主应力在旋转应力路径下，只有同时考虑非共轴和各向异性特性的本构模型才能较好地模拟试验结果。此外，非共轴对土体变形分叉点的预测也有重要影响^[13]。基于试验研究结果很多研究者从塑性流动理论出发建立了相应的土体非共轴塑性流动模型^[13-18]。RUDNICKI等^[14]最先在Drucker-Prager模型上附加了非共轴塑性应变分量，得到角点屈服非共轴模型，计算结果表明考虑非共轴修正后可以大大促进土体局部化变形失稳。GUTIERREZ等^[2]结合边界面理论的思想给出了一个确定砂土塑性应变增量方向的方法，该方法通过建立塑性应变增量方向与应力和应力增量方向的联系，可以反映土体的非共轴特性，但不能很好地反映非共轴角波动变化的规律。LASHKARI等^[15]也是基于边界面理论，同时考虑各向异性影响提出了砂土的非共轴模型，将塑性应变增量分解为2个正交的分量并考虑两者比值随主应力轴旋转的变化，得到的计算结果与试验结果吻合得更好，但该方法的模型参数较多且不易确定。钱建固等^[16]从理论上证明了塑性应变率的流动法则只是Drucker稳定性公设的充分条件，而不是必要条件，即在非共轴条件下也能满足Drucker公设的条件，认为非共轴特性并不是土体材料所特有的性质，在金属材料中同样也存在。扈萍等^[17]在已有的本构模型中引入非共轴塑性流动理论建立了砂土非共轴模型，将应力增量分解为共轴和非共轴分量，相应的塑性应变增量则与应力增量分量是共轴的。但对于应力纯旋转路径，非共轴角始终为45°。董建国等^[18]基于三维模型的塑性流动特点，提出三维弹塑性模型的非共轴修正项，该模型主要考虑土体的各向异性及非共轴对剪切带形成的影响。在实际工程设计方面，YANG等^[1]的研究结果表明不考虑土体非共轴特性可能会使设计结果偏于不安全。随着考虑主应力轴旋转影响软黏土变形特性试验研究的不断深入，软黏土非共轴变形特性也引起了广大研究者的关注。但从以上的研究结果可以发现：一方面合理确定非共轴角对准确预测应力旋转引起的变形有重要作用，另一方面目前对简单有效的软黏土非共轴角的确定方法的研究还较少。因此，本文作者首先总结3类典型应力旋转路径下软黏土非共轴特性的试验研究结果，再基于边界面理论，根据应力映射法则，对应力旋转路径下软黏土非共轴角确定方法进行研究，以便为考虑主应力轴旋转影响土体本构建立提供研究基础。

1  试验研究

1.1  试验仪器和用土

采用浙江大学ZJU-HCA空心圆柱扭剪仪来实现相应应力路径下的试验。该仪器可以对空心圆柱试样施加独立控制的轴力、扭矩和内、外压力，通过轴力和扭矩的耦合以及内、外压力的变化，实现主应力轴连续旋转等复杂试验应力路径^[19]。其中轴向应力σ_z和扭剪应力τ_zθ分别由轴力和扭矩独立控制，径向应力σ_r和切向应力σ_θ的控制则由内、外压力的变化来实现。关于仪器的具体描述及应力应变分量的计算以及试验数据的可靠性和可重复性等参见文献[19-20]。

试验所用土样为取自杭州某基坑开挖工地的原状黏土，取土深度为地表以下约4 m处。土样天然含水率w=45.0%，相对密度G_s=2.70，密度ρ=1.75 g/cm³，塑限w_L=22.6%，液限w_P=46.0%，塑性指数I_P=23.4。通过专用制样设备将原状黏土试块制备成高度×外 径×内径为200 mm×100 mm×60 mm的空心试样，具体取样及制样方法参见文献[19]。空心试样经反压饱(100 kPa)和后孔压系数B都能达到0.97以上，然后对试样进行固结。

1.2  试验方案和应力路径

对原状黏土开展3类典型应力旋转路径，分别为主应力纯旋转、主应力旋转的同时增加剪应力以及主应力旋转后逆向旋转。试样饱和完成后先在150 kPa有效固结压力下进行等向固结，固结完成后在排水条件下调节各参数(剪应力为q，大主应力方向角为α)到达目标值，并始终保持总应力150 kPa不变，然后在保持p=150 kPa，q=q₀(起始剪应力)条件下调节中主应力系数b到目标值(表1)，最后开展相应应力路径下的应力旋转试验。试验方案见表1，通过该试验方案分析，剪应力水平、中主应力系数及应力旋转方向对应力旋转条件下软黏土非共轴角变化规律的影响。平均主应力；剪应力；中主应力系数；大主应力方向角，其中，，和分别为轴向、径向、环向和扭剪应力。

在应力旋转坐标平面内试样应力路径如图1所示，等向固结完成时，试样应力状态点位于坐标原点，沿方向增加剪应力至旋转起始点时的应力状态点为横坐标上的点如A点。应力点至原点的距离即表示剪应力的大小，应力点与横坐标正向的夹角为2倍大主应力方向角。纯旋转试验PR1~PR5的应力路径为a→b→c→d→a(q=37.5 kPa)，不同b的试验在该平面内的旋转路径是相同的。应力正逆向旋转试验(CR)的应力路径为A→B→A。主应力旋转的同时增加剪应力试验(TR)的路径为F→G。

表1  试验方案设计

Table 1  Test program design

图1  应力路径示意图

Fig. 1  Schematic diagram of stress paths

2  试验研究结果分析

2.1  塑性的应变增量方向

土体的非共轴特性指的是塑性应变增量方向与当前应变增量方向的不一致性，一般采用非共轴角来描述土体变形过程中的非共轴程度。因此，首先需要确定应力旋转引起土体塑性应变增量的方向。应力旋转路径条件下土体应变增量可以表示为

             (1)

式中：，和分别为平均主应力增量、剪应力增量以及应力方向旋转增量引起土体的应变增量。对于纯旋转应力路径，平均主应力p和剪应力q都保持不变，因此，对于主应力纯旋转应力路径，应变由应力旋转效应引起，即

                  (2)

而总应变增量又包含了弹性应变和塑性应变，对于平面主应力旋转路径(2个主应力在垂直第3个主应力的平面内旋转)，参考ZDRAVKOVIC等^[21-22]的研究结果，主应力仅绕某一应力主轴旋转时引起的弹性扭剪应变为

        (3)

式中：G为弹性剪切模量，而其他各应变分量为0，即

  (4)

因此，弹性应变张量为

           (5)

与砂土相比，软黏土的弹性区域很小，从工程实际角度可以忽略弹性应变分量的影响。ZHOU等^[9]采用循环加载的方式确定软土弹性模量的方法分析了弹性应变分量对软土非共轴角的影响，发现其影响主要表现在旋转初期应变较小的阶段，随着应变增加，弹性应变分量的影响基本可以忽略。因此，本文参考CAI等提出的^{[3, 10]}的方法，采用总应变增量代替塑性应变增量来研究软黏土的非共轴特性。主应力旋转引起的主应变增量方向角为

         (6)

式中：，和分别为扭剪应变、轴向应变和环向应变增量。主应变增量方向角与主应力方向角的差值即定义为非共轴角β，其中。非共轴角示意图如图2所示。

图2  非共轴示意图

Fig. 2  Schematic diagram of non-coaxial behavior

2.2  应力旋转路径下软黏土非共轴角变化规律

在3种典型非比例加载应力路径条件下，随主应力旋转原状软黏土应变增量方向角的变化规律如图3所示。

其中图3(a)所示为应力纯旋转路径下，不同中主应力系数和不同剪应力条件下原状软黏土非共轴角随大主应力方向旋转的变化规律。从图3(a)可以看到：主应力旋转1周(180°)的过程中，软黏土非共轴角基本以90°的周期变化，1个周期内非共轴角表现出先减小后增大的变化规律。图中试样PR1~PR5的非共轴角的变化规律基本相同，因此，中主应力系数b对非共轴角的影响不显著。而对比试样PR5和PR6的试验结果，可以发现剪应力水平对非共轴角的影响则相对较大，q=25 kPa(PR6)时非共轴角比q=37.5 kPa(PR5)时的角大。这些试验规律与相同应力路径条件下砂土的试验研究结果^[2-4]基本相同，因此，非共轴角变化规律主要由应力路径决定。

图3(b)所示为应力往复纯旋转路径条件下软黏土非共轴角的变化规律，图中也给出了纯旋转试验PR6 在0~45°阶段非共轴角的变化规律。从图3(b)可以看到：不同试样(PR6和CR)在相同应力路径条件下，非共轴角的变化规律基本一致，这说明试验结果的可重复性。试验结果表明：当应力旋转方向发生逆转时(此时应力增量方向反向(图2))，应变增量的方向也同时发生逆转，非共轴角发生突变。这表明应变增量方向受应力增量方向的影响显著，PRADEL等^[11]对砂土开展的应力探测试验(应力沿不同方向施加1个微小的增量)也发现了相同的规律，即应变增量的方向随应力增量方向的变化而变化。

图3  不同应力旋转路径下非共轴角的变化规律

Fig. 3  Variation of non-coaxial angle under different stress paths

图3(c)所示为应力旋转同时增加剪应力路径条件下原状软黏土非共轴角的变化规律。由图3(a)可见：应力纯旋转时在50°~90°旋转区间内非共轴角随着应力旋转先增加后基本保持不变，而当旋转的同时增加剪应力时，非共轴角则随着应力旋转而逐渐减小。这说明在旋转过程中剪应力的同步增加也会使非共轴角趋于减小，这与CAI等^[3]对砂土进行的试验得到的规律是一致的。

2.3  试验结果总结

由以上不同应力旋转路径下的软黏土非共轴特性试验研究结果可知，在应力方向旋转过程中，软黏土会产生相应的应变，并且应变增量方向介于当前应力和应力增量方向之间，即应变增量方向与应力方向存在显著的非共轴现象。应力旋转条件下软黏土应变非共轴角的变化规律及影响因素可总结为：

1) 随着应力方向的旋转非共轴角呈波动变化的规律，且变化周期为90°左右；

2) 随着剪应力水平的增大，非共轴角有减小的趋势；

3) 中主应力系数对软黏土非共轴角的影响不显著；

4) 应变增量方向随应力增量方向的突变而突变，非共轴角变化规律主要由应力路径的决定；

5) 应力方向旋转的同时增加剪应力使非共轴角趋于减小。

3  应力旋转下软黏土非共轴角计算方法

基于以上试验研究结果的总结和分析，参考GUTIERREZ等^[2]提出的砂土非共轴角计算方法，在边界面理论框架下，对应力旋转条件下原状软黏土非共轴角计算方法进行研究。

3.1  主应力旋转条件下应变增量方向角计算

已有的砂土及本文黏土试验研究的结果都表明主应力旋转引起的土体应变增量方向一般介于应力方向和应力增量方向之间，并同时由当前应力方向和应力增量方向共同决定。BLANC等^[23]的研究结果也表明主应力轴纯旋转条件下应变增量由共轴和非共轴应变机理共同决定。因此，计算非共轴角时需要综合考虑主应力及其增量方向的影响。本节在应力旋转平面内研究应力旋转引起软黏土应变增量方向角的计算方法。

具体确定方法如图4所示，图中的圆和椭圆曲线分别表示偏应力平面内纯旋转应力路径和破坏边界面。对于应力旋转应力路径上旋转至任意点(A)处引起的应变增量方向，可以由A点处应力增量方向与破坏边界面交点B到原点的方向来确定。由破坏边界面上应力映射点B(x，y)与坐标原点连线的方向角2α_dε，即可确定该点处应变增量的方向角α_dε。

图4  应变增量方向确定方法

Fig. 4  Determination of direction of strain increment

首先需要确定破坏边界面上应力映射点(B)的坐标。对于应力旋转路径上任意点(A)，沿着应力增量方向可以将其映射到破坏边界面上(B)。应力旋转平面内主应力轴纯旋转的应力路径方程为(任意旋转应力路径都可以表示为X和Y的函数)：

          (7)

式中：q_d为应力点到原点的距离；α为大主应力方向角。

该应力路径上任意点处的应力增量方向的斜率为

                 (8)

应力增量方向所在直线AB的方程可以表示为

              (9)

应力映射点B(x，y)同时也是破坏边界面上的应力点，其坐标可以通过联立式(7)~(9)，得

            (10)

由以上的分析可知，对于某一应力状态下的软黏土，其破坏边界面是确定的。旋转过程中剪应力的大小决定了应力点与破坏边界面之间的距离。大主应力及其增量的方向决定了应力映射点的位置。因此，本文试验研究得到的软黏土非共轴特性的主要影响因素(剪应力、应力路径、应力旋转方向)都能在该方法中得到体现。

中主应力系数对土体的强度有一定的影响，故中主应力系数的影响体现在破坏边界面的位置不同。由于目前尚缺少这方面的试验数据，还不能在破坏边界面方程中体现中主应力的影响，因此，该方法目前还不能考虑中主应力系数对非共轴角的影响。

3.2  应力旋转平面内软黏土破坏边界面

应力旋转路径一般通过对空心试样施加耦合的轴力和扭矩实现，其受力状态与三轴试验不同，应力在与径向应力垂直的平面内旋转。沈扬等^[19-20]采用空心圆柱扭剪仪对杭州原状黏土开展了b=0.50时沿不同大主应力方向的不排水定向剪切试验，对杭州软黏土的破坏规律进行研究。本文根据他们的试验结果，将广义剪应变ε_q=8%或峰值剪应力处的剪应力定义为破坏应力，将破坏点处的应力值绘于偏应力坐标平面内，如图5所示。对试验点的拟合可以得到应力旋转平面内破坏边界面方程为

       (11)

式(11)表示为1条椭圆曲线。式中：q_f0为沿沉积方向剪切时土体的破坏强度；为沿垂直沉积方向剪切时土体的破坏强度。由于＞，因此，椭圆的圆心偏向原点右侧。虽然试验点较少，但式(11)还是能较好地体现原状黏土强度各向异性的特性。考虑软黏土为横观各向同性材料，则0°~90°和0°~-90°的破坏边界面是对称的，即在应力旋转平面内原状软黏土的破坏边界面可以表示为

       (12)

图5 原状黏土各向异性强度破坏边界面

Fig. 5  Anisotropy failure surface of intact clay

4  计算结果与试验结果的对比

根据本文确定的原状黏土破坏边界面方程(取75 kPa，62 kPa)^[19]，采用式(10)所示应变增量方向角的计算方法。首先确定应力旋转路径上各应力点在破坏边界面上映射点的坐标(x，y)，再由该点坐标确定对应应变增量方向角：

 (13)

按照本文试验应力路径，计算得到的不同应力旋转路径条件下软黏土非共轴角与试验值的对比结果如图6所示。从图6可以看到：采用本文提出的原状软黏土各向异性破坏边界面及考虑应力旋转影响应变增量方向确定方法计算得到不同应力旋转路径下非共轴角的变化规律，基本能较好地模拟非共轴角的变化规律及趋势。

由于本文提出的非共轴角确定方法主要为便于实际应用的简化方法，因此，仅考虑基于试验研究确定的主要影响因素，从计算结果也能看到该方法能较好地反映剪应力水平、应力旋转方向，应力旋转与剪切耦合作用等主要因素对非共轴角的影响。

由于破坏边界面尚未考虑中主应力系数的影响，因此，该方法还不能考虑中主应力系数的影响。但从试验规律可知，中主应力系数的影响相对不显著。此外，该方法也未考虑应力旋转引起的共轴和非共轴变形的耦合作用。因此，计算结果在数值上与试验结果有一定的误差。采用该方法没有额外的土体参数，破坏边界面则可以采用常规三轴试验(沿不同方向切取试样)确定。

图6  不同应力路径下非共轴角试验值与计算值对比

Fig. 6  Comparison between calculation and test results of non-coaxial angle under different stress paths

5  结论

1) 应力旋转引起的应变增量方向介于应力和应力增量方向之间，随着应力方向的纯旋转，非共轴角呈波动变化的规律；随着剪应力水平的增大，非共轴角有减小趋势；中主应力系数对软黏土非共轴角的影响不显著，但剪应力水平对非共轴角的影响较显著；应变增量方向随应力增量方向的突变而突变。

2) 根据定向剪切试验结果，原状黏土在应力旋转平面内的破坏边界面可以表示为1条椭圆曲线。结合Gutierrez提出的应力映射方法，建立的软黏土非共轴角计算方法能较好地描述3类典型应力旋转路径下软黏土的非共轴角变化规律，并能反映剪应力水平和应力旋转方向的影响，采用该方法不需要额外的模型参数。

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(编辑  刘锦伟)

收稿日期：2015-09-01；修回日期：2015-11-10

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金资助项目(51608477, 51338009)；广东省院士工作站资助项目(2013B090400024)；同济大学岩土及地下工程教育部重点实验室开放基金资助项目(KLE-TJGE-B1501) (Projects(51608477, 51338009) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(2013B090400024) supported by the Academician Workstation of Guangdong Province; Project(KLE-TJGE-B1501) supported by the Open Foundation of Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of Ministry of Education, Tongji University)

通信作者：严佳佳，助理研究员，从事岩土力学特性试验及理论研究；E-mail: yanjia.01@163.com