DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2016.01.014

基于观测器的有限时间收敛的滑模导引律设计

周慧波^{1, 2}，宋申民¹，宋俊红¹

(1. 哈尔滨工业大学 控制理论与制导技术研究中心，黑龙江 哈尔滨，150001；

2. 哈尔滨师范大学 数学科学学院，黑龙江 哈尔滨，150009)

摘要：针对平面内弹目相对运动的末制导问题，考虑影响制导性能的目标机动和弹体动态延迟特性2个主要因素，设计渐近收敛和有限时间收敛的2种滑模导引律。选取具有动态滑模变量的线性滑模面，设计渐近稳定的滑模导引律。进一步在动态滑模变量的基础上，选取具有有限时间收敛特性的线性滑模面，设计有限时间收敛的滑模导引律。在导引律实现过程中，利用非齐次干扰观测器对系统未知扰动进行跟踪估计。在目标进行2种机动情况下，选取不同的动态延迟参数。研究结果表明：数值仿真分别验证了所设计的2种滑模导引律的有效性和可实现性。

关键词：有限时间收敛；自动驾驶仪；滑模面；观测器；导引律

中图分类号：V448.133          文献标志码：A         文章编号：1672-7207(2016)01-0091-09

Design of an observer-based sliding mode guidance law with finite time convergence

ZHOU Huibo^{1, 2}, SONG Shenmin¹, SONG Junhong¹

(1. Center for Control Theory and Guidance Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China;

2. School of Mathematical Sciences, Harbin Normal University, Harbin 150009, China)

Abstract: Considering the terminal guidance issue that the missile and the target were relatively moving in a plane, two major factors of the target’s maneuvering and missile’s dynamic delay characteristics were considered. Then, two sliding mode guidance laws with asymptotic convergence and finite time convergence were respectively designed. Firstly, selecting the linear sliding manifold with dynamic sliding mode variable, a sliding mode guidance law with asymptotic stability was proposed. After that, a linear sliding mode manifold with finite time convergence was further selected on the basis of dynamic sliding mode variable, and a sliding mode guidance law with finite time convergence was presented. In the process of implementing the guidance law, an inhomogeneous disturbance observer was employed to estimate the unknown disturbance of the system. Finally, two cases for the different target acceleration and selecting different dynamic delay parameters were considered. The results show that simulation comparison results are provided to demonstrate the effectiveness and the realizability of the proposed two sliding mode guidance laws from.

Key words: finite time convergence; autopilot; sliding mode surface; observer; guidance law

传统的制导律在目标非机动或机动程度不大的情形下，是一种十分有效的制导律。但随着战场态势的复杂多变以及目标机动能力的提升，目标为进行有效规避，通常会在导弹发射后特别是在导弹制导末端突然进行大机动。在这种情形下，仍采用传统制导律的导弹其控制量会瞬间饱和，从而导致制导时间增长、命中精度下降。同时导弹制导系统本身就是存在参数不确定性和时变的复杂非线性系统，因此用传统的设计方法来进一步提升导弹末制导性能有很大的困难。为此需要提出一种适用于自寻的制导导弹的适应性强、制导精度高、响应速度快的新型制导律。目标机动和导弹自动驾驶仪动态延迟特性是末制导过程中影响制导精度的2个主要因素^[1]。目标机动的影响可以在制导律中加以补偿，以提高制导精度。ZHOU等^[2-4]在导引律设计过程中，通过估计目标机动的界后用开关函数来补偿对制导性能的影响。但目标机动的界选取过大，易使控制过量；选取过小则易造成系统失稳。FREIDOVICH等^[5-6]要求非线性系统具有最小相位特性时，采用高增益观测器对目标机动进行观测。但证明稳定性是利用不变集的性质，无法直接应用到制导系统这种有限时域的控制问题中，进一步需要对观测误差的收敛性和系统的稳定性进行证明。姚郁等^[7-8]将系统中的机动目标加速度当作不确定性并扩张成新的一阶状态，通过设计二阶扩张状态观测器来观测系统状态，从而得到机动目标加速度的估计值。ZHANG等^[9]应用非线性干扰观测器对系统中的扰动进行跟踪估计，设计了有限时间收敛的积分滑模导引律。以上文献中所使用的观测器都使得观测误差渐近收敛到0，为此本文作者应用一种改进的非齐次干扰观测器，对系统中的扰动进行有限时间的跟踪估计，同时提高了跟踪精度。导弹自动驾驶仪的动态响应过程的时间常数决定了导弹对导引律给出的过载指令的响应速度，时间常数过大导致弹体过载跟踪制导指令滞后，在制导末端严重影响制导性能。因此，在导引律设计过程中，考虑导弹动态延迟特性的影响具有现实的工程意义。目前针对导弹的动态延迟特性，主要的研究方法有动态面法^[10]、反步法^[11]，或者是在导引律设计中直接考虑弹体动态特性的影响^{[9, 12]}。随着滑模控制理论的发展，滑模控制在制导控制系统^{[1-3, 12-16]}设计中得到了十分广泛的应用。滑模控制的最好优势是该方法对外界干扰和参数不确定性具有很强的鲁棒性。在普通的滑模变结构控制的设计中，会选择一个线性的滑动模态超曲面，使得系统的状态在到达滑动模态时跟踪误差会渐近的收敛到0。而控制理论界的学者一直在不断地追求如何建立反馈控制系统的有限时间稳定性分析方法，并取得了一定的成果^{[2, 9, 13, 16-18]}。终端滑模控制方法实现了系统状态的有限时间收敛^[17-18]，但终端滑模面较线性滑模面形式复杂，且在远离平衡点时收敛速度变慢，而趋近平衡点时易出现奇异现象。SHTESSEL等^[19]提出了一种滑模变量动态法，可使系统状态及其导数在有限时间内收敛到0。本文作者受此启发结合线性滑模面与滑模变量动态法的优点，分别设计渐近收敛和有限时间收敛的导引律。在导引律实现过程中，应用一种非齐次干扰观测器，对系统中的目标总扰动进行有限时间的跟踪估计。最后，数值仿真结果表明，所应用的观测器能在有限时间内估计出目标总扰动。在目标进行高速机动时所设计的导引律能高精度地拦截目标。

1  问题描述

考虑拦截平面内的弹目相对运动，导弹与目标均视为质点，分别用M，T表示。它们的连线即为视线，如图1所示。

图1  导弹和目标相对运动几何关系

Fig. 1  Relative motion geometry of missile and target

由图1可以导出如下微分方程描述^[20]：

对式关于时间求一阶导数，可得：

其中：，，r和分别代表导弹和目标之间的相对距离和相对速度，并将r和视为已知的时变参数；q和分别代表视线角和视线角速率；和分别代表导弹和目标的速度方向角；和分别为导弹和目标加速度在视线法向上的分量。在导引律设计时将其分别视为系统的控制输入和未知外部扰动输入。根据准平行接近原理，设计导引律的关键在于如何通过控制视线角速率，令其趋近于0，从而确保精确击中目标。

如果导弹飞行控制系统的自动驾驶仪动力学模型为一次单级惯性的，即为

其中：为导弹自动驾驶仪时间常数；u为提供给导弹自动驾驶仪的制导指令加速度。

在末制导过程中，由于受到过载能力的限制，导弹和目标实际所能提供的最大侧向加速度是有限的。同时受到导引头角跟踪系统的功率、接收机过载等因素的限制，导引头存在最小作用距离r₀，当弹目相对距离小于或等于r₀时，制导回路断开^[6]。记末制导开始时刻为0，不失一般性制导过程满足如下假设。

假设1  存在常数A_m＞0，A_t＞0，A₁＞0，A₂＞0使得

， ，，  

假设2  系统中的时变参数满足

2  有限时间控制

定义1^[21] 考虑非线性系统

其中，在上连续，而U₀是原点x=0的一个开邻域。系统的平衡点x=0(局部)有限时间收敛，是指对任意初始时刻t₀给定的初始状态，存在一个依赖于x₀的停歇时间，使得式以x₀为初始状态的解有定义(可能不唯一)，并且

及当时，。另外，此系统的平衡点x=0 (局部)有限时间稳定，是指它是Lyapunov稳定和在原点的一个邻域里有限时间收敛。若，则原点是全局有限时间稳定的平衡点。

定义2^[21] 令为向量函数。若对任意的＞0，存在，使得满足

其中，＞0，，则称关于具有齐次度k。若向量函数是齐次的，则系统为齐次系统。

引理1^[21] 假定系统关于扩张系数是k＜0次齐次的，f连续并且x=0是它的渐近稳定的平衡点，则系统的平衡点是全局有限时间稳定的。

引理2^[22] (LaSalle不变原理)假定系统，其中，是从定义域到上的局部Lipschitz映射。设是该系统方程的一个正不变紧集，是连续可微的函数，并且在内满足。设M是内满足的所有点的集合，是M内的最大不变集。那么，当时，始于内的任意解都将趋于。

3  导引律的设计与实现

3.1  导引律的设计

定义，，则制导方程可以写为

对式求导，可得

将式代入式，整理得

令

由式和式，整理得

对系统选取线性滑模面

式中：参数k₀＞0。对式求导，可得

受SHTESSEL等^[19]的启发，选取

结合式和式，设计导引律

定理1  针对二维平面内弹目相对运动的制导系统，通过选取线性滑模面，设计导引律，使得系统在自动驾驶仪存在一阶时延的情况下，视线角速率渐近收敛到0，确保导弹精确命中目标。

证明  选取Lyapunov函数

对式求导并将式和式代入可得

由引理2，包含唯一解，因此系统式渐近收敛到0。由定义2很容易验证，系统式是齐次系统，齐次度为-1，由引理1，系统式中的s₁，在有限时间内收敛到0。在的

滑模面上，有，解得。从而，当时，，即视线角速率指数收敛到0，证毕。

导引律式可确保制导系统中的视线角速率渐近收敛到0，而有限时间收敛一直是控制界学者所追求的。为改善在线性滑模面上的性能，使其视线角速率在有限时间内收敛到0，进一步选取滑模面为

其中：为制导结束时间，这里假定，     n＞1为设计常数。

对式求导，可得

通过式设计导引律

定理2  针对二维平面内弹目相对运动的制导系统式，通过选取线性滑模面式，设计导引律式，使得系统式在自动驾驶仪存在一阶时延的情况下，视线角速率能够在有限时间内收敛到0。

证明  将导引律式代入式可得

对式选取Lyapunov函数

此处证明同定理1，在有限时间内s₂，收敛到0。在滑模面上，假设存在，使得，对从到t积分可得，即。其中。这里只要参数n＞0就可以确保在有限时间时收敛到0，但由求导可得，若0＜n＜1则在时出现奇异点。而当时收敛到与矛盾。从而取n＞1，，在有限时间时收敛到0，证毕。

3.2  导引律的实现

因为系统的总扰动是未知，导引律式和导引律式不能够直接实现。目前，一种方法是用开关函数“”来抑制系统的总扰动，其中大于总扰动的界。但选取过大，使得控制量增加；选取过小又易造成系统失稳。另一种方法就是应用观测器，对系统中的扰动进行跟踪估计。本文就是应用非齐次干扰观测器的方法，在有限时间内对系统中的总扰动进行跟踪估计。

考虑一阶的SISO非线性系统

式表示沿系统轨线的滑模动态特性。s=0定义了系统在滑模面上的运动，为连续的控制输入，为充分光滑的不确定函数。控制的目的是设计连续的控制u，使得s和在有限时间内趋于0。

若滑模变量s和控制输入u能实时获得，是次可微，具有已知的Lipschitz常数L。基于Levant提出的非齐次微分器^[23]，李鹏^[24]提出了非齐次干扰观测器以加快暂态过程，形式如下：

式中h_i为下列形式的函数

其中：，＞0，。

引理3^[24] 假设系统式中的和可测且不存在量测噪声，参数和在逆序上充分大，则经历有限时间的暂态过程后，下列方程成立

在末制导时，由于变化不大，因此假设，从而，结合假设1和假设2有

其中：和分别为导弹和目标的最大速度。

为此，对系统式和式的总扰动进行有限时间内的跟踪估计，选取非齐次干扰观测器形式为

则在有限时间内

，       

为的估计值，s为滑模面。

从而由定理1和定理2，系统式可实现的导引律分别为式和式。

在式和式中，当p=2时将其分别代入式和式中，可得形式为

式(33)就是super-twisting算法，但它是非光滑的，滑模面在趋于0的过程中在滑模面为零的两侧抖振，影响制导性能。通过仿真可进一步看出当p＞2时，所设计的导引律性能更好。

4  数值仿真

设某型导弹在某一高度上飞行，马赫数为3.5，音速为295.07 m/s，目标的飞行速度为900 m/s，目标和导弹在铅垂面内运动。

设末制导初始时刻，导弹在惯性系下的位置为x_m(0)=0.5 km，y_m(0)=16 km，导弹和目标的初始弹道偏角为10°，目标的初始位置为x_t(0)=1.5 km，y_t(0)=16.5 km，导引头中断寻的制导距离为r₀=100 m。观测器参数为λ₀=1.1；λ₁=1.5；λ₂=2；μ₁=6；μ₂=8；L=10和g=9.8 m/s²。假定从末制导开始时刻起，目标分2种情况机动。

情况1： 目标在法向上做的余弦机动。在导引律式和导引律式中，参数；；和。当p=2, 3, 4, 5时，2种方法对应的视线角速率、滑模面、导弹法向过载和观测器误差估计曲线分别如图2~5所示，其中：标记(a)的为导引律式所描绘的曲线，标记(b)的为导引律式所描绘的曲线，相应的脱靶量和命中时间如表1所示。

表1  脱靶量和命中时间

Table 1  Miss distances and interception time

由表1可见：在p取不同值时，导引律式相应的制导结束时间基本一致，脱靶量也相差不大。导引律式(相应的制导结束时间和脱靶量)比导引律式的都小，总体而言所设计的导引律都能精确命中目标。

图2所示为视线角速率的变化规律，在余弦机动情况下，视线角速率变化曲线快速收敛到0，这保证了导弹能精确命中目标。只是图2(a)中视线角速率比图2(b)中的视线角速率提前到达稳定状态，图2(b)中的视线角速率收敛较缓慢，特别在p=2时，相应的视线角速率变化曲线有轻微抖动。因此由图3~5可见：p=2时相应的滑模面曲线、导弹法向过载曲线和观测器跟踪误差曲线都出现抖动，尤其是扰动估计误差曲线，这造成了制导性能下降，所以，当p=2时，即super-twisting算法设计的导引律比p＞2时所设计的导引律较差。同样由图3~5可见：当p＞2时，另外3种取值的滑模面曲线和扰动估计误差曲线平稳、光滑、快速的收敛到0，这也说明所选取的非齐次干扰观测器的有效性。而导弹法向过载曲线也快速稳定到一个固定值附近，且过载较小。由图3可见：收敛到滑模面时相应曲线在最初图3(a)比图3(b)的值要大些，但很快都收敛到0。相应的由图4可见：导弹法向过载曲线在最初图4(a)比图4(b)的值也要大些，这说明导引律式的总体性能较导引律式的优越。

图2  视线角速率

Fig. 2  Line-of-sight angle rate

图3  滑模面

Fig. 3  Sliding mode surface

图4  导弹法向过载

Fig. 4  Missile normal acceleration

图5  观测器误差

Fig. 5  Observer error

情况2: 目标在法向上做的正弦大机动。在导引律式 (记为)和导引律式(记为)中仅取p=3，和，其余参数同前。在大机动情况下导引律和导引律与p=2时的super-twisting算法分别记为导引律(在普通线性滑模面上)和 (在有限时间收敛的线性滑模面上)在选取2个不同的动态时延常数时，所描绘的视线角速率、滑模面和法向过载曲线如图6~8所示，脱靶量如表2所示。

由表2可见：选取和时，4种导引律的脱靶量都满足制导精度要求。从图6(a)可见：4种导引律的视线角速率曲线相差不大。但当时，由图6(b)可见：导引律和的视线角速率曲线出现抖动，时间持续到3s。对应的滑模面和法向过载曲线图7(a)和图8(a)也差距不大。但图7(b) 和图8(b)的曲线都出现相应的抖动。由此可见，导引律和与导引律和对应进行比较，制导性能变差。同时也说明目标大机动方式下，导弹在取不同的延迟参数时，导引律和具有良好的鲁棒性和普适性。

图6  视线角速率

Fig. 6  Line-of-sight angle rate

表2  脱靶量

             Table 2  Miss distances             m

图7  滑模面

Fig. 7  Sliding mode surface

图8  导弹法向过载

Fig. 8  Missile normal acceleration

5  结论

1) 选取普通的线性滑模面与滑模变量动态方法结合，设计了指数收敛的非线性滑模导引律。

2) 选取有限时间收敛的线性滑模面与滑模变量动态方法结合，设计了有限时间收敛的非线性滑模导引律。

3) 在导引律实现过程中，为避免对系统中的总扰动进行有界估计而应用非齐次干扰观测器，对系统中的总扰动进行有限时间内的快速跟踪估计。该导引律克服了导弹控制系统的动态延迟特性和目标扰动对制导精度的影响。

4) 在目标进行余弦机动和大的正弦机动时，通过选取不同的时延参数，进行多组仿真验证了所设计导引律的有效性和可实现性。导引律结构简单，利于工程实现。

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(编辑  罗金花)

收稿日期：2015-01-01；修回日期：2015-03-01

基金项目(Foundation item)：国家自然科学基金创新群体项目(61021002)；黑龙江省自然科学基金资助项目(A201410) (Project(61021002) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(A201410) supported by the Natural Science Foundation of Heilongjiang Province of China)

通信作者：周慧波，博士，副教授，从事飞行器制导与控制研究；E-mail: zhouhub0606@sina.com