文章编号：1004-0609(2015)-03-0652-10

基于内变量的TA15板材室温拉伸力学性能预测模型

杨  雷¹，王宝雨¹，刘  钢²，赵慧俊¹

(1. 北京科技大学 机械工程学院，北京100083；2. 哈尔滨工业大学 材料科学与工程学院，哈尔滨 150001)

摘  要：通过真空退火处理得到具有不同β相含量的TA15板材，并对其进行室温单轴拉伸试验，获得不同β相含量板材的真应力-应变曲线，并采用Bridgman公式对颈缩阶段应力进行了修正。结果表明：随着β相含量的增加，拉伸断裂应变明显增大。分别考虑α与β相室温变形行为，基于连续损伤力学建立了一套耦合位错密度和微观损伤的单轴拉伸本构模型。通过不同β相含量试样的应力-应变曲线，采用遗传算法确定本构方程常数。利用β相含量为18.63%和20.04%的试样的应力-应变曲线对所建模型进行验证，计算值与试验值吻合较好。

关键词：TA15钛合金；塑性损伤；位错密度；本构模型；遗传算法

中图分类号：TG146.2　　     文献标志码：A

Prediction model of tensile mechanical properties of TA15 sheet at room temperature based on internal variables

YANG Lei¹, WANG Bao-yu¹, LIU Gang², ZHAO Hui-jun¹

(1. School of Mechanical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China;

2. School of Materials Science and Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

Abstract: The sheet specimens of TA15 sheet with different volume fractions of β phase were obtained by vacuum annealing. Then, the stress-strain curves of sheet with different volume fractions of β phase were obtained by tensile test at room temperature, and the true stress after necking was corrected through the well-known Bridgman equations. The results indicate that the tensile strength increases slightly with the volume fraction of β phase. With increasing volume fraction of β phase, the fracture strain increases significantly. Considering the flow behavior of two phases, respectively, a set of constitutive equations coupling dislocation density and damage based on the continuum damage mechanics were developed. The model constants were determined using genetic optimization algorithm (GA). The stress-strain curves of the sheet with 18.63% and 20.04% β phase were used to evaluate the proposed model. The good agreements between the experimental and computed results are obtained.

Key words: TA15 Ti alloy; ductile damage; dislocation density; constitutive model; genetic algorithm

TA15钛合金是一种高Al当量近α钛合金，既具有α型钛合金良好的高温强度和可焊性，又具有接近于α+β型钛合金的工艺塑性^[1-3]。近α钛合金由六方晶格的α相和体心立方晶格的β相构成^[4-5]，其力学性能取决于这两种相的比例、形态、尺寸和分布^[6-8]。目前，多是采用回归分析^[9]和神经网络等^[10-11]黑箱式手段研究工艺参数与微观组织及力学性能的关系。

近年来，基于损伤力学的材料力学性能和成形性能理论预测成为研究热点^[12-15]。 BRUNET等^[13]采用Gurson-Tvergaard-Needleman(GTN)模型对钛合金薄板成形极限进行了研究。王明正等^[14]采用反向标定法确定了TC4钛合金GTN损伤模型参数，分析了各模型参数对应力应变曲线的影响。KATANI等^[15]采用GTN模型对TC4钛合金拉伸过程进行研究，认为空洞主要在α相与β相界面上强度较弱的一侧形核，并导致应力应变集中和最终的断裂。LIN等^[16]提出了基于位错密度的统一本构模型，之后又将损伤耦合进该本构框架对钢^[17]、铝合金^[18]的塑性损伤行为进行了研究。

本文作者首先对TA15原始板材进行真空退火处理，获得不同β相含量的试样。然后对其进行室温单轴拉伸，并对颈缩段应力-应变曲线进行了修正。基于TA15塑性变形机理和损伤机理，建立了耦合损伤的统一本构方程。通过遗传算法确定了模型常数，所确定的模型能够较好的预测TA15板材室温拉伸强度和断裂应变。

1  实验

1.1  试验材料

试验用TA15钛合金为公称厚度1.4 mm的冷轧板材，由航天特种材料及工艺技术研究所提供，β相变温度为990 ℃，化学成分如表1所列。

表1  TA15钛合金化学成分

Table 1  Chemical composition of TA15 titanium alloy

1.2  试验方法

沿原始板材轧制方向割取矩形热处理试样，用酒精对样品进行清洗，随后用超声波清洗干净，晾干后封存在真空度为1×10^-5 MPa的石英玻璃管内备用，如图1所示。

图1  TA15板材退火前的照片

Fig. 1  Photo of TA15 sheet before annealing

采用如表2所示的退火工艺对制备好的试样进行真空退火处理。从热处理后的板材中割取金相试样，按照ASTM E3—11标准制备金相样，腐蚀液配比为V(HF):V(HNO₃):V(H₂O)=1:3:7，采用扫描电子显微镜(SEM)观察组织。采用图像处理软件Image-Pro完成统计β相含量定量统计，每一试样上取3个视场进行统计，最后计算其平均值。

表2  TA15钛合金退火热处理试验方案

Table 2  Annealing heat treatment experiment of TA15 titanium alloy

热处理之后的试样经线切割得到如图2所示的室温拉伸试样，并用800^# SiC砂纸将试样切割面打磨至表面光亮无明显凹痕。室温拉伸性能测试在电子万能试验机CMT-4105进行，采用室温引伸计控制和测量变形量，因变形在室温下进行，变形速率对力学性能影响不大，因此，变形速率按照室温拉伸标准规定的范围设定为0.001 s^-1。

图2  TA15板材室温拉伸试样

Fig. 2  Room temperature tensile test specimen of TA15 sheet (Unit: mm)

2  结果与分析

TA15板材退火组织如图3所示，图中凸起的白色相为β相，黑色相为α相。对比发现：经过750 ℃保温2 h+(空冷，800 ℃)保温2 h+(空冷，850 ℃)保温2 h+空冷组织形貌相同，只是初生α和β相含量比例不同，经过900 ℃和930 ℃退火处理后初生α相、次生α相略有长大，而β相含量减少。

图3  TA15钛合金不同温度真空退火组织的SEM像

Fig. 3  SEM images of TA15 titanium alloy after annealing at different temperatures for 2 h

不同热处理工艺条件试样的β相体积分数和室温拉伸断裂应变如图4所示。拉伸极限应变随着β相含量的增加而增大，这主要是因为TA15为近α钛合金，组织由六方晶格类型的α相和体心立方的β相构成，在室温下α相的滑移系要远少于β相的滑移系，β相塑性比α相好^{[3, 17, 19]}，因此，在忽略两相各自的形貌及尺寸影响的条件下，β相体积分数增加可以有效改善TA15钛合金的塑性。

出现颈缩后，缩颈处面积的减小使得拉伸载荷下降，截面上应力分布不均匀，且逐渐转变为三向应力状态，故需要对颈缩后的真应力值进行修正。ZHANG等^[20]证明了BRIDGMAN^[21]的公式(见式(1))适用于板材拉伸颈缩阶段应力修正。

式中：a为颈缩处最小半径；R为颈缩曲面沿板材长度方向圆弧的曲率半径；σ_c为修正后的应力；σ为不考虑颈缩影响的应力。

图4  TA15钛合金退火金相组织β相含量及室温拉伸断裂应变

Fig. 4  Volume fraction of β phase and strain to failure of TA15 titanium alloy after annealing

BRIDGMAN^[21]公式中的a和R在实际应用中很难获得。LE等^[22]提出了计算颈缩几何参数的经验公式(2)：

式中：ε_pmax为载荷达到最大值时的应变；ε为应变。

采用式(1)和(2)修正后，不同β相含量试样室温拉伸真应力-应变曲线如图5所示。不同β相含量试样的屈服强度均在900 MPa左右、抗拉强度在1035 MPa左右，这说明β相体积分数在17%~25%范围波动对TA15室温强度影响不大，主要原因是由于退火处理完后，试样初生α相仍占主体地位，且初生α相的尺寸差别不大。β相含量对TA15板材室温拉伸塑性影响 显著，室温拉伸发生颈缩时的应变和断裂应变均随着β相体积分数增加而增大，其主要原因是塑性较好的β相增多。

不同β相含量拉伸试样的断口形貌如图6所示。不同β相含量试样断口形貌均是由深浅不一的韧窝构成，说明4种不同β相含量试样断裂均为韧性断裂，即由微损伤形核—长大—聚合机制导致的断裂。对比不同β相含量试样的断口形貌，可以发现含有17.43% β相试样的韧窝最浅，该试样的断裂应变也最小，随着β相含量增加，试样断口上的韧窝深度和数量均有增加，所对应拉伸试样的断裂应变也相应增大。主要原因是室温下体心立方晶体结构的β相比密排六方晶体结构的α相塑性好，因此，β相增多能够明显提高塑性。

图5  不同β相体积分数TA15钛合金室温拉伸真应力-应变曲线

Fig. 5  True stress-strain curves of TA15 titanium alloy with different fractions of β phase at room temperature

图6  不同β相含量TA15钛合金室温拉伸断口形貌

Fig. 6  Fractographs of TA15 titanium alloy with different volume fractions of β phase

3  本构模型建立

3.1  本构方程建立

3.1.1  塑性流动法则

图7所示为流动应力的分解示意图。在统一本构理论中，流动应力σ可分解为初始屈服应力k，各向同性强化应力R以及黏塑性流动应力σ_v。其中，σ_v可以表示为

式中：m为应变率敏感系数。

图7  流动应力的分解示意图

Fig. 7  Schematic diagram of decomposition of flow stress

由式(3)可以得到王明正等^[14]和LIN等^{[17-18, 23]}采用的式(4)描述应变率。

式中：m为应变率敏感系数；k为材料常数；为塑性应变率；σ为流动应力；R为材料各向同性强化引起流动应力增量，k为材料的初始屈服应力；n=1/m为黏塑性指数，n为0.4~1用于描述超塑性变形行为，n为1~10用于描述黏塑性变形行为，当n趋于无穷大时，m趋近于0，此时，σ_v 趋近于K，即此时金属的变形为理想弹塑性变形行为。

在冷成形中，加工硬化是由于可动位错被困于材料晶格内部，与其他的位错相互作用纠缠，形成新的位错滑移阻碍，由于位错相互作用引起的滑移抗力与

呈正比例关系^[21]，本文作者采用LIN等^[17]提出加工硬化应力与位错的关系式(5)。

式中：B为材料常数；为等效位错密度。

3.1.2  两相变形混合机制

目前，应用较多的混合机制有TAYLOR叠加法^[24]、SACHS模型以及基于均值自洽理论的混合机制^{[19, 25-26]}。根据REUSS简化准则^[27-28]，α相与β相的应力都等于该合金的宏观等效应力，宏观等效应变为两相各自等效应变按照体积平均混合机制进行计算，如式(6)所示。

式中：为α相塑性应变率；为β相塑性应变率；f_β为β相体积分数。

由于α相比β相硬，两相之间的塑性流动不等。因此，α相的应变率和β相的应变率必须要分开建模。在前面已确定的黏塑性材料的流动法则基础上，两者可以描述为

式中：k_α、k_β、K_α、K_β、n均为材料常数。由于α相和β相中的主要元素都是钛，两相的初始屈服应力是相近的，根据HE等^[5]所做纳米压痕试验，α相和β相的纳米硬度分别为6.44 GPa和4.29 GPa，α相和β相的纳米硬度比值约为0.7，BAI等^[23]根据纳米压痕实验结果假设Ti-6Al-4V钛合金的k_β=0.8k_α，K_β=0.9K_α，因此，本研究中令k_β=0.7k_α, K_β=0.9K_α。

3.1.3  位错密度模型

对于一种材料，位错密度的实际值测量难度较大，因此，定义一个正则化位错密度来衡量其相对大 小^[29]，可表示为

式中：ρ_i为材料初始位错密度；ρ为变形过程中材料的位错密度。变形前为0表示完全退火态的材料位错密度，随着材料变形位错密度逐渐增加，达到饱和状态时趋向于1表示完全加工硬化状态材料的位错密度，需要注意的是并非实际位错密度。

在室温变形条件下，位错密度的变化率与材料的动态回复和静态回复有关^[17]，其表达式为

式中：A、C、δ₁和δ₂为材料常数。

式(10)右边第一项为塑性应变与动态回复对位错密度的影响，第二项为静态回复对位错密度的影响。

3.1.4  损伤演化方程

塑性损伤是金属发生塑性变形直至断裂破坏的过程，是金属中的空洞不断扩展的过程，目前大多数的研究都认为，塑性损伤分为3个过程，空洞形核—长大—聚合^[30-33]。GREENFIELD等^[31]认为α-β钛合金空洞形核、长大的主要机理是α相与β相界面变形不协调。根据双相钛合金室温拉伸过程的损伤机理，并参考MOHAMED等^[18]、LIN等^[30]、KHALEEL等^[33]、周靖等^[34]所提出的损伤演化方程形式，本文作者提出式(11)所示的损伤演化方程，其中式子的第一项描述两相变形不协调引起的空洞形核，第二项描述材料总体变形引起的空洞长大与聚合，两项叠加在一起表达材料损伤变量的变化率。

(11)

式中：d₁、d₂、d₃、d₄、d₅、d₆均为方程常数。d₁控制空洞形核速率大小；d₂为形核速率指数，用于控制不同应变速率条件下的形核率大小；d₃用于控制应变对空洞长大速率的贡献；d₄用于控制临界断裂时的损伤值；d₅用于控制不同应变速率条件下空洞长大速率的差别；d₆ 用于总体上调节空洞长大与聚合速率；D为材料的损伤变量，代表材料的损伤程度。

根据试验结果分析可知，β相含量是影响TA15钛合金室温拉伸断裂应变的主要因素，即随着β相含量增加，微观损伤的形核与长大速率降低，类比LIN等^{[17, 29]}文章中有关温度相关材料常数表达形式，将上述模型中损伤演化方程中材料常数表示为β相含量f_β的函数，如式(12)~(17)所示：

考虑到损伤对材料承载能力的影响，将式(7)和(8)中的σ替换为σ/(1-D)得到式(18)~(24)所示的基于位错密度的黏塑性损伤本构方程组。值得注意的是，本文作者所提出的模型用于预测TA15板材室温单轴拉伸力学行为和极限应变。对于各向异性和运动强化材料，则不能简单应用此模型，而需要添加相应的内变量，对模型进行扩展。

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

3.2  模型材料常数确定

本文作者提出的模型为一组高度非线性微分方程组，解析方法求解困难。对于类似问题的求解，LIN等^[35-36]提出采用优化算法逐步的拉近理论曲线与试验曲线的距离，进而确定模型常数。本文作者采用遗传优化算法对模型常数进行求解。

目标函数是描述理论计算值与试验值之间误差大小的数学表达，它的好坏直接影响优化算法的效率和质量。本文作者采用CAO等^[37]提出的目标函数：

(25)

(26)

(27)

(28)

式中：X为待确定的材料常数向量；M为试验曲线条数；N_j为第j条曲线上数据点数；r_ij为权重距离；ω_ij为权重因子。

采用数值计算软件Matlab遗传算法工具箱对该问题进行优化，微分方程组采用显式欧拉法求解。采用3组室温拉伸应力应变数据(见图8)确定模型常数，具体求解步骤如下。

1) 在每一条曲线上取30个数据点，描述试验曲线特征，其中前26个点描述弹性变形、加工硬化和稳态流动阶段，后4个点描述了试样由于损伤引起的应力下垂阶段，3条曲线共90个数据点。

2) 采用每条曲线上的前26个试验点对未耦合损伤演化方程的模型常数向量X₁=[k_α, K_α, n, A, C, δ₁, δ₂, B]进行求解。

3) 固定基本模型常数X₁，采用所有数据点对损伤相关常数向量X₂=[d₁₀, Q_d1, d₂₀, Q_d2, d₃₀, Q_d3, d₄₀, Q_d4, d₅₀, Q_d5, d₆₀, Q_d6] 进行求解。

以第(3)步所确定的模型常数向量为初始值，对所有模型常数进行优化，最终确定的模型常数如表3所示。

表3  TA15统一损伤本构模型材料常数

Table 3  Material constants of TA15 unified viscoplastic damage constitutive model

3.3  模型计算结果分析

将模型材料常数代入本构方程组(18)中，结果如图8所示。模型计算结果与试验数据吻合较好，能够较好地描述TA15钛合金室温拉伸过程的弹性变形、加工硬化和稳态流动、颈缩与断裂。

图8  不同β相含量TA15应力-应变曲线计算值(实线)与试验值(符号)对比

Fig. 8  Comparison of calculated (solid line) and experimental (symbol) stress-strain value of TA15 alloy with different volume fractions of β phase

β相含量为18.63%和20.04%时的应力-应变曲线(见图9)用来验证模型的预测结果。预测曲线与实验数据点吻合较好，应力-应变曲线中包含材料的力学性能信息(屈服极限、强度极限以及断裂应变)，故该模型可较好预测TA15室温拉伸过程和断裂应变。

图9  不同β相含量TA15钛合金应力-应变曲线预测值(实线)与实验值(符号)对比

Fig. 9  Comparison of predicted (solid line) and experimental (symbol) stress-strain value of TA15 alloy with different volume fractions of β phase

不同β相含量试样拉伸过程的损伤演化曲线如图10所示，所有损伤演化曲线均经历3个阶段：应变0~0.015时，损伤为0，此阶段为形核期；应变超过0.015后，损伤随着应变缓慢增长，此阶段为损伤增长期；当应变达到某一临界值后，损伤急速增长至0.7，此时试样发生断裂，此阶段为损伤的聚合期。随着塑性较好的β相含量减少，损伤在长大和聚合期的增长速率增大，且损伤聚合期的临界应变减小。损伤形核与长大主要机理为α相与β相界面变形不协调，体心立方的β相较六方晶格的α相塑性好，能够减缓两相变形不协调，进而抑制损伤的形核、长大与聚合。

图10  不同β相含量TA15试样损伤演化曲线

Fig. 10  Damage variable evolution curves of TA15 samples with different volume fractions of β phase

4  结论

1) β相含量在17.43%~24.48%范围内时，β相含量对TA15钛合金室温强度影响不大，屈服强度约为900 MPa，抗拉强度约为1035 MPa。β相含量主要影响TA15的室温塑性，β相含量从17.43%增加到24.48%，其拉伸断裂应变相应的从0.125增加到0.160，可以通过提高β相含量改善TA15钛合金室温塑性。

2) 根据α相与β相变形不协调机理建立了损伤演化方程，以位错密度和塑性损伤为内变量建立了耦合损伤的统一本构模型。

3) 采用遗传优化算法确定了模型常数，所得材料常数确定的模型能够较好地描述不同β相含量初始组织试样的单轴拉伸应力-应变曲线的弹性段、硬化段和由于损伤引起的应力下降段，模型计算值与试验值吻合较好。

4) 采用β相含量为18.63%和20.04%时的应力-应变曲线对模型进行了验证，预测曲线与试验数据吻合较好，能够较好地预测TA15室温拉伸应力应变曲线和断裂应变。

5) 理论计算表明，β相含量对TA15室温单轴拉伸过程的损伤速率影响显著，随着β相含量的增加，损伤增长和聚合速率降低，损伤聚合临界应变也随之减小。

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(编辑  李艳红)

基金项目：“现代交通金属材料与加工技术北京实验室”经费资助；高等学校博士学科点专项科研基金(20120006110017)

收稿日期：2014-06-25；修订日期：2014-12-29

通信作者：王宝雨，教授，博士；电话：010-82375671；E-mail: bywang@ustb.edu.cn